курсовая решение систем диф.уравнений. Курсовая работа.Решение систем диф урав. Содержание введение 2 Глава Системы дифференциальных уравнений. 3 Основные понятия и сведения о дифференциальных уравнениях. 3 Системы дифференциальных уравнений.
![]()
|
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 2 Глава 1. Системы дифференциальных уравнений. 3 1.1.Основные понятия и сведения о дифференциальных уравнениях. 3 1.2.Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. 4 1.3.Интегрирование нормальных систем. 7 1.4.Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами. 10 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 17 ЛИТЕРАТУРА 18 ВВЕДЕНИЕ Бурное развитие в последнее десятилетие информационных технологий и компьютерной техники способствует возникновению всё более сложных математических задач, для решения которых требуется значительное время. Очень часто возникают задачи, не требующие абсолютно точного решения; как правило, требуется найти приближенное решение с заданной погрешностью. Одной из таких задач является решение систем дифференциальных уравнений. Обыкновенными дифференциальными уравнениями можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей и т. д. Ряд физических задач может быть сведён к решению дифференциальных уравнений или системы дифференциальных уравнений. Целью курсовой работы является рассмотрение решений систем дифференциальных уравнений. Для достижения данной цели решались следующие задачи: изучение основных понятий и сведений о дифференциальных уравнениях; рассмотрение систем дифференциальных уравнений и основных понятий; рассмотрение интегрирования нормальных систем и систем линейных ДУ с постоянными коэффициентами. Глава 1. Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия и сведения о дифференциальных уравнениях. При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Так, решением уравнения ![]() ![]() ![]() Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ). Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ. Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения. Например, уравнение ![]() ![]() ![]() Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ – интегральной кривой. Рассмотрим задачу, решение которой приводит к дифференциальному уравнению. Задача. Материальная точка массы т замедляет свое движение под действием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости ![]() ![]() ![]() Решение. Примем за независимую переменную время ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В данном случае ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем сначала параметры ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, скорость точки изменяется по закону ![]() ![]() Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные. Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей ![]() ![]() ![]() Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида
называется нормальной системой ДУ. При это предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций. Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (1). Так, система трех ДУ второго порядка ![]() описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых переменных: ![]() ![]() Уравнение третьего порядка ![]() ![]() ![]() Из сказанного выше следует полезность изучения именного нормальных систем. Решение системы (1) называется совокупноcть из ![]() ![]() Начальные условия для системы (1) имеют вид
Задача Коши для системы (1) ставиться следующим образом: найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям (2). Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема. Теорема 1. Если в системе (1) все функции ![]() непрерывны вместе со всеми своими частными производными по ![]() ![]() ![]() ![]() Меняя в области ![]() ![]() ![]() ![]() Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (2) можно однозначно определить постоянные ![]() ![]() Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных ![]() Интегрирование нормальных систем. Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка. (Обратная задача – переход от ДУ к системе – рассмотрена выше на примере). Техника этого метода основана на следующих соображениях. Пусть задана нормальная система (1). Продифференцируем по x любое, например, первое уравнение: ![]() Подставив в это равенство значения производных ![]() ![]() или, коротко, ![]() Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значения производных ![]() ![]() Продолжая этот процесс (дифференцируем – подставляем – получаем), находим: ![]() Соберем полученные уравнения в систему:
Из первых ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Найденные значения ![]() ![]() ![]() ![]() Продифференцировав его ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1. Решить систему уравнений ![]() Решение. Продифференцируем первое уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() Из первого уравнения системы выражаем ![]() ![]()
Подставляем значение ![]() ![]() т.е. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид ![]() Замечание. Систему уравнений (1) можно решать методом интегрируемых комбинаций, суть метода состоит в том, что посредством арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции. Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере. Пример 2. Решить систему уравнений: ![]() Решение. Сложим почленно данные уравнения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Получили так называемый первый интеграл системы. Из него можно выразить одну из искомых функций через другую, тем самым уменьшить на единицу число искомых функций. Например, ![]() ![]() Замечание. Данная система «позволяет» образовать еще одну интегрируемую комбинацию: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами. Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнения (1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, то есть систему вида ![]() Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями ![]()
где все коэффициенты ![]() Будем искать частное решение системы (6) в виде
где ![]() Подставив эти функции в систему (6) и сократив на множитель ![]() ![]() Или
Систему (8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными ![]()
Уравнение (9) называется характеристическим уравнением системы (6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно ![]() Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны ![]() ![]() ![]() для корня ![]() ![]() для корня ![]() для корня ![]() Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (6) записывается в виде
Пример 3. Решить систему уравнений: ![]() Решение. Характеристическое уравнение (9) данной системы имеет вид ![]() Или ![]() ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() Положим ![]() ![]() ![]() ![]() Общее решение исходной системы, согласно формуле (10), запишется в виде ![]() Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: ![]() Замечание. Вместе полученных частных решений можно взять их линейные комбинации, применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида ![]() ![]() Пример 4. Найти частное решение системы ![]() Удовлетворяющее начальным условиям: ![]() Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() Для ![]() ![]() Отсюда находим: ![]() ![]() Для ![]() ![]() Отсюда находим: ![]() ![]() В найденных решениях действительную (Re) и мнимую (Im) части: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Как уже было сказано, корень ![]() Таким образом, общее решение системы имеет вид ![]() ![]() ![]() Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получаем систему уравнений для определения постоянных ![]() ![]() Следовательно, искомое частное решение имеет вид ![]() ![]() Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратности ![]() а) если ![]() ![]() б) если ![]() ![]() Это решение зависит от ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 5. Решить систему уравнений: ![]() Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() Полагая ![]() ![]() ![]() Двукратному корню ![]() ![]() ![]() или, после сокращение на ![]() ![]() Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда ![]() Выразим все коэффициенты через два из них ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Полагая ![]() ![]() Полагая ![]() ![]() Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню ![]() ![]() ![]() Записываем общее решение исходной системы: ![]() ![]() ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате работы поставленные задачи выполнены, цель достигнута. Для решения многих задач математики, физики, техники (задач динамики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему. Задача решения системы дифференциальных уравнений имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, она является вспомогательной задачей при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований. ЛИТЕРАТУРА Письменный, Д. Т./ Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. - 10-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2011. - 608 с. Лунгу К. Н./ Сборник задач по высшей математике. 2 курс/ Лунгу К.Н. и др.; под ред. Федина С.Н. – 6-е. изд. – М.: Айрис – пресс, 2007. – 592 с. Ильин В.А./ Классический университетский учебник МГУ «Высшая математика» В.А. Ильин, А.В. Куркина / 2011г.- 592 с. Боярчук А.К./ Дифференциальные уравнения в примерах и задачах/ Боярчук А.К., Головач Г.П./ справочное пособие по высшей математике// М: Эдиториал УРСС, 2001- 384 с. Гунько В.Д./ Дифференциальные уравнения. Примеры и типовые задания// Гунько В.Д., Суховеева Л.Ю., Смоленцев В.М: Учебное пособие/ КубГАУ. – Краснодар, 2005 – 105с. |