Датчик для тестирования МЭМС датчиков. Отчет. Содержание с

• Название: Содержание с
• Анкор: Датчик для тестирования МЭМС датчиков
• Дата: 27.10.2019
• Размер: 1.54 Mb.
• Имя файла: Отчет.docx
• Тип: Реферат; #92109
• страница: 3 из 5

1.4 Предварительные математические расчеты.

1.4.1 Коэффициент восстановления при ударе

Значение ударного импульса, появляющегося при соударении двух тел, зависит не только от их масс и скоростей до удара, но и от упругих свойств соударяющихся тел; эти свойства при ударе характеризуют величиной, называемой коэффициентом восстановления.

Рассмотрим шар, падающий вертикально на неподвижную горизонтальную жесткую плиту (Рисунок 1.6­). Для прямого удара, который при этом произойдет, можно различать две стадии. В течение первой стадии скорости частиц шара, равные в момент начала удара v (движение шара считаем поступательным), убывают до нуля. Шар при этом деформируется и вся его начальная кинетическая энергия  переходит во внутреннюю потенциальную энергию деформированного тела.



Рисунок 1.6 – Направления векторов скоростей при ударе

Во второй стадии удара шар под действием внутренних сил (сил упругости) начинает восстанавливать свою форму; при этом его внутренняя потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию движения частиц шара. В конце удара скорости частиц будут равны u, а кинетическая энергия шара . Однако полностью механическая энергия шара при этом не восстанавливается, так как часть ее уходит на сообщение шару остаточных деформаций и его нагревание. Поэтому скорость u будет меньше v.

Величина k, равная при прямом ударе тела о неподвижную преграду отношению модуля скорости тела в конце удара к модулю скорости в начале удара, называется коэффициентом восстановления при ударе:

. (1.1)

В качестве предельных случаев рассматривают случай абсолютно упругого удара (k=1) при котором кинетическая энергия тела после удара полностью восстанавливается, и случай абсолютно неупругого удара (k=0) когда удар заканчивается в первой стадии и вся кинетическая энергия тела теряется на его деформацию и нагревание.

Экспериментально величину k можно найти, если рассмотреть шар, свободно падающий на плиту с предварительно измеренной высоты H, и определить с помощью стоящей рядом вертикальной рейки (Рисунок 1.7) высоту его подъема h после удара. Тогда по формуле Галилея:

, (1.2)

, (1.3)

. (1.4)

Значение коэффициента восстановления для тел из различных материалов дается в соответствующих справочниках.



Рисунок 1.7 – Обозначение высот при ударе[10]

Таблица 1.3 – Значения коэффициентов восстановления для некоторых материалов[3]

Материал	Коэффициент восстановления
Стекло	0,94
Удар дерева о гуттаперчу	0,26
Дерево	0,5
Сталь	0,55
Слоновая кость	0,89

1.4.2 Среднее значение ускорения при ударе

Рассмотрим тело (шар) массой m, ударяющееся о неподвижную плиту. Действующей на тело ударной силой будет при этом реакция плиты; импульс этой силы за время удара назовем . Пусть нормаль к поверхности тела в точке его касания с плитой проходит через центр масс тела (для шара это будет всегда). Такой удар тела называется центральным. Если скорость центра масс тела в начале удара направлена по нормали  n  к плите, то удар будет прямым, в противном случае - косым. [10]

Используем уравнение из теоремы об изменении количества движения системы при ударе в проекциях только на одну любую координатную ось:

. (1.5)

Составим уравнение для нормали n:

, (1.6)

где ;

.[4]

В результате получим:

(1.7)

Но при прямом ударе . Следовательно:

. (1.8)

Уравнение, необходимое для решения задачи, дает равенство:

. (1.9)

Из полученных уравнений, зная m, k, v, можно найти неизвестные величины u и P. При этом:

. (1.10)

Предположим, что система замкнутая и вся потенциальная энергия переходит в кинетическую, а вся кинетическая в потенциальную. Следовательно, из закона сохранения импульса в замкнутой системе тел:

. [4] (1.11)

Значит, что реакция шара на плиту равна:

, (1.12)

А скорость шара до удара по формуле Галилея:

, (1.13)

где H – высота падения шарика, м;

g – ускорение свободного падения, м/с².

Подставляя данные формулы в выражение (1.13), получим:

. (1.14)

Используя математические преобразования и второй закон Ньютона, получим:

, (1.15)

где A – средние перегрузки объекта при ударе, м/с²;[8]

ΔT – время касания при ударе, с;

H – высота, с которой падает объект, м;

g – ускорение свободного падения, м/с²;

k – коэффициент восстановления.

Делая выводы о получившейся формуле, можно отметить, что перегрузки не зависят от массы падающего объекта. Для среднего значения это верно, но для подсчета пикового значения масса падающего объекта важна. Однако пиковое значение перегрузок слишком кратковременно, следовательно, удар не наносит такие повреждения при которых нанес бы удар среднее значение перегрузок которого равнялось бы пиковому значению в вышеописанном случае. [9]