ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕНЕРАЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ОСТАТОЧНЫМИ ТОКАМИ В ПЛАЗМЕННОМ ЦИЛИНДРЕ. СодержаниеСодержание2Введение31Постановка задачи и основные соотношения
 Скачать 0.87 Mb.
|
|
Содержание Содержание 2 Введение 3 1 Постановка задачи и основные соотношения 5 1.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Основные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Решение системы 11 2.1 Метод конечных разностей во временной области . . . . . . . . 11 2.2 Условия поглощения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Условие устойчивости разностной схемы . . . . . . . . . . . . . 16 3 Эффективность энергетических преобразований 17 3.1 Энергия, запасенная в остаточном токе . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Энергия излученная системой. Коэффициент полезного действия . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Параметры системы. Обезразмеривание 21 5 Результаты расчетов 22 5.1 Энергетические зависимости. Оптимальный набор параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.2 Спектральный анализ полученных данных . . . . . . . . . . . . 29 Заключение 32 Техника безопасности 33 Список литературы 34 2 Введение Изучение ионизированных структур, в том числе, плазмы, в отдельности, является одним из приоритетных направлений в области как теоретической, так и прикладной физики. Особенную роль играет способность подобных структур к генерации электромагнитных волн под внешним воздействием. С учетом то- го, что изучаемая в таких случаях плазма по факту представляет из себя силь- но ионизированный газ, под внешним воздействием обычно понимают элек- тромагнитное поле разной формы, структуры, и способа генерации, хотя чаще всего в прикладных исследованиях и экспериментах используют именно ла- зерную генерацию. Таким образом конструируются и моделируются лазерно- плазменные излучатели. В данной работе численно исследуется группа однотипных частных случа- ев такой генерации, когда в некий определенный, далее называемый начальным моментом, бесконечно малый (узкий) промежуток времени в плазме заданной формы и структуры возбуждается ток, после чего задачей исследователя явля- ется изучение того, как данная система будет себя вести в дальнейшем во вре- мени и пространстве. То есть одной из главных задач в подобных работах, в том числе и этой, является получение и изучение пространственно временной эво- люции магнитных и электрических полей, а также аналогичного распределе- ния (эволюции) тока. После этого с полученными данными уже можно работать производя дальнейшие известные и, впрочем, стандартные преобразования, та- кие как, получение спектральных характеристик, нахождение энергетических зависимостей и так далее. Впрочем, на точность и правдоподобность уже этих данных будет влиять качество и точность построенного пространственно вре- менного распределения, что отчасти имеет отражение и в данной работе. Хочется сразу сказать что исследования в данной области уже проводились [2; 6], однако существенное отличие данной работы от них заключается в том, что система, рассматриваемая в упомянутых работах, решалась при условии квазистатического приближения, то есть поперечные размеры самой системы были существенно меньше, чем масштабы создаваемого системой излучения. Решение подобных задач – в основном – ищется аналитическими методами с 3 возможными последующими дополнениями и вставками из численных расче- тов. Такой путь – с одной стороны – достаточно точен и позволяет найти реше- ние без существенных ошибок в виде конечного аналитического выражения, то есть максимально близко приблизиться к окончательному результату с окон- чательными выводами, минуя численные ошибки, погрешности и сложности моделирования, либо используя их уже для обработки и расчетов функций, не поддающихся аналитическому упрощению и вычислению. С другой стороны – подобный метод решения аналогичных задач накладывает определенные огра- ничения и требования на саму систему. В частности, исследования, упомяну- тые выше, не позволяли обнаружить параметры системы, при которых дости- гается максимальное эффективное преобразование энергии, запасенной в оста- точных токах, в энергию электромагнитного излучения. В данной же работе данные ограничения были фактически сняты, так как в отличие от [2; 6], сейчас же решаются точные уравнения Максвелла в холодной плазме с различными параметрами системы, в том числе выходящие за рамки квазистатического приближения, что позволяет нам определить эффективность энергетических преобразований. Для изучения поставленного вопроса требуется не столько вычислительная мощность, сколько корректно настроенный алгоритм, на входе которого «пода- ются» определенные параметры поставленной задачи, а на выводе получаются требуемые к нахождению данные, причем они должны быть согласованы с тео- рией и если отличаться от неё, то на очень малую величину. Основной задачей данной работы является создание такого алгоритма в виде вычислительного ко- да. Поставлена задача создания такого вычислительного кода для решения точ- ных уравнений Максвелла применимо к заданной системе, описанной ниже. Также стоит сказать, что идеализированная задача рассматривается – с од- ной стороны – ввиду простоты её реализации, объяснения и последующий вы- водов, а с другой – для проверки работоспособности и правдоподобности алго- ритма, так как в данной задаче должны будут наблюдаться определенные физи- ческие эффекты, которые проявляются и в последующих модификациях данной задачи, уже представляющих более существенный практический интерес. 4 1. Постановка задачи и основные соотношения 1.1. Постановка задачи Пусть дан цилиндр радиуса 𝑅 2 , бесконечный вдоль своей оси (оси 𝑧), запол- ненный плазмой с заданной концентрацией заряженных частиц в ней. Причём эта концентрация равномерно распределена по всему цилиндру, неизменна во времени, и имеет заданное симметричное – не зависящее от полярного угла – пространственное распределение по радиусу цилиндра. От его оси при 𝑟 = 0 до определенного радиуса 𝑅 1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 плазменная концентрация равна опре- деленному заданному значению 𝑁 0 , далее от 𝑅 1 до 𝑅 2 плавно спадает до нуля, после чего, соответственно, переходит в вакуум. Обозначим такой закон спадания концентрации как некую заданную функ- цию 𝑓(𝑟), так как зависимости от 𝜑 и 𝑧 мы изначально убрали: 𝑓(𝑟) = ⎧ { { ⎨ { { ⎩ 1, 𝑟 < 𝑅 1 cos 2 ( 𝜋(𝑟−𝑅 1 ) 2(𝑅 2 −𝑅 1 ) ) , 𝑅 1 < 𝑟 < 𝑅 2 0, 𝑟 > 𝑅 2 (1.1) Концентрация и плазменная частота равны соответственно: 𝑁 (𝑟) = 𝑁 0 𝑓(𝑟) (1.2) 𝜔 2 𝑝 = 𝜔 2 𝑝0 𝑓(𝑟) (1.3) 5 Распределение плазменной концентрации (1.2) в таком случае имеет вид: 𝑅 1 𝑅 2 𝑁 0 𝑟 𝑁 (𝑟) Рис. 1: Распределение плазменной концентрации в зависимости от 𝑟. А сечение цилиндра схематично представлено на рис.2 𝑅 1 𝑅 2 Рис. 2: Сечение цилиндра Положим что в начальный момент времени единовременно во всем про- странстве цилиндра возбуждается ток с заданной плотностью (1.4) ⃗ 𝑗| 𝑡=0 = 𝑗 0 𝑓(𝑟) ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 0 , 𝑗 0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (1.4) 6 При этом поля в начальный момент времени нулевые: ⃗ 𝐸| 𝑡=0 = 0; ⃗ 𝐻 𝑡=0 = 0 (1.5) То есть ток возбуждается вдоль оси 𝑥, которая, в свою очередь, перпенди- кулярна оси цилиндра 𝑧. Данное распределение начального тока даёт нам воз- можность искать дальнейшее решение задачи в дипольном виде, с заданной за- висимостью от полярного угла, при этом подобная зависимость компонент по- лей и токов позволит нам значительно упростить решение задачи, сведя его к одномерному радиальному распределению искомых функций. 1.2. Основные соотношения Найдём выражение для плотности тока в плазме, используя известные соот- ношения (1.6) – (1.10). Мы знаем определение плотности тока, как упорядочен- ного движения заряженных частиц. Пренебрегаем движением ионов в плазме по причине их много большей массы по сравнению с массой электронов. Будем считать что в изучаемой нами плазме движению подвержены только электроны. ⃗ 𝑗 = 𝑒𝑁 𝑒 ⃗ 𝑣 (1.6) где 𝑗 – искомая плотность тока, 𝑒 и (𝑁 𝑒 ≡ 𝑁 ) – заряд электрона и концентра- ция электронов в плазме соответственно. Продифференцируем (1.6) один раз по времени 𝜕 ⃗ 𝑗 𝜕𝑡 = 𝑒𝑁 𝜕 ⃗ 𝑣 𝜕𝑡 (1.7) а также запишем уравнение движения в электрическом поле плазменных ча- стиц с учётом их соударений – в таком случае вводится аналог силы трения 𝑚 𝜕 ⃗ 𝑣 𝜕𝑡 = 𝑒 ⃗ 𝐸 − 𝑚𝜈 ⃗ 𝑣 (1.8) где 𝑒 – модуль заряда электрона, 𝑚 – масса электрона, 𝑁 – концентрация элек- тронов в плазме, 𝜈 – частота соударений частиц. Подставим (1.8) в (1.7), пред- варительно разделив обе части уравнения (1.8) на 𝑚: 𝜕 ⃗ 𝑗 𝜕𝑡 = 𝑒𝑁 ( 𝑒 𝑚 ⃗ 𝐸 − 𝜈 ⃗ 𝑣) (1.9) 𝜕 ⃗ 𝑗 𝜕𝑡 = 𝑒 2 𝑁 𝑚 ⃗ 𝐸 − 𝜈𝑒𝑁 ⃗ 𝑣 (1.10) 7 Используя (1.6) в (1.10), а также определение плазменной частоты (1.12) полу- чаем окончательное уравнение для плотности тока в плазме: 𝜕 ⃗ 𝑗 𝜕𝑡 = 𝜔 2 𝑝 4𝜋 ⃗ 𝐸 − 𝜈 ⃗ 𝑗 (1.11) где 𝜔 𝑝 (𝑟) = √ 4𝜋𝑒 2 𝑁 (𝑟) 𝑚 (1.12) Записав уравнения Максвелла в дифференциальной форме в системе СГС вместе с уравнением (1.12): ⎧ { { { { ⎨ { { { { ⎩ 𝑟𝑜𝑡 ⃗ 𝐸 = − 1 𝑐 𝜕 ⃗ 𝐻 𝜕𝑡 𝑟𝑜𝑡 ⃗ 𝐻 = 4𝜋 𝑐 ⃗ 𝑗 + 1 𝑐 𝜕 ⃗ 𝐸 𝜕𝑡 𝜕 ⃗ 𝑗 𝜕𝑡 = 𝜔 𝑝 2 4𝜋 ⃗ 𝐸 − 𝜈 ⃗ 𝑗 (1.13) мы получим основную фундаментальную систему уравнений, которую мы бу- дем использовать для дальнейших расчетов в данной работе. Используя (1.4), упростим систему (1.13): так как искомая система пред- ставляет собой бесконечный цилиндр, проще всего будет искать решение в ци- линдрической системе координат. Разложим начальный импульс (1.4) по век- торам не декартовой, а цилиндрической СК. ⃗ 𝑒 𝑥 = cos 𝜑 ⃗ 𝑒 𝜌 − sin 𝜑 ⃗ 𝑒 𝜑 (1.14) То есть: ⃗ 𝑥 0 = cos 𝜑 ⋅ ⃗𝑟 0 − sin 𝜑 ⋅ ⃗ 𝜑 0 (1.15) Также распишем систему (1.13) в цилиндрической СК. Так как цилиндр в рассматриваемой задаче бесконечный, ионизационный фронт распространяет- ся по нему мгновенно, от 𝑧 в данной задаче ничего не зависит, то есть произ- водная по этой координате будет равна нулю. 8 ⎧ { { { { { { { { { { ⎨ { { { { { { { { { { ⎩ 1 𝑟 𝜕𝐸 𝑧 𝜕𝜑 = − 1 𝑐 𝜕𝐻 𝑟 𝜕𝑡 𝜕𝐸 𝑧 𝜕𝑟 = 1 𝑐 𝜕𝐻 𝜑 𝜕𝑡 1 𝑟 ( 𝜕 (𝑟𝐸 𝜑 ) 𝜕𝑟 − 𝜕𝐸 𝑟 𝜕𝜑 ) = − 1 𝑐 𝜕𝐻 𝑧 𝜕𝑡 1 𝑟 𝜕𝐻 𝑧 𝜕𝜑 = 4𝜋 𝑐 𝑗 𝑟 + 1 𝑐 𝜕𝐸 𝑟 𝜕𝑡 − 𝜕𝐻 𝑧 𝜕𝑟 = 4𝜋 𝑐 𝑗 𝜑 + 1 𝑐 𝜕𝐸 𝜑 𝜕𝑡 1 𝑟 ( 𝜕 (𝑟𝐻 𝜑 ) 𝜕𝑟 − 𝜕𝐻 𝑟 𝜕𝜑 ) = 4𝜋 𝑐 𝑗 𝑧 + 1 𝑐 𝜕𝐸 𝑧 𝜕𝑡 𝜕𝑗 (𝑟,𝜑,𝑧) 𝜕𝑡 = 𝜔 𝑝 2 4𝜋 𝐸 (𝑟,𝜑,𝑧) − 𝜈𝑗 (𝑟,𝜑,𝑧) (1.16) Воспользуемся методом разделения переменных, представим все исследу- емые компоненты как произведение функции, зависящей только от времени и координаты на функцию, зависящей только от полярного угла. Совместив этот метод с (1.4) и (1.15), а также с учетом того, что с данной постановкой задачи некоторые компоненты, а именно 𝑗 𝑧 , 𝐸 𝑧 , 𝐻 𝑟 , 𝐻 𝜑 будут равны нулю, получим: ⎧ { { ⎨ { { ⎩ 𝑗 𝑟 = 𝑗 𝑟 (𝑟,𝑡) cos 𝜑; 𝑗 𝜑 = 𝑗 𝜑 (𝑟,𝑡) sin 𝜑; 𝐸 𝑟 = 𝐸 𝑟 (𝑟,𝑡) cos 𝜑; 𝐸 𝜑 = 𝐸 𝜑 (𝑟,𝑡) sin 𝜑; 𝐻 𝑧 = 𝐻 𝑧 (𝑟,𝑡) sin 𝜑; (1.17) 9 Получаем систему с так называемым дипольным решением, с заданной за- висимостью от угла, при этом сами исследуемые в дальнейшем компоненты в (1.17) зависят только от времени и радиальной координаты, то есть от расстоя- ния до оси цилиндра. Учитывая то, что система уравнений (1.16) есть система уравнений в частных производных, подставив (1.17) в (1.16), получаем оконча- тельные уравнения, с которыми нам предстоит работать. ⎧ { { { { { { ⎨ { { { { { { ⎩ − 1 𝑐 𝜕𝐻 𝑧 𝜕𝑡 = 1 𝑟 ( 𝜕 (𝑟𝐸 𝜑 ) 𝜕𝑟 + 𝐸 𝑟 ) 1 𝑐 𝜕𝐸 𝑟 𝜕𝑡 = 1 𝑟 𝐻 𝑧 − 4𝜋 𝑐 𝑗 𝑟 1 𝑐 𝜕𝐸 𝜑 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 𝑧 𝜕𝑟 − 4𝜋 𝑐 𝑗 𝜑 𝜕𝑗 𝑟 𝜕𝑡 = 𝜔 𝑝 2 4𝜋 𝐸 𝑟 − 𝜈𝑗 𝑟 𝜕𝑗 𝜑 𝜕𝑡 = 𝜔 𝑝 2 4𝜋 𝐸 𝜑 − 𝜈𝑗 𝜑 (1.18) Для полноценной постановки задачи с использованием дифференциальных уравнений, необходимо ввести не только начальные условия, но и граничные. Исходя из (1.18) мы ставим следующие граничные условия на границу 𝑟 = 0: 𝐻 𝑧 | 𝑟=0 = 0 (1.19) 𝜕𝐸 𝜑 𝜕𝑟 ∣ 𝑟=0 = 0 (1.20) Также ставим граничные условия на излучение на бесконечности (так на- зываемые условия Зоммерфельда): ⃗ 𝐸| 𝑟→∞ = 0 (1.21) ⃗ 𝐻| 𝑟→∞ = 0 (1.22) 10 2. Решение системы Начнём с того, что решение поставленной задачи аналитическим методом если и представляется возможным, то крайне затратным в плане подбора и на- хождения конкретной – может даже приближенной – функции от: времени, ра- диуса, начальных условий, и заданных параметров самой системы. Для реше- ния задач, как подобных этой, так и многих других, когда каждая из перемен- ных зависит от другой по определенному закону, используется численное мо- делирование дифференциальных уравнений. Способов, методов и схем такого моделирования современная наука знает очень много. Однако ввиду простоты реализации, достаточно интуитивно понятной схеме и вариативности, основ- ным методом решения уравнений электродинамики является метод конечных разностей во временной области (КРВО). Хотя в научной литературе вне за- висимости от основного языка статьи, исследования или научной работы ча- ще всего используется оригинальная англоязычная аббревиатура FDTD (англ. - Finite Difference Time Domain). 2.1. Метод конечных разностей во временной области Данный метод, изначально описанный в работе [4], основан на дискретиза- ции уравнений Максвелла и предназначен для решения точных задач электро- динамики. Разностная схема основана на численном решении дифференциаль- ных уравнений, когда вводится сетка по дифференцируемой переменной, и про- изводная первого порядка представляется в геометрическом (пространствен- ном) виде как разница значений дифференцируемой функции в соседних точ- ках сетки, называемых узлами, деленная на разность значений переменной, по которой идёт дифференцирование, называемой шагом дискретизации. Обычно для упрощения расчетов и в угоду интуитивности сетка делается одномерной, то есть шаг дискретизации – это определенная фиксированная константа, дан- ная условность используется и в данной работе. Если мы применим разностную схему к уравнениям Максвелла одинаково для всех компонент полей и токов, мы столкнёмся с тем, что каждая отдель- ная компонента полей, исходя из (1.13), является соответствующей компонен- 11 той ротора другого поля, при этом эти зависимости взаимны друг с другом, то есть электрическое поле это пространственный вихрь (проще – ротор) поля маг- нитного, и наоборот. Чтобы рассчитать одно поле в одной точке пространства, необходимо найти изменение другого поля в этой же точке, а изменение другого поля – это с точностью до шага по пространству разность значений поля в двух соседних точках. При этом расчеты придется вести не в каждом узле, а через один, что в конечном итоге приводит нас к тому, что само пространство легче и интуитивнее разбить на сетку не с одинарным шагом, а с половиной этого шага, просто определенные компоненты нужно сдвинуть по сетке на полшага, а другие оставить на основных узлах, и производить расчеты независимо по методике из предыдущего абзаца. Для декартовой системы координат такое разбиение выглядит следующим образом: 𝑦 𝑥 𝑧 𝐸 𝑥 𝐻 𝑦 𝐸 𝑧 𝐻 𝑧 𝐻 𝑥 𝐸 𝑦 Δ𝑥 Δ𝑦 Δ𝑧 Рис. 3: Трехмерная сетка для декартовой СК. 12 Как и было сказано ранее, все компоненты полей разнесены в пространстве друг относительно друга. Для цилиндрической системы координат разбиение по сетке будет строиться по аналогичному принципу, рассмотренному в [3]. Рис. 4: Трехмерная сетка для цилиндрической СК. Для приведения численной схемы к требуемой в данной задаче, необходи- мо убрать зависимость от 𝑧, и представить зависимость от 𝜑 как (1.17). То есть сетка визуально будет выглядеть одномерно, в расчетах будет использовать- ся одномерная зависимость поля и токов от 𝑟, однако на самом деле сетка бу- дет являться двумерной, но с заданной зависимостью от одной из переменных. Это объясняет наличие в точках с половинчатым шагом 𝑟 = 𝑁 (𝑟 + 1/2), сразу двух компонент 𝐻 𝑧 и 𝐸 𝑟 с учетом того, что для разделения переменных и на- писании разностной схемы необходимо «разнести» в пространстве все иссле- дуемые компоненты. Стоит отметить, что по причине разделения компонент в пространстве необходимо аналогичным образом разделить и временную сетку, то есть расчет фактически ведётся по половине шага, с чередованием рассчи- тываемых полей, аналогично расчетам по пространству. 13 𝑟 0 𝐸 𝜑 | 0 𝑑𝑟 𝐸 𝑟 | 𝑑𝑟 2 𝐻 𝑧 | 𝑑𝑟 2 Рис. 5: Одномерная FDTD схема Используя описанное выше определение производной, а также сетку на рис. 5, получаем окончательную систему уравнений: ⎧ { { { { { ⎨ { { { { { ⎩ 𝐸 𝑟 | 𝑖+1 𝑛+ 1 2 = 𝐸 𝑟 | 𝑖 𝑛+ 1 2 + 𝑐△𝑡 𝑟 𝐻 𝑧 | 𝑖+ 1 2 𝑛+ 1 2 − 4𝜋△𝑡𝑗 𝑟 | 𝑖 𝑛+ 1 2 𝐸 𝜑 | 𝑖+1 𝑛 = 𝐸 𝜑 | 𝑖 𝑛 − 𝑐△𝑡 △𝑟 (𝐻 𝑧 | 𝑖+ 1 2 𝑛+ 1 2 − 𝐻 𝑧 | 𝑖+ 1 2 𝑛− 1 2 ) − 4𝜋△𝑡𝑗 𝜑 | 𝑖 𝑛 𝐻 𝑧 | 𝑖+1 𝑛+ 1 2 = 𝐻 𝑧 | 𝑖 𝑛+ 1 2 + 𝑐△𝑡 𝑟 [−𝐸 𝑟 | 𝑖 𝑛+ 1 2 − (𝑟𝐸 𝜑 )| 𝑖 𝑛+1 − (𝑟𝐸 𝜑 )| 𝑖 𝑛 △𝑟 ] 𝑗 𝑟 | 𝑖+1 𝑛+ 1 2 = (1 − 𝜈△𝑡)𝑗 𝑟 | 𝑖 𝑛+ 1 2 + △𝑡𝜔 2 𝑝0 4𝜋 𝑓(𝑟)𝐸 𝑟 | 𝑖 𝑛+ 1 2 𝑗 𝜑 | 𝑖+1 𝑛 = (1 − 𝜈△𝑡)𝑗 𝜑 | 𝑖 𝑛 + △𝑡𝜔 2 𝑝0 4𝜋 𝑓(𝑟)𝐸 𝜑 | 𝑖 𝑛 (2.1) где по 𝑖 откладываются шаги по времени, а по 𝑛 – шаги по 𝑟. 14 2.2. Условия поглощения Для предотвращения «загрязнения» сигнала отражениями с другого конца оси 𝑟, то есть аналитически при 𝑟 → ∞ недостаточно только обнулить про- изводную саму функцию на конце границы расчета. В зависимости от постав- ленной задачи и моделируемой области могут использоваться различные гра- ничные условия. Чаще всего используются условие идеально согласованных слоев (perfectly matched layers - PML), периодические условия для расчета пе- риодических структур и условия идеального проводника на границе, когда в граничных точках поле берется всегда равным нулю. Последнее имеет очень се- рьезный недостаток, так как от такой границы идет полное отражение волны, и если требуется длительное наблюдение электромагнитного поля, отраженные от границ счетной области волны могут «загрязнять» сигнал и делать невоз- можным его дальнейший анализ. Для исключения отражения от границ обла- сти и был придуман способ идеально-согласованных слоев, описанный в [1]. В данной работе используются только условие идеально согласованных слоев, когда в определенной области расчетной сетки вводятся слои, поглощающие попадающее в него поле (расчет поглощения для токов существенно услож- нил бы задачу, поэтому поглощение происходит в расчетном вакууме), причем относительно каждого отдельного слоя среда и её свойства изменяются несу- щественно, однако усиление поглощающих свойств происходит при продви- жение от начала данных слоёв до их конца (обычно это происходит на границе расчетной области), где поглощение усиливается до максимума и дальнейшего прохода энергии через последний слой невозможно. В частности, для PML, предназначенного для поглощения волн, распростра- няющихся в направлении r, как в данной работе, в волновое уравнение вклю- чено следующее преобразование. Всякая производная 𝜕/𝜕𝑟 заменяется на: 𝜕 𝜕𝑟 → 1 1 + 𝑖𝜎(𝑟) 𝜔 𝜕 𝜕𝑟 (2.2) где 𝜔 – угловая частота поглощаемой волны и 𝜎 - некоторая функция от 𝑟, от- вечающая за поглощение слоя в точке 𝑟. То есть 𝑑𝑟 → 𝑑𝑟(1 + 𝑖𝜎(𝑟)/𝜔). 15 2.3. Условие устойчивости разностной схемы При составлении пространственно-временных реализаций пространство и время, соответственно, поддаются дискретизации, и уже если и воспроизводят реальную картину исследуемого объекта, поля и.т.д., то с определенной неточ- ностью. Можно также упомянуть тот факт, что все расчеты в численных мето- дах производятся с помощью вычислительных машин (компьютеров), то есть к неточности дискретизации также добавляется машинная неточность самого компьютера. В случае, рассматриваемом в данной работе, условием устойчивости мето- да конечных разностей является так называемое условие (критерий) Куранта – Фридрихса – Леви, или просто условие Куранта [7]. В текущей задаче и в цилиндрической СК это условие (2.3) будет выглядеть так: Δ𝑡 ≤ Δ𝑟 𝑐 √ 2 (2.3) В свою очередь условие устойчивости для Δ𝑟 будет следующим: Δ𝑟 ≪ 𝜈 𝜔 𝑝0 (𝑅 2 − 𝑅 1 ) (2.4) 16 3. Эффективность энергетических преобразований Основной задачей, поставленной в данной работе, является определение оптимальных параметров (размеров) системы, при которых достигается мак- симально эффективное преобразование энергии, запасенной в образованном в момент мгновенной ионизации остаточном токе, в электромагнитную энергию излучения. Дальнейшие исследования полученных решений можно свести к изучению излучения волны, возбуждаемой данной системой (данным цилин- дром) в вакуум. С учетом того, что цилиндр, представленный в данной зада- че, является бесконечным, с бесконечно быстро распространяющимся фронтом ионизации, расчёт коэффициента полезного действия по определению сводит- ся к нахождению отношения суммарной энергии, излученной системой за всё время к суммарной энергии, запасенной в цилиндре во всем пространстве. При этом обе энергии в виду бесконечности цилиндра, будут рассчитываться на еди- ницу его длины. 3.1. Энергия, запасенная в остаточном токе Для дальнейших выводов воспользуемся соотношением: 𝑊 𝑘 = 𝑚𝑣 2 2 (3.1) а также воспользуемся соотношениями (1.6) и (1.12). Уравнение (1.12) есть определение зависимости плазменной частоты 𝜔 𝑝 от 𝑁 (𝑟). Уравнение (1.6) – определение плотности тока в проводнике как упорядоченного движения элек- тронов в нём. Уравнение (3.1) – кинетической энергии электрона, где 𝑚 − его масса, 𝑣 – его скорость. Для нахождения запасенной энергии в токе (или же кинетической энергии электронов на единицу длины, а не на единицу объёма) 𝑊 запасенная = 𝑊 кин ед дл = ∬ 𝑊 кин ед об 𝑑𝑆 (3.2) − интеграл по поперечному сечению цилиндра 𝑑𝑆 от 𝑟 = 0 до 𝑟 = 𝑅 2 17 Кинетическая энергия системы является функцией от 𝑟 и находится как произведение плазменной концентрации 𝑁 (𝑟) и кинетической энергии одно- го электрона (3.1). 𝑊 кин ед об = 𝑁 (𝑟) 𝑚𝑣 2 2 (3.3) Таким образом выражение для энергии запасенной в системе на единицу длины цилиндра приобретает следующий вид: 𝑊 запасенная = 𝑊 зап = ∬ 𝑁 (𝑟) 𝑚𝑣 2 2 𝑑𝑆 = 𝑚 2 ∬ 𝑁 𝑣 2 𝑑𝑆 (3.4) Из (1.6) мы можем получить 𝑁 𝑣 = 𝑗/𝑒, а также 𝑣 = 𝑗/𝑁 𝑒. Получим: 𝑊 зап = 𝑚 2 ∬ 𝑗 𝑒 ⋅ 𝑗 𝑒𝑁 𝑑𝑆 = 𝑚 2𝑒 2 ∬ 𝑗 2 𝑁 𝑑𝑆 (3.5) Из (3.1) мы можем получить выражение для 𝑁 (𝑟). 𝑁 (𝑟) = 𝜔 2 𝑝 (𝑟)𝑚 𝑒 4𝜋𝑒 2 = [𝜔 2 𝑝 = 𝜔 2 𝑝0 ⋅ 𝑓(𝑟)] = 𝜔 2 𝑝0 𝑚 𝑒 4𝜋𝑒 2 ⋅ 𝑓(𝑟) (3.6) Учитывая, что энергия «запасается» в начальный момент времени, значит и вы- ражение для плотности тока мы должны искать по начальному распределению, то есть по начальному условию: 𝑗(𝑟)| 𝑡=0 = 𝑗 0 𝑓(𝑟) (3.7) 𝑊 зап = 𝑚 2𝑒 2 ∬ 𝑗 2 𝑁 𝑑𝑆 = 𝑚 𝑒 2𝑒 2 ⋅ 4𝜋𝑒 2 𝜔 2 𝑝0 𝑚 𝑒 ⋅ 𝑗 2 0 ∬ 𝑓(𝑟) 2 𝑓(𝑟) 𝑑𝑆 (3.8) После сокращений и преобразований получаем: 𝑊 зап = 2𝜋 ( 𝑗 0 𝜔 𝑝0 ) 2 ∬ 𝑓(𝑟)𝑑𝑆 (3.9) В интеграле по области 𝑆 в цилиндрической системе координат элемент 𝑑𝑆 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 𝑊 зап = 2𝜋 ( 𝑗 0 𝜔 𝑝0 ) 2 ∫ 2𝜋 0 𝑑𝜑 ∫ 𝑅 2 0 𝑟𝑓(𝑟)𝑑𝑟 = = ( 2𝜋𝑗 0 𝜔 𝑝0 ) 2 ∫ 𝑅 2 0 𝑟𝑓(𝑟)𝑑𝑟 (3.10) 18 ∫ 𝑅 2 0 𝑟𝑓(𝑟)𝑑𝑟 = ∫ 𝑅 1 0 𝑟𝑑𝑟 + ∫ 𝑅 2 𝑅 1 𝑟𝑓(𝑟)𝑑𝑟 (3.11) ∫ 𝑅 2 0 𝑟𝑓(𝑟)𝑑𝑟 = 𝑅 2 1 2 + ∫ 𝑅 2 𝑅 1 𝑟𝑓(𝑟)𝑑𝑟 = 𝑅 2 1 2 + I (3.12) Где I = 𝑅 2 ∫ 𝑅 1 𝑟𝑐𝑜𝑠 2 ( 𝜋(𝑟−𝑅 1 ) 2(𝑅 2 −𝑅 1 ) ) 𝑑𝑟 = (𝑅 2 2 − 𝑅 2 1 ) /4 𝑊 зап = ( 2𝜋𝑗 0 𝜔 𝑝0 ) 2 ∫ 𝑅 2 0 𝑟𝑓(𝑟)𝑑𝑟 = = ( 2𝜋𝑗 0 𝜔 𝑝0 ) 2 ( 𝑅 2 1 2 + 𝑅 2 2 − 𝑅 2 1 4 ) = = ( 2𝜋𝑗 0 𝜔 𝑝0 ) 2 ( 𝑅 2 1 + 𝑅 2 2 4 ) (3.13) Получаем окончательное уравнение (3.14) для запасенной энергии: 𝑊 зап = ( 𝜋𝑗 0 𝜔 𝑝0 ) 2 (𝑅 2 1 + 𝑅 2 2 ) (3.14) 19 3.2. Энергия излученная системой. Коэффициент полезного действия Энергия, преобразованная в излученную, по определению есть циркуляция продольной компоненты (в нашем случае, это компонента, направленная вдоль вектора распространения волны, то есть координате 𝑟) вектора Пойнтинга по замкнутому контуру, охватывающего сечение цилиндра. Для получения конечного выражения для излученной энергии это выраже- ние мы должны проинтегрировать по всему времени от 0 до ∞, чтобы получить значение излученной энергии на всем промежутке времени, то есть: 𝑊 излученная на единицу длины = 𝑊 изл = ∫ ∞ 0 [∮ 𝑆 𝑟 𝑑𝑙] 𝑑𝑡 = = ∫ ∞ 0 [∫ 2𝜋 0 𝑆 𝑟 𝑟𝑑𝜑] 𝑑𝑡 = = ∫ ∞ 0 [∫ 2𝜋 0 𝑟 𝑐 4𝜋 𝐸 𝜑 𝐻 𝑧 𝑑𝜑] 𝑑𝑡 = ∞ ∫ 0 𝑐 4𝜋 𝜋 [𝑟𝐸 𝜑 𝐻 𝑧 ] 𝑑𝑡 = = 𝑐𝑟 4 ∞ ∫ 0 𝐸 𝜑 𝐻 𝑧 𝑑𝑡 (3.15) Запишем общее выражение для КПД в таком виде: 𝜂 = 𝑊 излученная на единицу длины 𝑊 запасенная на единицу длины = 𝑊 изл 𝑊 зап (3.16) Коэффициент полезного действия считается используя (3.15) и (3.14): 𝜂 = 𝑐𝑅 0 4 ∞ ∫ 0 𝐸 𝜑 𝐻 𝑧 𝑑𝑡 ( 𝜋𝑗 0 𝜔 𝑝0 ) 2 (𝑅 2 1 + 𝑅 2 2 ) (3.17) где интеграл в числителе легко находится с помощью численных методов на- хождения интегралов заданной функции. Остальные параметры являются кон- стантными параметрами задачи. 20 4. Параметры системы. Обезразмеривание Решения одинаковых точных уравнений, аналогичных тем, что рассматри- ваются в данной работе, могут кардинально различаться в зависимости от за- данных в постановке задачи параметров. Причем речь идёт не об ошибках в решении, возникающих при несоблюдении различных условий устойчивости. Под разницей в решениях понимается разница корректных, точных аналити- ческих решений, аналогично достижимых численными методами. Изменяется энергетические, частотные, мощностные и другие характеристики системы. Полученные с помощью (2.1) уравнения представляют собой компоненты 𝐸, 𝐻, 𝐽 как размерные величины, т.е. полученные точные решения будут яв- ляться значениями полей и токов в системе СГС ввиду того, что сами точные уравнения изначально написаны в этой системе. Для упрощения анализа по- лученных данных данные уравнения требуется «обезразмерить», т.е. сделать такую замену ̃ 𝐸, ̃ 𝐻, ̃ 𝜈, ̃𝑟 и 𝑡, чтобы эти величины являлись безразмерными, но при этом также связанными между собой. Последовательно обезразмериваем: • Плотность тока ⃗̃𝑗= ⃗𝑗/𝑗 0 ; • Напряженность магнитного и электрического полей соответственно ⃗ ̃ 𝐻 = ⃗ 𝐻 (𝜔 𝑝0 /4𝜋𝑗 0 ) и ⃗ ̃ 𝐸 = ⃗ 𝐸 (𝜔 𝑝0 /4𝜋𝑗 0 ); • Радиальную координату ̃ 𝑟 = 𝑟𝜔 𝑝0 /𝑐 (все параметры, связанные с радиусом цилиндра обезразмерены аналогично); • Частоту соударений электронов с тяжелыми частицами ̃ 𝜈 = 𝜈/𝜔 𝑝0 ; • Время ̃ 𝑡 = 𝜔 𝑝0 𝑡. В качестве основных параметров системы задавались: частота соударений нормированная на максимальную плазменную частоту ̃ 𝜈 = 𝜈/𝜔 𝑝0 , внешний обезразмеренный радиус цилиндра ̃ 𝑅 2 и безразмерное выражение 𝛿 = (𝑅 2 − 𝑅 1 ) /𝑅 2 характеризующее размер области спадания плаз- менной концентрации и частоты 𝜔 𝑝0 относительно размеров самого цилиндра (рис. 1 и рис. 2). 21 5. Результаты расчетов Согласно введению, требуется разработать вычислительный код для реше- ния всех, полученных выше, выражений. Ввиду нецелесообразности демон- страции кода в данной работе, само «тело» программы мы опустим и будем работать уже с конечными результатами действия этого кода. В ходе расчетов были выявлены и получены пространственно-временные распределения электрического и магнитного полей, токов, а также спектраль- ные характеристики излучаемой волны для каждого отдельного набора пара- метров. Пример получаемой кодом картины представлен на рисунке 6. Рис. 6: Пространственно временная эволюция системы, а также спектр излученной волны при 𝜈/𝜔 𝑝0 = 0.1, 𝛿 = 0.1, 𝑅 2 = 0.1 На нём видно, что описанная нами система излучает волну определенной формы во внешнюю среду. При рассмотрении задач с другим набором пара- метров системы получается волна аналогичного вида, однако разница начинает проявляться при дальнейшей обработке полученных данных. Рассмотрим рис. 6 более детально. Обратим внимание на распределение компонент полей и токов от координаты (𝐸 𝑟 (𝑟),𝐸 𝜑 (𝑟),𝐻 𝑧 (𝑟),𝐽 𝑟 (𝑟),𝐽 𝜑 (𝑟)). В зоне 0.09 ≤ 𝑟 ≤ 0.1 или же 𝑅 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 2 отмечается резкое усиление полей и то- ков вокруг точки 𝑟 = (𝑅 1 + 𝑅 2 ) /2. Подобный эффект называется плазменным 22 резонансом. В точке 𝑟 = (𝑅 1 + 𝑅 2 ) /2 согласно (1.3) и (1.1) локальная плаз- менная частота равна резонансной частоте, которую можно увидеть на спектре излучения, изображенном на рис. 6. При подобных параметрах системы резо- нансная частота равна 𝜔 рез = 𝜔 𝑝0 / √ 2 и называется частотой геометрического резонанса. При расширении зоны неоднородности плазмы (при увеличении 𝛿) зона гео- метрического резонанса всё также остается в её середине, спектр расширяется, а сам резонанс более широко распределяется по области неоднородности. Рис. 7: Пространственно временная эволюция системы, а также спектр излученной волны при 𝜈/𝜔 𝑝0 = 0.1, 𝛿 = 0.5, 𝑅 2 = 0.2 Изображенные на рис. 6 и рис. 7 картины являются для данной работы по- казательными – с одной стороны – ввиду того, что они полностью согласуют- ся с упомянутыми во введении исследованиями [2; 6], а с другой – при чис- ленном решении данной задачи необходимо накладывать существенные усло- вия на точность расчетов: временные и пространственные шаги должны быть критически малы, а количественно расчетов с ними должно происходить су- щественно больше. То есть численные ошибки и неточности вычислительной разностной схемы в случае задаче с малыми параметрами показали бы суще- ственное отклонение и максимальное расхождение с теорией. То есть точность последующих расчетов является приемлемой, так как при численных расчетах критической задачи отклонений не обнаружено. 23 5.1. Энергетические зависимости. Оптимальный набор параметров Для дальнейшего изучения системы с прикладной точки зрения имеет смысл поиск так называемого оптимума системы – в нашем случае оптимального на- бора параметров и условий, при которых обеспечивается наилучшее (самое эф- фективное) излучение – то есть мы должны стремиться к максимально эффек- тивному преобразованию энергии, запасенной в остаточном токе, в энергию электромагнитного излучения заданной системы. Стоит также объяснить прикладной смысл и соответствующие выкладки данной работы. В реальных исследуемых моделях (конструкциях) подобный тип излучения достигается с помощью мощного короткого ионизирующего ла- зерного импульса, когда за несколько фемтосекунд ( ∼ 10 −15 сек) система из газа трансформируется в плазму (то есть происходит ионизация), при этом дли- тельность этого импульса настолько мала, что электроны, ионы и нейтральные частицы не успевают существенно изменить свои положения в системе. То есть ионизированная система приобретает начальный импульс, который мы в урав- нениях записываем как начальные условия, а уже после этого «удара» система начинает определенным образом эволюционировать и эту эволюцию мы и изу- чаем в данной работе. Ввиду таких коротких по времени возбуждениях систе- мы, а также ввиду того, что размер системы много больше дебаевского радиуса, мы пренебрегаем температурным воздействием системы на саму себя. В дан- ной работе это выражается в том, что уравнение для плотности тока в (1.13) не содержит в себе прямую зависимость от температуры. Конструкция полученной системы зависит как от типа, характера «заряжа- ющего» импульса, так и от идеализации самой модели и выводов из неё, и про- чих возможных допущениях, которые могут приниматься в зависимости от по- ставленной задачи. С изменением структуры системы, при изменении относи- тельных размеров области спадающей границей по сравнению с участком плато наблюдается изменение колебательных свойств системы [6]. Как уже говори- лось выше, когда 𝛿, 𝜈 → 0, то есть область неоднородности плазмы очень мала, система имеет только одну резонансную частоту 𝜔 рез = 𝜔 𝑝0 / √ 2, так называе- 24 мую «частоту геометрического резонанса» [5], которую можно обнаружить и с помощью данного вычислительного кода (рис. 8). С уменьшением частоты соударений спектр должен сужаться в пределе до дельта-функции в точке гео- метрического резонанса, а с увеличением, соответственно, расширяться. Рис. 8: Наблюдение геометрического резонанса при 𝛿 = 0.1, 𝑅 2 = 0.2, и различных значениях 𝜈/𝜔 𝑝0 (0.05 и 0.2). Когда же область спадания приобретает определенный – отличный от бес- конечно малого – размер, так как плазменная частота спадает от своего мак- симального значения до нуля, в этой области мы можем «дойти» до частоты, совпадающей с 𝜔 𝑝0 / √ 2. Ввиду того, что распределение плазменной концентра- ции, а значит и 𝜔 𝑝 , не изменяется от времени, а их распределение от 𝑟 задано по (1.2), 𝜔 рез = 𝜔 𝑝0 / √ 2 ровно посередине области переменной концентрации (то есть, при 𝑟 = 𝑅 1 +𝑅 2 2 ). Возникающий в данном случае эффект, когда плазменная частота совпадает с резонансной частотой, называется плазменный резонансом. Возникновение плазменного резонанса порождает соответствующие энер- гетические потери в исследуемом объекте, причем если некоторые из возмож- ных в данной задаче потерь всё же можно назвать полезными (например, по- тери радиационные – то есть энергия теряется на излучении системы – в их 25 нахождении и эффективности основная суть данной работы) которые увеличи- вают эффективность моделируемого плазменного излучателя, а потери на со- ударении электронов с тяжелыми частицами можно сравнить с потерями энер- гии колебательных систем на затухании, то потери на резонансе – естественно, являются потерями негативными – однако, они напрямую зависят от ширины области неоднородной плотности плазмы, то есть от параметра 𝛿. Потери на со- ударении присутствуют в любой системе, где частота соударений 𝜈 ненулевая. Потери на излучении зависят от размеров системы, то есть от параметра 𝑅 2 , и скорее связаны с её внутренними свойствами и способностями эффективно отдавать энергию, запасенную в остаточном токе. Подбор оптимальных пара- метров системы, когда энергия запасена в достаточном количестве, чтобы не поглотиться на резонансе и/или соударении, но при этом излученная энергия составляла бы бо́льшую часть от запасенной, является основной задачей дан- ной работы. Чем больше 𝛿, тем больше потери на резонансе преобладают над остальными потерями, что показывают расчеты на рисунке 11. Полученные расчеты поставленной задачи с множеством параметров, а так- же последующий расчет коэффициента полезного действия по формуле (3.17) изображены на рисунке 9 (а, б). а) б) Рис. 9: Эффективность преобразования энергии, запасенной в остаточном токе в электромагнитную энергию излучения в зависимости от радиуса цилиндра 𝑅 2 и размера неоднородной области 𝛿 при 𝜈/𝜔 𝑝0 = 0.1 (а) и 𝜈/𝜔 𝑝0 = 0.7. 26 Из полученных данных можно определить зону оптимальных значений 𝑅 2 и 𝛿 – при которых КПД максимальный, то есть бо́льшая часть энергии не пере- ходит в негативные для нас потери, а излучается, то есть радиационные потери больше прочих. Также имеет смысл построить в оптимуме системы графики КПД от значений одного параметра при фиксированном значении другого и наоборот (рисунки 10 и 11). Рис. 10: Эффективность излучения при оптимальном размере неоднородной области 𝛿 = 0.1 в зависимости то радиуса цилиндра 𝑅 2 (𝜈/𝜔 𝑝0 = 0.1). Рис. 11: Эффективность излучения при оптимальном радиусе цилиндра 𝑅 2 = 1.64 в зависимости от размера неоднородной области 𝛿. (𝜈/𝜔 𝑝0 = 0.1). 27 Графики зависимостей КПД от нормированной частоты соударений при двух фиксированных 𝛿, что объясняет две различные ситуации, когда зона спада плазменной плотности либо мала по сравнению с общими размерами цилин- дра (𝛿 = 0.1), либо составляет основную часть (𝛿 = 1), расположены на рисун- ке 12. Полученный рисунок объясняет, что эффективная излучаемая энергия системы падает при увеличении количества соударений в ней, то есть вместо резонансных потерь доминировать начинают уже потери на соударениях. Рис. 12: Эффективность излучения в зависимости от частоты соударений 𝜈/𝜔 𝑝0 при разных размерах неоднородной области 𝛿. 28 5.2. Спектральный анализ полученных данных Спектральная обработка сигналов – как дискретных, так и аналоговых – позволяет оценить вид сигнала (импульса), излучаемого системой. Для изуче- ния получаемой волны имеет место построить спектры, нормированные на мак- симальную спектральную плотность мощности. Таким образом можно оценить ширину спектральной линии и основные частоты, но не мощность излучения относительно разных параметров. Построим такой рисунок при 𝑅 2 = 1.64 и 𝛿 = 0.1 в зависимости от 𝜈/𝜔 𝑝0 (рис.13). Как видно из полученных данных, из существенных изменений при нахождении спектра в зоне максимального КПД можно выделить только уве- личение ширины линии, когда как остальные параметры излучаемой волны и её общий вид не меняются. Рис. 13: Спектры при оптимальных значениях 𝑅 2 = 1.64 и 𝛿 = 0.1 в зависимости от 𝜈/𝜔 𝑝0 . 29 Спектральная картина только уже для фиксированных 𝜈/𝜔 𝑝0 = 0.1 и 𝛿 = 0.1 изображена на рисунке 14. Тот факт, что все спектры легко различимы на одном графике без дополнительного масштабирования, а также что построение нор- мированных графиков в этом случае несколько исказило бы картину, спектры построены в ненормированном виде. Рис. 14: Спектры излученной волны при оптимальных значениях 𝜈/𝜔 𝑝0 = 0.1 и 𝛿 = 0.1 при различных 𝑅 2 . Как видно на рисунке 14, при меньших 𝑅 2 видна картина, аналогичная кар- тине на рисунке 8 – наблюдается геометрический резонанс, далее излучение становится низкодобротным и зона геометрического резонанса убывает и оста- ется только излучение на центральной частоте 𝜔 𝑝0 , что можно объяснить сни- жением влияния геометрического резонанса. 30 При существенном увеличении 𝑅 2 излучается волна на частоте 𝜔 = 𝜔 𝑝0 , а ширина спектральной линии уменьшается. Однако большие значения 𝑅 2 не представляют существенный практический интерес ввиду низкого КПД полу- чаемого излучения – бо́льшая часть запасённой энергии тратится либо на соуда- рения, либо на резонансные потери, также цилиндр становится слишком боль- шим, чтобы запасенная энергия эффективно тратилась на излучение. Рис. 15: Спектры при больших значениях 𝑅 2 и при 𝜈/𝜔 𝑝0 = 0.1 и 𝛿 = 0.1 31 Заключение Разработана вычислительная программа на основе решения системы урав- нений Максвелла в цилиндрической геометрии для расчета токов в плазме с быстро меняющейся плотностью и порождаемого ими электромагнитного из- лучение в плазме и окружающем пространстве. На основе разработанной программы выполнены расчеты цилиндрическо- го лазерно-плазменного излучателя электромагнитных (терагерцовых) волн и определена эффективность преобразования энергии, запасенной в остаточных токах, в излученную энергию. Показано, что эффективность сильно падает с увеличением степени неоднородности плазмы. Найдены оптимальные значе- ния радиуса плазменного цилиндра, отвечающие наибольшей эффективности преобразования энергии остаточных токов в электромагнитное излучение. 32 Техника безопасности При пользовании средствами вычислительной техники и периферийным обо- рудованием каждый работник должен внимательно и осторожно обращаться с электропроводкой, приборами и аппаратами и всегда помнить, что пренебреже- ние правилами безопасности угрожает и здоровью, и жизни человека. Во избе- жание поражения электрическим током необходимо твердо знать и выполнять следующие правила безопасного пользования электроэнергией: Во избежание повреждения изоляции проводов и возникновения коротких замыканий не разрешается: • вешать что-то на провода; • закладывать провода и шнуры за газовые и водопроводные трубы, за бата- реи отопительной системы; • выдергивать штепсельную вилку из розетки за шнур, усилие должно быть приложено к корпусу вилки. Для исключения поражения электрическим током запрещается: • прикасаться к экрану и к тыльной стороне блоков компьютера; • работать на средствах вычислительной техники и периферийном оборудо- вании мокрыми руками; • класть на средства вычислительной техники и периферийном оборудова- нии посторонние предметы. • ремонт электроаппаратуры производится только специалистами-техниками с соблюдением необходимых технических требований. • недопустимо под напряжением проводить ремонт средств вычислительной техники и периферийного оборудования. Согласно медицинским нормам, работать за компьютером следует в течение двух часов, после чего необходимо делать перерыв. 33 Список литературы 1. Fast and efficient algorithms in computational electromagnetics / W. C. Chew [и др.]. — Boston : Artech House., 2001. — С. 300—330. 2. Gildenburg V. B., Vvedenskii N. V. Optical-to-THz wave conversion via excitation of plasma oscillations in the tunneling-ionization process // Physical Review Letters. — 2007. — Т. 98, № 24. — С. 1—4. — ISSN 00319007. 3. Ribeiro L., Novo M. Computational Modeling of Geoelectrical Soundings using PML-FDTD // Journal of Microwaves, Optoelectronics and Electromagnetic Applications. — 2017. — Март. — Т. 16. — С. 120—131. 4. Yee K. S. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s Equations in Isotropic Media. — 1966. — DOI: 10.1109/TAP.1966.1138693. 5. Б. Г. В. Плазменный резонанс в лаборатории и в верхней атмосфере // Соровский образовательный жур- нал. — 2000. — Т. 6, № 12. — С. 86—92. 6. Быстров A., Введенский Н., Гильденбург В. Генерация терагерцового излучения при оптическом пробое газа // Письма в ”журнал экспериментальной и теоретической физики”. — 2005. — Т. 82, № 11/12. — С. 852—857. 7. Курант Р., Фридрихс К. О., Леви Г. О разностных уравнениях математической физики // Успехи матема- тических наук. — 1941. — № 8. — С. 125—160. 34 |