Собственными

• Название: Собственными
• Дата: 15.07.2022
• Размер: 0.74 Mb.
• Имя файла: П13.doc
• Тип: Документы; #631574

При изучении динамики упругих систем последние принято классифицировать, прежде всего, по числу их степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается число независи­мых координат, определяющих положение материальных точек системы в произволь­ный момент времени.




Рис. 8.1
Так для системы, изображенной на рис. 8.1, если пренебречь массой стержней, положение сосредоточенной массы m в плоскости чертежа полностью будет определяться двумя независи­мыми координатами - линейными перемещения­ми в вертикальном и горизонтальном направле­ниях. То есть рассматриваемая система будет иметь две степени свободы. Заметим что, так как во всех реальных системах масса конструкции распределена по их объему, поэтому любая произвольно взятая точка является материальной. Следова­тельно, для определения положения системы в произвольный мо­мент времени, строго говоря, необходимо знать перемещения всех точек рассматриваемой системы. Откуда следует, что все реальные системы в точной постановке задачи, имеют бесконечное число степеней свободы, так как число материальных точек, принадлежа­щей любой реальной системы, равно бесконечности.

При исследовании колебаний упругих систем различают собственные (свободные) и вынужденные колебания. Под собствен­ными колебаниями понимается движение системы при отсутствии внешних воздействий. Если колебание системы сопровождается действием внешних сил, то движение называется вынужденным.

Промежуток времени за который совершается полный цикл ко­лебаний, носит название периода собственных или вынужденных колебаний, смотря по тому, о каких колебаниях идет речь. Период колебаний обозначается через Т. Величина обратная Т, называется частотой колебаний:

,

и представляет собой число колебаний в течение одной секунды. В технике в большинстве случаев используется понятие круговой частоты w, представляющей собой число колебаний за 2 p секунд.

8.2. Колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 8.2. Пренебрегая массой и продольными деформациями консольного бруса, рассмот­рим колебания массы m, закрепленной на свободном конце бруса, при действии силы Р (t), изменяющейся по гармоничному закону по времени t:

Р (t) = Р_0×sin w t, (8.1)




Рис. 8.2
где Р₀ - амплитуда или максималь­ное значение силы Р (t), а w -кру­говая частота ее изменения.

При составлении уравнения движения массы m введем в рас­смот-рение силу инерции P_ИН =-m , силу сопротивления Р_C=-a , всегда направленную про­тив движения системы (где a -коэффициент затухания) и внеш­нюю силу Р (t). Перемещение y (t) в любой момент времени можно определить из уравнения:

. (8.2)

где d₁₁ - перемещение массы m по вертикали под действием верти­кальной единичной силы.

Отметим, что природа сил сопротивления может быть резуль­татом сопротивления внешней среды или внутреннего трения, воз­никающего в частицах материала конструкции при деформации системы. Принимаем обозначения:

, (8.3)

где j - частота собственных колебаний конструкции, n - коэффи­циент затухания. Тогда уравнения движения (8.2) принимает следу­ющий вид:

. (8.4)

Решение (8.4) при начальных условиях t = 0, y = y₀, , с учетом n < j, принимает вид:

. (8.5)

Здесь приняты следующие обозначения:

 - амплитуда собственных колебаний системы;

 - собственная частота колебаний системы с учетом сил затухания; - сдвиг фазы по времени, возникающий при собственных и вынужденных колеба­ниях, соответственно;

(8.6)

- называется коэффициентом динамичности, он показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статиче­ского перемещения, вызванного максимальным значением возму­щающей статической силы.

График b в зависимости от отношения частот и параметра зату­хания n приведен на рис. 8.3. Откуда следует, что при w ® j Р₀×d₁₁×b, т.е. амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, а при n ® 0, w ® j, получаем Р₀×d₁₁×b ® ¥. Это явление носит назва­ние резонанса. При n = 0 выражение для b упрощается и прини­мает вид:

.

При больших t первое слагаемое из (8.5), описывающее свобод­ные колебания системы, затухает и колебания системы описыва­ются выражением:

. (8.7)

Заметим, что решение (8.5) при нулевых начальных условиях ( ), при любых значениях t описывается выражением (8.7).

При выполнении практических расчетов, при известном коэф­фициент b, легко определяется величина максимальных динамических напряже­ний и перемещений в упругих элементах заданной системы:

s^ДИН = s^СТ × b; y^ДИН = y^СТ × b;

y^ДИН = P₀ × d₁₁× b; y^CT = P₀ × d₁₁,

где под s^СТ, y^CT понимается то напряжение и перемещение соответственно, которые возникали бы в сис­теме при статическом приложении максимального значения возму­щающей силы величиной P₀.



Рис. 8.3

В случае, если сопоставление частот w и j указывает на их опасную близость w » j, т.е. опасность возникновения резонанса, путем конструктивных мероприятий добиваются изменения той или иной частоты. При этом, наиболее целесообразным является изменение частот в сторону увеличения отношения с тем условием, чтобы добиться наиболее заметного снижения коэффи­циента b.

8.3. Пример расчета (задача № 16)

Определить динамический прогиб и напряжения в опасных се­чениях балок КD и АВ, возникающих под действием работающего электромотора весом G = 10 кН (рис. 8.4, а). Вес неуравновешан­ных частей ротора Р = 1 кН. Эксцентриситет вращающихся масс е = 0,02 м. Число оборотов ротора n = 600 об/мин. Массой балок в расчетах пренебречь. Поперечное сечение балок КD и АВ состоит из двух двутавров №20 (I_x = 1840×10^-8 м⁴; W_x = 184×10^-6 м³). Модуль упругости стали Е = 2×10⁸ кН/м².



Рис. 8.4

Решение

1. Определение статического прогиба в сечении С балки КD и статического напряжения в сечении у задел­ки А. Из уравнений равновесия статики Sm_D = 0 и Sm_K = 0 найдем опорные реакции в балке КD (рис. 8.4, б):

кН.

На балку АВ в точке В(К) опоры на консоль передается нагруз­ка Р = 5 кН, равная по величине опорной реакции R_K , но обратная по направлению. Из уравнений Sm_A = 0 и åy = 0 определяем реак­тивные усилия в заделке А балки АВ: М_A = 10 кН×м; R_А = 5 кН. Оп­ределив опорные реакции в балках, строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для балок КD и АВ (рис. 8.4, в, г, е, ж). Зная величины изгибающих моментов, возникающих в опас­ных сечениях балок, определяем статические напряжения в сечени­ях С и А:

кН/м²;

кН/м².

Для определения статического прогиба в точке С балки КD вна­чале предполагаем, что эта балка опирается на абсолютно жесткое основание. Используя метод начальных параметров, составляем уравнение прогибов, приняв начало координат в сечении D.

,

где y₀ = 0, М₀ = 0, j₀ ¹ 0, .

Для нахождения j₀ составим уравнение прогиба для сечения К в котором прогиб равен нулю из условий закрепления:



Так как y₀ = 0, то, решая это уравнение, получим:

.

Подставив найденное значение j₀ в уравнение прогиба для се­чения С, получим формулу для определения :

м.

Для вычисления полного перемещения сечения С с учетом характера опирания балки КD на консольную балку необходимо найти прогиб консольной балки  АВ от действия на нее силы Р_K = -R_K = 5 кН. Для этого, приняв начало координат в сечении В балки АВ, соста­вим уравнение метода начальных параметров для определения прогиба на конце консоли. При начале координат в точке В консоли известными параметрами будут: М₀ = М_B = 0; Q₀ = Q_B = -Р_K = -5 кН, а неизве­стными y₀ = y_B ¹ 0; j₀ = j_B ¹ 0. Неизвестные начальные параметры y₀ и j₀ определим из уравнений прогиба и угла поворота для сечения А. Из условия закрепления балки АВ имеем при z = l = 2 м y_A = j_А = 0.

Составим уравнения метода начальных параметров:

(а)

. (б)

Приравняв к нулю уравнение (а) при z = l м, определяем j₀:

.

Подставив найденное значение j₀ в уравнение (б) и принимая y = 0 при z = l , получим выражение второго неизвестного на­чального параметра y₀ , определяющего прогиб сечения В консоль­ной балки АВ:

;

;

м.

Знак “минус” говорит о том, что конец консольной балки пере­местится вниз.

Определив прогиб и изобразив эпюру перемещений систе­мы (рис. 8.4, з), вычислим величину полного перемещения сече­ния С по формуле:

м.

2. Определение динамического коэффициента и коэффициента эквивалентности. Макси­мальное значение системы внешних сил принимает значение G + b×P₀. Далее определяем коэффициент эквивалентности:

,

где  - амплитудное значение инерционной силы; b =  - коэффициент динамичности. Здесь -частота собственных колебаний;  - частота возмущающей силы.

В рассматриваемом примере:



кН;

.

3. Определение прогиба и напряжений. Максимальное значение напряжения и прогиб, возникающие от совместного действия статических и дина­мических нагрузок, определяем по формулам:

кН/м²,

м.

При коэффициенте К_Д = 1,145 найдем также напряжение в се­чении А балки АВ:

кН/м².

Следовательно, полученное значение напряжения больше, чем напряжение в сечении С, где установлен электромотор. Итак, сече­ние в заделке в данном примере является наиболее опасным , и, следовательно, это обстоятельство необходимо учитывать при проверке прочности составных конструкций.

С увеличением числа оборотов двигателя возрастают динамиче­ские напряжения и прогибы балок. Поэтому при проектировании конструкций не следует допускать наступления резонанса (w = j), при котором может наступить разрушение конструкции.

8.4. Соударение твердого тела и системы
с одной степенью свободы

Задача соударения различных механических систем часто встре­чается в инженерной деятельности в различных сферах, поэтому имеет большое практическое значение.

Взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно изменяются скорости взаимодействующих тел, называется ударом. В период взаимодействия соударяемых тел между ними развивается результирующая контактная сила. Хотя время действия контактной силы обычно очень мало и измеряется микро- или миллисекундами, она развивается очень быстро и принимает большие значения.

Задача соударения твердых деформируемых тел в механике, как правило, относится к классу динамических контактных задач со смешанными граничными условиями, содер­жащими в себе многие трудности математического порядка при их решении, которые не всегда могут быть преодолены простыми инженерными способами. Эти трудности в первую очередь связаны с определением с определением характера изменения функции напряжения в зоне контакта соударяемых тел по пространственным координатам и во времени. Большие сложности возникают и при учете волновых процессов, возникающих, как в зоне контакта, так и внутри соударяемых тел. Например, дифракционных волно­вых процессов по контуру в зоне контакта, и интерферен­ционных явлений внутри соударяемых тел. Здесь существенное значение приобретает и учет фактора рассеяния энергии, трудно поддающийся анализу в данном случае.

Исходя из вышеизложенного, ниже при решении задач, приме­няется упрощенный инженерный подход, основанный на следую­щих упрощающих предпосылках.

При взаимодействии соударяемых тел они принимаются или идеально упругими, или абсолютно твердыми. Деформации в упругих соударяемых телах происходят мгновенно.

С применением энергетического подхода рассмотрим соударе­ние падающего груза массой М с высоты h на систему с одной сте­пенью свободы (рис. 8.5). Считаем, что масса балки m сосредо­точена в месте соударения.


Рис. 8.5
Энергетический подход является наиболее предпочтительным в тех случаях, когда требуется определить только максимальные зна­чения напряжений, динамических прогибов и не ставится задача определения законов движения заданной системы.

Составим энергетический баланс заданной системы в момент возникновения максимальных прогибов балки:

К₀ + П = U + К, (8.8)

где - кинетическая энергия пада­ющего груза в момент соударения с балкой; П = (М + m)×g×y_max -работа внешних сил на перемещение y_max; - потен­циальная энергия деформации балки; К - кинетическая энергия системы при y = y_max.

Так как в состоянии наибольшего отклонения балки, y = y_max, , то для указанного момента времени К = 0. С учетом вышеизложенного (8.8) принимает вид:

, (8.9)

или

. (8.10)

Величина d₁₁ - прогиб, который получила бы балка под дейст­вием единичной статической силы, приложенной в месте удара. Следовательно, y^CТ = Mgd₁₁ представляет собой прогиб который получила бы балка под действием статически прикладываемой си­лы, равной весу падающего груза G = Mg. Тогда уравнение (8.10) можно представить в виде:

.

Из решения последнего уравнения получаем:

. (8.11)

Отсюда, учитывая, что коэффициент динамичности определяет во сколько раз максимальный прогиб при динамическом нагру­жении больше прогиба, возникающего при статическом характере приложения нагрузки, получим:

. (8.12)

Величина коэффициента динамичности b, как показывает вы­ражение (8.12), зависит главным образом от жесткости рассмат­риваемой системы в направлении удара и от кинетической энергии падающего груза в момент соударения.

Для упругих систем динамические напряжения и остальные внутренние силовые факторы определяются по той же схеме, как и прогибы. Например, для напряжений, имеем:

s^ДИН = b×s^CТ . (8.13)

В тех случаях, когда масса балки m мала, по сравнению с мас­сой груза M, из (8.12), принимая m = 0, получим:

. (8.14)

В частности, если груз прикладывается на упругую систему мгновенно, тогда задавая h = 0 из (8.14), коэффициент динамичности принимает значение b = 2.

8.5. Пример расчета (задача № 17)

Груз G = 1,2 кН падает с высоты h = 0,12 м в точку С двутав­ровой балки КD, опирающейся на упругое сооружение, состоящее из двух балок АК и DМ (рис. 8.6, а). Сечение балки КD-двутавр №18 (I_x = 1290×10^-8 м⁴ ; W_x = 143×10^-6 м³). Сечение балок АК и DМ - двутавр №30 (I_x = 7080×10^-8 м⁴; W_x = 472×10^-6 м³). Длина ба­лок l = 1,2 м. Модуль упругости Е = 2×10⁸ кН/м².

Определить динамические напряжения в опасных сечениях ба­лок. Сравнить полученные напряжения с теми, которые появятся в балках, если балка КD будет опираться на абсолютно жесткое осно­вание.

Решение

Из уравнений равновесия балки Sm_K = 0 и Sm_D = 0 находим опорные реакции R_K , R_D :

 кН.

Для проверки правильности найденных опорных реакций сос­тавляем уравнение равновесия Sy = 0:   0,8 + 0,4 - 1,2 = 0;    0 = 0.

Затем строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для рассматриваемой балки КD и двух консольных балок АК и DМ (рис. 8.6, б, в, г, д, е).

1. Определение полного статического прогиба сече­ния С балки КD. С начала определим статический прогиб сече­ния С балки КD при опирании ее на абсолютно жесткое основание. Составим уравнение прогиба методом начальных параметров, при­няв начало координат в сечении К:

. (8.15)

При этом, y₀ = 0; M₀ = 0; j₀ ¹ 0; Q₀ = R_K . Для нахождения j₀ используем условие отсутствия прогиба в сечении D y_D = 0. При
z = l м имеем:

;      .

Теперь, подставив найденное значение j₀ в уравнение (8.15), получим формулу для определения прогиба сечения С:

м.

Для определения полного прогиба сечения С с учетом упругого характера опирания балки КD (рис. 8.6, ж) необходимо предварительно найти прогибы концов консольных балок АК и DМ. Для этого воспользуемся фор­мулой, полученной в задаче № 16:

м;

м.

Эпюра перемещений для составной конструкции из балок изо­бражена на рис. 8.6, ж. Величину полного перемещения сечения С балки с учетом перемещения его в результате смещения опор балки КD, опирающейся на консольные балки, определяем по формуле:



.


Рис. 8.6

2. Определение динамических коэффициентов и на­пряжений. Динамический коэффициент при падении груза G на балку КD, опирающуюся на консольные балки АК и DМ, опреде­ляем по формуле:



а при опирании балки КD на абсолютно жесткое основание -

.

Для вычисления динамических напряжений необходимо внача­ле определить статические напряжения, возникающие в сечении С:

кН/м²,

а затем динамические напряжения:

.

Динамические напряжения, возникающие в сечении С балки КD, опирающейся на консольные балки,

кН/м²,

и динамические напряжения, возникающие в сечении С балки КD, опирающейся на абсолютно жесткое основание:

кН/м².

Таким образом, если опоры лежат на абсолютно жестком осно­вание, то в сечении С возникают динамические напряжения в раза большие по величине. Статические напряжения, возникающие в сечении А:

кН/м².

При динамическом коэффициенте К_Д = 78,1, полученном в предположении упругого опирания балки КD в точках К и D, нахо­дим динамические напряжения в сечении А:

кН/м².

Статическое и динамическое напряжения в сечении М балки DМ:

кН/м².

кН/м².

Следовательно, вне зависимости от того, на какое основание опирается балка KD, опасное сечение находится в точке удара.