Сложение и вычитание векторов Л. С. Атанасян "Геометрия 79"
 Скачать 2.11 Mb.
|
|
Сложение и вычитание векторов Л.С. Атанасян "Геометрия 7-9" А В С Какая запись является верной? 450 AВ > BC; AВ > BC AC = BC ; AC = BC Назовите коллинеарные сонаправленные векторы Назовите коллинеарные противоположнонаправленные векторы A B C D N M R E S F H J K L Z I O P X G Q V T Y U Назовите равные векторы Сложение векторов. Правило треугольника. a a b b a + b А В С АВ + ВС = АС a + 0 = a ! ! Для любого нулевого вектора справедливо равенство В1 Докажем, что если при сложении векторов точку А заменить другой точкой А1, то полученный вектор А1С1 будет равен АС. Рассмотрим случай. a b В b a b a b a + А С b a + С1 А1 АВВ1А1 – параллелограмм ВСС1В1 – параллелограмм АСС1А1 – параллелограмм = OK АВ + ВС = Правило треугольника. АС АО + ОР = АР MN + NR = MR MK + KM = MM = 0 MK + OM = OM + MK = KE АS + SС = АС NM + ML = NL RP + PR = RR = 0 ZK + KZ = ZZ = 0 DE + KD = KD + DE = Правило треугольника. АС = АВ + ВС OB + ВN ON = AR + RS AS = XK + KH XH = MA + AD MD = OF + FP OP = ON + NВ OB = RS + SA RA = KH + HX KX = AM + MD AD = FP + PO FO = По правилу треугольника складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении треугольника и не получается a b a + b a b a + b a b a + b c f c + f Законы сложения векторов Для любых векторов справедливы равенства: a, b, c 1 2 a + b = b + a переместительный закон сочетательный закон (a + b) + c = a + (b + c) ! ! Теорема a a b b a + b А В D C АС = АВ + ВС a = b + АС = АD + DС b = a + Докажем свойство Рассмотрим случай, когда векторы и не коллинеарны. b a 1 1 2 9 6 12 11 10 8 7 4 5 3 При доказательстве свойства 10 мы обосновали правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов. Чтобы применить правило параллелограмма, надо отложить векторы от одной точки, как стрелки часов. Сложение векторов. Правило параллелограмма. 1 2 9 6 12 11 10 8 7 4 5 3 a b a+b a b a a b b В D C (a + b)+c Докажем свойство 2 c c = (АВ + ВС) + CD А = АС + CD = АD АC a + (b+c) = АВ + (ВС + CD) = АB + BD = АD BD Сложение векторов. Правило многоугольника. = АO АВ + ВС + СD + DO a c n m c m n a+c+m+n a Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если А1, А2, …, Аn – произвольные точки плоскости, то = А1An А1А2 + А2А3 + … + Аn-1An А2 А3 А4 А5 А6 А7 А1 ! Если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору. a1+a2+a3+a4+a5 = 0 a1 a1 a2 a2 a3 a4 a5 a3 a4 a5 Вектор называется противоположным вектору , если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены. a1 b -b a a a1 -b b Вектор , противоположный вектору А В А В Вектор ВА, противоположный вектору АВ a + (-a) = 0 ВА = – АВ a a1 a = a1 ; a a1 a b № 766 На рисунке изображены векторы ХУ. Представьте вектор ХУ в виде суммы остальных или им противоположных векторов. a, b, c, d c d У Х – a – b + c + d = ХУ – – Вычитание векторов. a a -b b a - b b a – = a +(– b) -b Вычитание векторов. MF - SF = MF + FS = MS RO - RM = RO + MR = MR + RO MD - SD = MD + DS = MS - OS - ST = SO + TS = TS + SO RO - AO = RO + OA = RA RO - RO = RO + OR = RR = 0 = TO = MO № 768 Точки М и N – середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN через векторы = АМ и = АN a b С ВМ = a - NC = MN = b MA + AN - = a + b BN = BA + AN = - a + b - a В А М N a b ( ) Найдите АВ + AD – DC – OD ABCD - прямоугольник А B C D АВ + AD – DC – OD = АС – DC – OD = АС + CD + DO = АО О 3 4 5 АВ + ВС = АО + ОР = MN + NR = MK + KM = MK + OM = АS + SС = NM + ML = RP + PR = ZK + KZ = DE + KD = ON = AS = XH = MD = OP = OB = RA = KX = AD = FO = |