Сопло Лаваля представляет собой канал с переменной по длине проточной части площадью проходного сечения

• Название: Сопло Лаваля представляет собой канал с переменной по длине проточной части площадью проходного сечения
• Дата: 08.04.2021
• Размер: 438.5 Kb.
• Имя файла: Osnovnachast.doc
• Тип: Документы; #192704

Введение
Сопло Лаваля представляет собой канал с переменной по длине проточной части площадью проходного сечения. Сопла Лаваля находят широкое применение в тепловых двигателях и энергоустановках (сопловых аппаратах паровых и газовых турбин, камерах ракетных двигателей и т.д.).

Расчет течения потока в сопле Лаваля заключается в определении его параметров (скорости, давления, температуры, напряжения трения) в интересующих точках проточной части. В настоящее время предпочтительным считается выполнение расчета в два этапа с выделением в движущемся потоке двух областей – потенциального ядра и пограничного слоя.

Такой подход позволяет существенно упростить расчет, поскольку оказывается возможным в ядре потока пренебречь влиянием сил вязкости и считать течение идеальным, а в пограничном слое из-за малой его толщины – пренебречь членами уравнения движения и энергии, содержащими вторые производные скорости и температуры по продольной координате.

Поскольку заранее граница между указанными областями течения не известна, то расчет проводят методом последовательных приближений: сначала, пренебрегая толщиной пограничного слоя, рассчитывают идеальное течение в пределах всей проточной части сопла, а затем, используя в качестве граничных условий найденное распределение параметров по его длине, рассчитывают пограничный слой. По результатам расчета пограничного слоя определяются в частности его условные толщины (вытеснения, потери импульса, потери энергии) и напряжение трения потока на поверхности стенки. Во втором приближении область идеального течения в каждом сечении сопла уменьшается на толщину вытеснения пограничного слоя в этом сечении, расчет ядра потока повторяется, а параметры течения уточняются. Затем повторяется и расчет пограничного слоя. Как правило, уже после 2-го приближения достигается удовлетворительная точность расчетов.
1. РАСЧЕТ ИДЕАЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ В ЯДРЕ ПОТОКА
При сверхкритическом перепаде давления поток рабочего тела при движении по тракту сопла Лаваля (рис. 1.1) интенсивно ускоряется, достигая на выходе сверхзвуковых скоростей.

Минимальное сечение сопла называют критическим. Параметры потока в критическом сечении называют критическими.


Рис. 1.1. Сопло Лаваля

В общем случае параметры потока в осесимметричном сопле Лаваля изменяются как в осевом (вдоль координаты ), так и в радиальном (перпендикулярном оси ) направлениях. Однако в инженерных расчетах широко используют модель одномерного течения. В соответствии с этой моделью изменение параметров потока происходит только вдоль оси .

На входе в сопло поток движется с дозвуковой скоростью. В критическом сечении скорость потока достигает скорости звука , которая называется критической скоростью звука. Отношение скорости потока к критической скорости называют коэффициентом скорости

(1.1)

Отношение площадей, занятых невязким ядром в критическом и анализируемом сечениях, представляет собой газодинамическую функцию . Учитывая принятую схему течения потока, выражение для функции представим в виде

, (1.2)

где – диаметры анализируемого и критического сечений сопла соответственно; , – толщины вытеснения пограничного слоя в анализируемом и критическом сечениях соответственно.

При расчете функции в первом приближении величины , полагаются равными 0, а в последующих приближениях их значения определяются из расчета пограничного слоя.

Максимальное свое значение, равное 1, функция принимает в критическом сечении. В этом же сечении значение, равное 1, имеет и коэффициент скорости .

Связь между функцией и коэффициентом скорости в любом сечении сопла Лаваля выражается зависимостью (см., например [1-3])

, (1.3)

где – показатель адиабаты (для воздуха можно принять ; для продуктов сгорания ).

Получить точное аналитическое решение уравнения (1.3) для определения коэффициента скорости по известному значению функции не представляется возможным. Искомое решение может быть получено методом последовательных приближений

Рассмотрим суть метода последовательных приближений.

Пусть дано уравнение вида

(1.4)

Требуется отыскать вещественные (действительные) корни этого уравнения.

Заменим исходное уравнение (1.4) эквивалентным ему уравнением

(1.5)

Следует заметить, что переход от уравнения (1.4) к уравнению (1.5) может быть выполнен в общем случае разными вариантами. Например, переход от уравнения (1.3) к уравнению вида (1.5) может быть выполнен следующими вариантами

(1.6)

(1.7)

Далее в уравнении вида (1.5) выбирается начальное приближение , а последующие приближения определяются в соответствии со схемой

, (1.8)

где i – номер итерации.

Если итерационный процесс (1.8) сходится, т.е. значение стремится к некоторому пределу x при , то этот предел и является корнем исходного уравнения (1.4).

Практически сходящийся итерационный процесс прерывается при некотором значении , а полученное значение и принимается за приближенное решение рассматриваемой задачи. Очевидно, что соответствующим выбором значения можно обеспечить требуемую точность приближенного решения.

Не вдаваясь в детали анализа условий сходимости решения, отметим, что реализация схемы (1.6) для уравнения (1.3) обеспечивает сходимость решения в сужающейся части сопла Лаваля, где поток движется с дозвуковой скоростью, а коэффициент скорости принимает значения, меньшие 1. Реализация же схемы (1.7) для уравнения (1.3) обеспечивает сходимость решения в расширяющейся части сопла Лаваля, где поток движется со сверхзвуковой скоростью, а коэффициент скорости принимает значения, большие 1.

Решение удобно выполнить с помощью компьютера. Алгоритм решения задачи можно представить следующим образом

1. Задаем значения исходных величин где – допустимое значение погрешности приближенного решения.

Замечание: при анализе параметров течения в сечении, расположенном в сужающейся части сопла Лаваля, начальное приближение для коэффициента скорости следует выбирать меньшим 1 (например, принять ); при анализе параметров течения в сечении, расположенном в расширяющейся части сопла Лаваля, начальное приближение для коэффициента скорости следует выбирать большим 1 (например, при­нять ).

2. Уточняем значение по схеме (1.8), используя выражение (1.6) при или выражение (1.7) при .

3. Определяем погрешность решения

. (1.9)

4. Если окажется, что , то полученное значение принимается за искомое, в противном случае делается замена , и расчет продолжается, начиная с пункта 2.

С программой, реализующей рассмотренный алгоритм, можно ознакомиться в работе [4].

Более простой, но значительно менее точный способ отыскания коэффициента скорости заключается в использовании таблиц газодинамических функций. В приложении 1 представлены таблицы газодинамических функций для воздуха ( ). При выполнении курсовой работы рекомендуется решение отыскивать с помощью компьютера, а таблицы газодинамических функций использовать для проверки получаемых результатов.

По найденному в каждом сечении сопла значению коэффициента скорости далее последовательно рассчитываются газодинамические функции , где – термодинамические значения соответственно давления, абсолютной температуры и плотности потока в рассматриваемом сечении; – соответственно давление, температура и плотность заторможенного потока

(1.10)

Критическая скорость звука определяется выражением

, (1.11)

где – газовая постоянная ( ; – молекулярная масса рабочего тела).

Массовый расход рабочего тела в анализируемом сечении сопла рассчитывается по формуле

(1.12)

где – площадь сечения потенциального ядра.

Входящий в соотношение (1.12) коэффициент определяется зависимостью

. (1.13)

Абсолютные значения скорости в ядре потока, его давления, температуры, плотности в каждом сечении сопла могут быть найдены по формулам

(1.14)

Найденные значения параметров могут быть использованы при расчете пограничного слоя в качестве граничных условий на его внешней границе.
2. Расчет пограничного слоя в соплах
В результате расчета пограничного слоя определяется сопротивление трения потока на поверхности сопла, толщина вытеснения, необходимая для корректного расчета параметров в ядре потока, а также многие другие локальные и интегральные характеристики.

Расчет пограничного слоя в соплах является достаточно сложной задачей. Движение потока в пограничном слое сопел в большинстве случаев является турбулентным. Оно осложняется большими скоростями движения, сжимаемостью потока, существенным влиянием продольного отрицательного градиента давления на осредненные параметры турбулентного течения и на интенсивность турбулентного переноса. Достаточно полный и строгий учет влияния этих особенностей возможен лишь при использовании дифференциальных методов расчета пограничного слоя, основанных на применении численных методов интегрирования системы его дифференциальных уравнений и компьютерной техники.
2.1. Система уравнений пограничного слоя и граничные условия
Система уравнений стационарного пограничного слоя для рассматриваемых условий может быть представлена в виде (см., например, [5,6]):

уравнение движения

(2.1)

уравнение энергии

(2.2)

уравнение неразрывности

(2.3)

уравнение состояния

(2.4)

Здесь x, y – координаты, направленные вдоль поверхности, обтекаемой потоком (вдоль криволинейной образующей сопла), и по нормали к ней; r – расстояние от рассматриваемой точки до оси сопла; ρ, μ, λ, – плотность, динамический коэффи­циент вязкости, коэффициент теплопроводности и удельная изобарная теплоемкость потока соответственно; , – коэффициент турбулентного переноса количества движения и теплоты соответственно; u, v– проекции вектора скорости потока на координатные оси x и y соответственно; p – давление;T – температура.

Если в уравнениях (2.1), (2.2) принять то они будут описывать стационарное течение в лами­нарном пограничном слое. Уравнения (2.3), (2.4) имеет одинаковый вид для турбулентного и ламинарного режима течения.

Величины u, v, ρ, T, p, входящие в уравнения (2.1) – (2.4), для турбулентного режима течения полагаются осредненными за период времени . Период осреднения выбира­ется достаточно большим по сравнению с периодом турбулентных пульсаций. Для ламинарного режима течения мгновенные (актуальные) значения параметров u, v, ρ, T, p совпадают с осредненными.

Граничные условия однозначности для задачи расчета пограничного слоя можно представить в виде

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Условие трактуется как область за пределами по­граничного слоя ( где δ – условная толщина погранич­ного слоя). Индекс определяет значения параметров на поверхности стенки (условие v_w  0 имеет место на проницаемой стенке при вдуве или отсосе через нее газа); – за пределами пограничного слоя; ₀ – в исходном сечении.

Система (2.1) – (6.4), включающая четыре уравнения, содержит при ламинарном режиме течения четыре неизвестных величины u, v, T, ρ и является замкнутой. При тур­бу­лент­ном режиме течения система уравнений включает шесть неизвест­ных величины u, v, T, ρ, , и является незамкнутой. Для её замыкания нужно определить величину и установить связь между и .

Используя гипотезу Прандтля о пути смешения l, получим

(2.8)

Длина пути смешения в пограничном слое может быть рассчитана по выражению, предложенному Прандтлем, с поправкой Ван-Дрийста¹

(2.9)

Здесь безразмерная координата  определяется соотношением

(2.10)

где – динамическая скорость ( – каса­тельное напряжение трения в рассматриваемой точке).

Для определения коэффициента турбулентного переноса æ в стационарном пограничном слое в соплах можно воспользоваться формулой, предложенной автором [6]

(2.11)

Здесь индекс характеризует параметры за пределами пограничного слоя в анализируемом сечении; – параметры за пределами пограничного слоя в исходном сечении (на входе в канал).

Связь между коэффициентами турбулентного переноса и можно выразить зависимостью

, (2.12)

где – турбулентное число Прандтля.

При расчетах стационарного пограничного слоя можно принять .
2.2. Численный метод решения
Анализ различных разностных схем для решения системы уравнений пограничного слоя показывает, что наиболее удобными явля­ются неявные шеститочечные схемы. Для составления такой схемы на координатной плоскости x, y выбираются основная и две вспомогательные сетки.

Координаты узлов основной сетки определяются соотношениями

(2.13)

Координаты узлов вспомогательных сеток и рассчитываются по выражениям

(2.14)

Здесь i, j – целые числа (0, 1, 2, ...); – шаги сет­ки вдоль координат x и yсоответственно (в общем случае могут быть переменными по толщине пограничного слоя и от сече­ния к сечению).

Значения любого из параметров u, v, T, μ и т.п. в узлах основной или вспомогательных сеток обозначают следу­ющим образом: ; и т.п.; значения параметра в расчетных сечениях i и значения параметров y, η в расчетных сечениях j обозначают соответствующими индексами (например, ).

Используя метод разностной аппроксимации производных применительно к уравнениям (2.1) – (2.3), получают их разностную схему. Так, например, разностный аналог (разностная схема) уравнения (2.1) имеет вид

(2.15)

Разностное уравнение энергии (2.15) представляется в более компактной форме

(2.16)

где коэффициенты определяются из условия тождественности выражений (2.15) и (2.16).

Аналогично получают разностный аналог дифференциального уравнения энергии (2.2).

Алгебраическое уравнение (2.16) совместно с разностным уравнением неразрывности решается методом прогонки. При этом решение уравнения (2.16) представляется в форме

(2.17)

Прогоночные коэффициенты определяются соотношением

(2.18)

Расчет структуры пограничного слоя осуществляется последовательно, начиная с сечения i= 1, при этом все параметры потока в предыдущем сечении i= 0 известны из граничных условий для х = 0. В каждом расчетном сечении сначала определяются прогоночные коэффициенты во всех узлах, начиная с j = 1. Эту операцию называют прямой прогонкой. На поверхности стенки при j= 0 значения прогоночных коэффициентов находятся из граничных условий для y= 0. Так, при расчете пограничного слоя с граничными условиями (2.5) для скорости u получаем Далее во всех точках j, начиная с точки с наибольшим номером, обратной прогонкой с использованием уравнений (2.17) находят значения скорости uи других параметров.

По результатам расчета структуры пограничного слоя в интересующих сечениях потока определяются коэффициент трения

(2.19)

толщина вытеснения , толщина потери импульса пограничного слоя и соответствующие числа Рейнольдса Re^*, Re^**

(2.20)

(2.21)

безразмерные скорости φ и координаты η

(2.22)

По полученным данным о структуре могут быть найдены и другие локальные и интегральные ха­рактеристики пограничного слоя.

Более подробно численный метод интегрирования дифференциальных уравнений пограничного слоя изложен в работе [6].
2.3. Программа расчета
Рассмотренный численный метод расчета пограничного слоя реализован в виде программы “POGR” на алгоритмическом языке Microsoft QuickBASIC. Текст программы с содержащимся в ней базовым комплектом (базой) исходных данных приведен в приложении 3. Эта программа может быть переписана преподавателем на дискету студента.

Программа оперирует с относительными безразмерными параметрами, поэтому большая часть исходных данных и результатов расчета представляются в безразмерном виде. Приведение параметров к безразмерному виду осуществляется с помощью выражений (безразмерные параметры снабжены верхней чертой)

(2.23)

Здесь нижний индекс относится к масштабным значениям параметров. За масштабные приняты значения параметров в исходном сечении пограничного слоя (на входе в канал).

Базовый комплект исходных данных позволяет рассчитать турбулентный пограничный слой на гладкой непроницаемой поверхности одного из сопел конкретной геометрии при течении воздушного потока с учетом зависимости его теплофизических свойств от температуры.

Работа с программой сводится к подготовке и вводу изменений в базовый комплект исходных данных и выполнения соответствующих расчетов. Внося изменения в базовый комплект данных, можно смоделировать различные условия течения. Значения параметров, которые должны быть изменены, располагаются в тексте программы между двумя строками с комментариями в виде пунктирной линии:

rem -----------------------------------------------------------------

rem Количество расчетных сечений

M3%=59

rem Масштабное значение скорости (м/с) - скорость на входе в сопло

uz=36.

rem Давление (Па) и температура (К) заторможенного потока

pz=70e05:Tz=1473

rem Масштабное значение динамического коэффициента вязкости потока (Па*с)

mz=0.535e-04

rem Масштабное значение удельной изобарной теплоемкости потока (Дж/(кг*К))

cpz=1210

roz=pz/(Rz*Tz):kz=roz*uz/(1000*mz)

rem Координаты расчетных сечений вдоль образующей сопла (мм)

data 0.,5.,10.,15.,20.,25.,30.,35.,40.,45.,50.,55.,60.,65.,70.,75.,80

data 85.02,90.05,95.15,100.5,106.1,112.2,117.8,123.9,129.3,135.4,141.2

data 146.8,152.2,157.3,162.5,167.8,172.9,178.1,183.2,188.4,193.5,198.6

data 203.8,209,214.1,219.3,224.4,229.6,234.8,239.9,245.1,250.2,255.4

data 260.5,265.7,270.8,276.0,281.1,286.3,291.4,296.6,301.7

for J%=1 to M3%: read XB(J%):XB(J%)=kz*XB(J%):next J%

rem Диаметры проточной части в расчетных сечениях (мм)

data 100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100

data 99,98,96,92,87,80,75,68,64,57,51,46,42,40,43,46,48.5,51,53.5,56,58.5

data 61,63.5,66,68.5,71,73.5,76,78.5,81,83.5,86,88.5

data 91,93.5,96,98.5,101.0,103.5,106,108.5,110

for J%=1 to M3%: read DB(J%):DB(J%)=kz*DB(J%):next J%

rem Относительная скорость в ядре потока в расчетных сечениях

data 1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.,1.

data 1.02,1.042,1.086,1.184,1.326,1.573,1.795,2.199,2.498,3.205,4.125,5.34

data 7.082,9.816,13.2,14.46,15.22,15.83,16.33,16.76,17.14,17.47,17.76,18.03

data 18.27,18.49,18.69,18.87,19.04,19.2,19.35,19.48,19.61

data 19.73,19.85,19.95,20.05,20.15,20.24,20.32,20.40,20.45

for J%=1 to M3%: read UB(J%): next J%

rem -----------------------------------------------------------------.

При подготовке исходных данных необходимо изменить численные значения указанных в этой части программы параметров на те, которые соответствуют индивидуальному заданию на курсовую работу. Единицы измерения параметров также указаны в комментариях к программе.

Замечания: 1. Количество введенных в базу данных значений координат расчетных сечений (вдоль образующей сопла), диаметров проточной части и относительных скоростей в ядре потока в этих сечениях должно быть одинаковым и численно равным введенному количеству расчетных сечений.

2. Масштабные значения динамического коэффициента вязкости и удельной изобарной теплоемкости потока выбираются из таблицы приложения 2 по температуре заторможенного потока T^*.

В программе предусмотрено отображение результатов расчета в графической и табличной формах. При графическом отображении на экран дисплея (а при желании исследователя и на бумажный носитель) выдаются графики зависимостей

(2.24)

а также профили скорости в сечениях пограничного слоя, построенные в координатах

(2.25)

Здесь – число Рейнольдса, построенное по продольной координате х.

Результаты численного расчета при их графическом отображении представляются на графиках в форме дискретных условных знаков (точек). На этих же графиках в виде линий изображаются результаты, соответствующие ламинарному и турбулентному течению в “стандартных” (эталонных) условиях. Под “стандартными” условиями понимают обтекание гладкой непроницаемой пластины стационарным безградиентным потоком несжимаемой жидкости с постоянными (не зависящими от параметров состояния) свойства­ми.

Для “стандартных” условий при ламинарном режиме течения по­тока справедливы следующие зависимости для коэффициента тре­ния

(2.26)

Для турбулентного потока зависимости для коэффициента трения имеют вид

(2.27)

Профили скорости в турбулентном пограничном слое для “стандарт­ных” условий аппроксимируются зависимостями

для вязкого подслоя (η > 11,5)

(2.28)

для турбулентного ядра

(2.29)

Отображению результатов численного расчета в табличной форме предшествует выдача таблиц исходных данных для выполненного варианта расчета.

Отображение результатов численного расчета в таблич­ной форме осуществляется последовательно для всех сечений, выбранных в качестве расчетных. Для каждого сечения выводятся три массива информации, отде­ленные друг от друга интервалом.

В первом массиве содержится семь строк. В первой строке выводится значение текущего значения числа ; во второй строке последовательно выдаются характеристики теплового пограничного слоя, которые при выполнении курсовой работы по гидрогазодинамике не используются; в третьей строке – и т.д.; в шестой строке – значение формпараметра пограничного слоя , толщины вытеснения , выраженной в мм и т.д.; в седьмой строке – значение коэффициента турбулентного переноса æ.

Второй массив информации содержит семь столбцов. В первом столбце приведены номера расчетных точек j поперек полосы интегрирования; во втором столбце – соответствующие значения величин ; в третьем – ; в четвер­том – ; в пятом, шестом и седьмом столбцах приводится информация для теплового пограничного слоя, которая при выполнении курсовой работы по гидрогазодинамике не используются.

Третий массив информации содержит шесть столбцов. В первом столбце также приведены номера расчетных точек j; во втором столбце – соответствующие значения величин ; в третьем – ; в четвертом – температура потока в точке i,j; в пятом – ; в шестом – .

Пример отображения результатов расчета в графической форме представлен в приложении 4, а в табличной форме – в приложении 5.

3. Задание на курсовую работу
В сопле Лаваля заданной формы и размеров (см. рис. 3.1) движется воздушный поток. Размеры сопла выражаются соотношениями: мм; ; ; ; , где n – порядковый номер студента в списке группы. Давление и температура заторможенного потока определяются выражениями:  МПа; .



Рис. 3.1. Геометрия сопла Лаваля
Требуется рассчитать и построить графики изменения по длине сопла скорости [м/с], давления p [МПа], температуры T [К], плотности  [кг/м³] в ядре потока, напряжения трения на поверхности стенки [Па], толщины вытеснения пограничного слоя [мм], коэффициента турбулентного переноса æ, а также определить коэффициент расхода сопла , где .– толщина вытеснения в критическом сечении сопла.

Замечание. Используемая в расчетах система координат (x, y, z) показана на рис. 3.1.

4. Порядок выполнения работы
4.1. На миллиметровке формата А4 в удобном (максимально крупном) масштабе строится профиль сопла, выделяется его критическое (минимальное) сечение и измеряется его диаметр ; в сужающейся и расширяющейся частях сопла выделяется 40 … 100 расчетных сечений, в которых определяются осевые координаты z_i (см. рис. 3.1) и измеряются диаметры проточной части (здесь i – номер расчетного сечения).

4.2. Определяются криволинейные (вдоль образующей сопла) координаты выделенных сечений с использованием зависимости

. (4.1)

4.3. По выражению (1.2) рассчитывается значение газодинамической функции во всех выделенных сечениях, а далее по методике, рассмотренной в разделе 1, определяется коэффициент скорости во всех сечениях сначала сужающейся, а затем расширяющейся части сопла; в критическом сечении принимается . Правильность расчетов проверяется путем сопоставления с данными таблицы газодинамических функций (приложение 1).

4.4. По формулам (1.10) последовательно во всех расчетных сечениях определяются газодинамические функции ; правильность расчетов проверяется путем сопоставления с данными таблицы газодинамических функций (приложение 1).

4.5. По формуле (1.11) рассчитывается критическая скорость звука .

4.6. По формулам (1.12), (1.13) рассчитывается расход рабочего тела в каждом выделенном сечении и контролируется правильность расчетов путем проверки постоянства (в пределах точности вычислений) расхода во всех сечениях

4.7. По выражениям (1.14) определяются абсолютные значения скорости в ядре потока u, его давления p, температуры T, плотности в каждом сечении сопла.

4.8. Определяются относительные значения скорости во всех расчетных сечениях, где – скорость в первом сечении.

4.9. Вносятся изменения в базу данных программы “POGR” в соответствии с инструкцией, изложенной в подразделе 2.3.

4.10. Выполняется расчет пограничного слоя на компьютере.

4.11. По результатам расчета пограничного слоя во всех выделенных сечениях определяются коэффициент трения , толщина вытеснения , коэффициент турбулентного переноса æ.

4.12. Во всех выделенных сечениях рассчитывается напряжение трения .

4.13. Рассчитывается коэффициент расхода сопла .

4.14. Производится уточнение результатов путем повторения пп. 4.3 – 4.13 до достижения требуемой точности (пока разность значений каждого из параметров u, p, T, , , в любом из сечений, а также коэффициента расхода , найденных в двух последовательных приближениях, не окажется меньшей 0,1 %).

4.15. Результаты расчета, полученные в первом и последнем приближениях, отображаются в виде графиков.

1 Поправка Ван-Дрийста представляет собой сомножитель в правой части выражения (2.9), заключенный в квадратные скобки. Этот сомножитель учитывает интенсивное гашение турбулентных пульсаций вблизи стенки в вязком подслое.