МММ. МММ_03 Распространение упругих волн через границу раздела двух с. Лекция 3 Гармонические и нестационарные колебания 2 Гармонические колебания
 Скачать 1.05 Mb.
|
|
1 Лекция №3 Гармонические и нестационарные колебания 2 Гармонические колебания В различных областях используется спектральный метод исследования волновых процессов. При таком подходе существует возможность свести анализ к рассмотрению поведения к анализу гармонических волн. Предположение о периодичности (гармоничности) процессов во ремени предопределяет некоторую пространственную и временную повторяемость в картине движений точек среды. В связи с этим общее выражение для скалярного потенциала плоской волны имеет 𝜑 = Φ 0 𝒑 exp 𝑖 𝜔 𝑐 1 𝒑 ⋅ 𝒓 − 𝑐 1 𝑡 𝜔 - круговая частота процесса Φ 0 𝒑 - амплитуда плоской волны, зависящая только от направления распространения. 𝒂 = 𝑨 0 𝒑 exp 𝑖 𝜔 𝑐 2 𝒑 ⋅ 𝒓 − 𝑐 2 𝑡 3 Акустические поля, возбуждаемые простыми источниками 4 Гармонические и нестационарные колебания Уравнение движения с 1 2 grad div 𝒖 − с 2 2 rot rot 𝒖 = 𝜌 𝜕 2 𝒖 𝜕𝑡 2 для гармонических колебаний 𝒖(𝒙, 𝑡) = 𝒖(𝒙) exp −𝑖𝜔𝑡 принимает вид с 1 2 grad div 𝒖(𝒙, 𝜔) − с 2 2 rot rot 𝒖(𝒙, 𝜔) + 𝜌𝜔 2 𝒖(𝒙, 𝜔) = 0 Решение нестационарной задачи можно получить с помощью преобразования Лапласа 𝒖(𝒙, 𝑡) = න −∞ ∞ 𝒖 𝒙, 𝜔 exp 𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔 5 Пример гармонических колебаний 6 Пример гармонических колебаний 7 Пример гармонических колебаний 8 Гармонические колебания Из уравнения с использованием векторного тождества следуют важные свойства частных решений с 1 2 ∇ 2 𝜑 − 𝜌𝜔 2 𝜑 = 0 с 2 2 ∇ 2 𝒂 − 𝜌𝜔 2 𝒂 = 0 Введенные при записи уравнений величины 𝑘 𝑗 = 𝜔 𝑐 𝑗 Рассмотрим вначале случай, когда волна распространяется продольная волна в безграничной упругой среде. Для фиксированного момента времени 𝑡 0 определение для данной точки с радиус-вектором 𝒓 точки с идентичным состоянием и отстоящей от исходной на расстояние 𝒓 0 cводится к решению уравнения 𝜔 𝑐 𝑗 𝒑 ⋅ 𝒓 = 2𝜋 При заданном направлении распространения уравнение имеет неоднозначное решение, то есть в среде имеется бесконечно много точек с состоянием, идентичным состоянию выбранной точки. 𝒓 0 = 𝜆 1 𝒑 𝜆 1 = 2𝜋/𝑘 1 9 Период и фазовая скорость Если зафиксировать значение вектора, т. е. рассматривать изменение во времени состояния упругого тела в некоторой точке, то очевидно, что по истечении времени 𝑇 = 2𝜋 𝜔 состояние упругого тела в этой точке повторится. Величина интервала времени 𝑇, в данном случае общая для обоих типов волн, называется периодом гармонической волны. Для каждого из двух типов плоских гармонических волн можно определить понятие фазовой скорости как скорости изменения состояния. Однако в общем случае наличия в безграничной упругой среде одновременно двух видов волн определить разумно фазовую скорость без соизмеримости длин волн нельзя. По существу, происходит два невзаимодействующих волновых движения. 10 Поляризация 11 Напряжения, деформации и перемещения Тензор деформации 𝜀 𝑖𝑖 = 𝜕𝑢 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 𝜀 𝑖𝑗 = 1 2 𝜕𝑢 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 + 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 Тензор напряжений 𝜎 𝑖𝑖 = 𝜀 𝑖𝑖 + 𝜈 1 − 2𝜈 𝜀 𝑘𝑘 = 𝜀 𝑖𝑖 + 𝜈 1 − 2𝜈 𝜕𝑢 1 𝜕𝑥 1 + 𝜕𝑢 2 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑢 3 𝜕𝑥 3 𝜎 𝑖𝑗 = 2𝜇𝜀 𝑖𝑗 = 𝜇 𝜕𝑢 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 + 𝜕𝑢 𝑗 𝜕𝑥 𝑖 𝜈 – коэффициент Пуассона 𝜇 – модуль сдвига 12 Коэффициент Пуассона и модуль сдвига Модуль сдвига 𝜇 равен касательному усилию, вызывающему такую деформацию сдвига, при которой любая прямая, проведенная перпендикулярно к поверхности, на которую действует сила, поворачивается на угол, равный единице. 𝜈 – коэффициент Пуассона 13 Отражение от свободной границы Граничные условия для свободного полупространства 𝜎 13 = 𝜎 23 = 𝜎 33 Для падающей плоской продольной волны 𝜑 = Φ 0 exp 𝑖𝑘 𝑃 𝑥 cos 𝜙 + 𝑧 sin 𝜙 для отраженных 𝜑 = Φ 1 exp 𝑖𝑘 𝑃 𝑥 cos 𝜙 11 − 𝑧 sin 𝜙 11 𝑎 2 = A 1 exp 𝑖𝑘 𝑆 𝑥 cos 𝜙 21 − 𝑧 sin 𝜙 21 14 Закон Снеллиуса 𝑘 𝑃1 cos 𝜙 = 𝑘 𝑃1 cos 𝜙 11 = 𝑘 𝑆1 cos 𝜙 21 = 𝑘 𝑃2 cos 𝜙 21 = 𝑘 𝑃2 cos 𝜙 22 = 𝑞 15 Отражение от свободной границы 𝑘 𝑃1 cos 𝜙 = 𝑘 𝑃1 cos 𝜙 11 = 𝑘 𝑆1 cos 𝜙 21 Из граничных условий для свободного полупространства 𝜎 13 = 𝜎 23 = 𝜎 33 Φ 1 = Φ 0 4 tg 𝜙 11 tg 𝜙 12 − tg 𝜙 12 tg 𝜙 12 − 1 2 4 tg 𝜙 11 tg 𝜙 12 + tg 𝜙 12 tg 𝜙 12 − 1 2 A 1 = Φ 0 4 tg 𝜙 11 1 − tg 𝜙 12 tg 𝜙 12 4 tg 𝜙 11 tg 𝜙 12 + tg 𝜙 12 tg 𝜙 12 − 1 2 16 Связь с потенциалами Компоненты вектора перемещений 𝑢 1 = 𝜕𝜑 𝜕𝑥 1 + 𝜕𝑎 2 𝜕𝑥 3 𝑢 3 = 𝜕𝜑 𝜕𝑥 3 − 𝜕𝑎 2 𝜕𝑥 1 Компоненты тензора напряжений 1 2𝜇 𝜎 11 = 𝜕 2 𝜑 𝜕𝑥 1 2 − 𝜈𝑘 𝑃 2 1 − 2𝜈 𝜑 + 𝜕 2 𝑎 2 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 3 1 2𝜇 𝜎 13 = 𝜕 2 𝜑 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 3 + 1 2 𝜕 2 𝑎 2 𝜕𝑥 3 2 − 1 2 𝜕 2 𝑎 2 𝜕𝑥 1 2 1 2𝜇 𝜎 33 = 𝜕 2 𝜑 𝜕𝑥 3 2 − 𝜈𝑘 𝑃 2 1 − 2𝜈 𝜑 − 𝜕 2 𝑎 2 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 3 17 Граничные условия. Напряжения и перемещения |