Практикум по экономике. Равенство_профи. Составители Ярослав Лисняк, Юрий Панов
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
ВЭШ 2020. Зимняя смена Джини – это тоже макра Ярослав Лисняк, Юрий Панов Джини – это тоже макра Зимняя смена ВЭШ 2020 Профи Составители: Ярослав Лисняк, Юрий Панов 24 января 2020 г. Неравенство Коши (неравенство о средних) гласит, что для любых неотрицательных чисел 𝑥 1 ,𝑥 2 ⋯ 𝑥 𝑛 верно неравенство: ̄ 𝑥 𝑘 𝑣 𝑎𝑑 𝑟 > ̄𝑥 𝑎𝑟 𝑖𝑡 ℎ𝑚 > ̄𝑥 𝑔 𝑒 𝑜𝑚 > ̄𝑥 𝑔 𝑎𝑟 𝑚𝑜𝑛 √ 𝑥 2 1 + 𝑥 2 2 + ⋯ + 𝑥 2 𝑛 𝑛 > 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑛 > 𝑛 √ 𝑥 1 × 𝑥 2 × ⋯ × 𝑥 𝑛 > 𝑛 1 𝑥 1 + 1 𝑥 2 + ⋯ + 1 𝑥 𝑛 равенство достигается тогда и только тогда, когда 𝑥 1 = 𝑥 2 = ⋯ = 𝑥 𝑛 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + 𝑛 2 = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6 Задача 1 В некотором oкруге кривая Лоренца задается уравнением 𝑦 = 1 − √ 1 − 𝑥 2 Какой долей совокупного дохода oкруга обладают 60% беднейших? 20% богатейших? Рассчитайте коэффициент Джини. *Знание интегралов необязательно для решения. Задача 2 Страна, в которой Вы отвечаете за социально-экономическую политику, разделена на четыре федеральных округа, отличающихся по степени неравенства доходов. Из проверен- ных статистических источников Вам известны уравнения кривых Лоренца, характеризующие неравенство дохода в этих округах. Первый округ: 𝑦 = 𝑥 2 Второй округ: 𝑦 = √ 𝑥 6 +𝑥 2 2 Третий округ: 𝑦 = 𝑥 3 +𝑥 2 Четвертый округ: 𝑦 = 2𝑥 3 1+𝑥 2 Расположите округа по возрастанию неравенства доходов. *Знание интегралов необязательно для решения. Задача 3 В двух странах с одинаковым ВВП на душу населения коэффициенты Джини отличаются на единицу. Государство с менее равномерным распределением доходов – тоталитарное и ми- литаризованное – решило развязать войну со своим более демократичным соседом. Однако, несмотря на значительные расходы (на кампанию было потрачено около 75% ВВП), агрессор потерпел явную неудачу. В ходе кровопролитных боев погибло 60% населения нападающей страны. Для сравнения, демократическое государство потратило на оборону только 25% ВВП, 1 Профи ВЭШ 2020. Зимняя смена Джини – это тоже макра Ярослав Лисняк, Юрий Панов пожертвовав жизнями 20% населения. В итоге страны решили заключить мирный договор и образовать союзное государство. Оказалось, что коэффициент Джини в объединенном госу- дарстве равен 0,5. Каков был бы коэффициент Джини, если бы страны решили объединиться до войны? Задача 4 Верно ли, что введение аккордных субсидий в обществе с равномерно распределёнными доходами внутри групп приводит к увеличению коэффициента Джини, а аккордных нало- гов — к его снижению? Как изменится ваш ответ, если налог/ субсидия будут вводиться по одинаковой ставке на каждую группу? Задача 5 В некотором королевстве есть 2012 регионов. В каждом регионе население состоит из двух групп с ненулевой численностью, внутри которых доходы распределены равномерно. Король поручил трем ведущим экономическим университетам составить рейтинги реги- онов по степени неравенства доходов (то есть расположить регионы по возрастанию уровня неравенства доходов в них). Единой меры неравенства не существует, и университеты исполь- зуют в своей работе разные показатели: 1. Университет В. использует для измерения неравенства коэффициент Джини; 2. Университет Р. использует для измерения неравенства отношение среднедушевого до- хода в более богатой группе населения к среднедушевому доходу в более бедной группе населения; 3. Университет М. измеряет неравенство с помощью отношения доходов 20% богатейших жителей области к доходам 20% беднейших. По данным каждого из университетов, во всех 2012 регионах уровень неравенства доходов разный. A. Верно ли, что рейтинги, составленные университетами В. и Р., будут одинаковыми? B. Верно ли, что рейтинги, составленные университетами В. и М., будут одинаковыми? C. Верно ли, что рейтинги, составленные университетами Р. и М., будут одинаковыми? D. Верно ли, что, какие два региона ни возьми, хотя бы два университета из трех всегда придут к одному мнению относительно того, в каком из них неравенство доходов выше? Задача 6 Неравенство в деревне Гадюкино Деревня Гадюкино расположена на правом и левом бе- регу реки Широкая. Мост через реку разрушился несколько лет назад, так что возможности перебраться с одного берега на другой нет. На левом берегу единственным работодателем является леспромхоз «Ёлки-Палки», где работает все экономически активное население ле- вобережья. На правом берегу расположен промлесхоз «Палки-Ёлки» (также единственный работодатель) и все экономически активное население правобережья работает там. Дела у лес- промхоза «Ёлки-Палки» идут хорошо, думают даже расширять производство, а вот у пром- лесхоза «Палки-Ёлки» наоборот. Поэтому средняя заработная плата работников правобережья в 6 раза меньше средней заработной платы жителей левобережья и составляет 1/3 от средней 2 Профи ВЭШ 2020. Зимняя смена Джини – это тоже макра Ярослав Лисняк, Юрий Панов заработной платы всех работающих жителей деревни Гадюкино. (а) Определите степень неравенства работающих жителей Гадюкино по заработной пла- те – рассчитайте коэффициент Джини для заработных плат работающих жителей деревни, считая, что все работающие жители правобережья получают одинаковую заработную плату, и зарплаты работающих жителей левобережья тоже равны. (б) Зимой река Широкая замерзла и четверть работающих жителей правобережья уволи- лись и переехали на левый берег, устроились на работу в леспромхоз и теперь получают такую же зарплату, как и все работники левобережья. Чему теперь равен коэффициент Джини для заработных плат работающих жителей Гадюкино? Задача 7 Штирлиц решал домашнее задание на Джини, но забыл его принести в штаб. Через полчаса надо принести решение, но он помнит только то, что кривая Лоренца имела такой вид: 𝑌 = { 𝑎𝑋 2 + 𝑏𝑋 + 𝐶 , 𝑋 6 0.5 𝑑 𝑋 + 𝑒, 𝑋 > 0.5 Где 𝑋 - доля населения, а 𝑌 - доля дохода. Так же он помнит, что в точке смены параболы на прямую доля дохода составляет 0.25. (а) Он понял, что ничего не успеет и предположил, что 𝑎 равен 1. Восстановите кривую Лоренца. (б) Вдруг он понял, что он на самом деле все успевает и, дабы впечатлить преподавателя, решил найти все 𝑎, которые она могла получить дома. Помогите забывчивому Штирлицу. Задача 8 100 человек выиграли в лотерею. Первый выиграл 1 долл., второй — 2 долл., третий — 3 долл., и т.д. Сотый человек выиграл 100 долл. (а) Вычислите значение коэффициента Джини. (б) Сто человек из предыдущего пункта основали город и теперь там живут. Неравенство в этом городе процветает и вот, однажды, туда приезжает благородный маньяк. Он убивает 𝑛 человек так, чтобы итоговый индекс Джини был минимален. Кого он убьет? Задача 9 На одном из заводов компании “АвтоГАЗ” производятся автомобили марки “Dzhigulli”, а работники делятся на 3 категории, в каждой из которых доходы распределены равномерно. Известно, что инженеры, автомеханики и конструкторы входят в первую группу и составляют 50% рабочей силы, получая при этом половину всех доходов. Бухгалтера, сотрудники отдела кадров и менеджеры образуют 30% рабочей силы и имеют некую долю 𝑥. Оставшиеся деньги получают дизайнеры и рекламщики. Известно, что после введения аккордных налогов на всех работников(возможно, по разным ставкам на каждую из групп), коэффициент Джини на предприятии вырос на 20%, а минимальная доля дохода, которую нужно перераспределить для достижения абсолютного равенства, выросла на 0.1. Какую долю дохода могли получать дизайнеры и рекламщики? 3 Профи ВЭШ 2020. Зимняя смена Джини – это тоже макра Ярослав Лисняк, Юрий Панов Задача 10 Население некоторого острова составляет ровно 𝑛 человек. Самый бедный получает 0.01% всего дохода страны. Доход следующего жителя выше дохода предыдущего ровно на 0.02 процентных пункта. Найдите коэффициент Джини в данной стране. Правитель данного острова, который, безусловно, является самым богатым жителем, убеж- ден, что высокое неравенство вредит экономике острова в долгосрочном периоде. Однако в текущий момент времени, как вы уже, наверное, посчитали, ему принадлежит лишь малая часть доходов. Правитель раздумывает законным способом отнять часть доходов у своего населения. Если это произойдет, и правитель попытается нарушить сложившееся распределение доходов, возмущенное несправедливостью население немедленно объединится в одну партию. После присвоения правителем части доходов населения объединенная партия разделит оставшиеся доходы поровну между 𝑛 − 1 членом партии. Функцию полезности правителя можно охарактеризовать следующим уравнением: 𝑈 (𝐺 ; 𝑎) = 10(𝑎 + 1) − 1000𝐺 2 , где 𝐺 - коэффициент Джини на острове, выраженный в долях; 𝑎 – доля доходов правителя в общем доходе острова, выраженная в процентах (5%, а не 0.05, например). Определите долю доходов правителя, которая максимизирует его уровень полезности. Захочет ли правитель ограбить население и присвоить часть его дохода? Если да, то какую долю дохода он присвоит? Задача 11 Ноттингем, XII век. В городе есть две группы жителей: бедные и богатые. Счастье любого человека в городе можно рассчитать по формуле 𝐻 = 𝑌 − 𝑥 2 2 , где 𝐻 — счастье человека, 𝑌 — его доход (с учетом «перераспределительной» политики, о политике см. ниже), а 𝑥 — уровень усилий, который человек прикладывает для получения этого дохода. Вся разница между бедными и богатыми заключается в том, что, приложив уровень усилий 𝑥, бедный человек зарабатывает 𝑉 × 𝑥 ден. ед., а богатый — 𝑊 × 𝑥 ден. ед., где 𝑊 > 𝑉 . В каждой группе ровно по 𝑁 человек. Каждый агент выбирает свой уровень усилий так, чтобы его счастье было максимальным. Свергнув Принца Джона, к власти в городе пришел Робин Гуд. Естественно, он решил отбирать у богатых долю 𝑡 дохода, и затем всю сумму сборов передавать бедным. Агенты выбирают уровни усилий, зная о проводимой Робином политике. 1. Рассчитайте суммарный уровень дохода в обществе после введения налога. Покажите, что суммарный уровень дохода сокращается с ростом ставки налога, несмотря на то, что сумма, которую уплачивают богатые, в точности равна сумме, которую получают бедные. Объясните данный парадокс. 2. Пусть 𝑉 = √ 2 , 𝑊 = 3. Какую ставку налога установит Робин Гуд, стремясь к минимальному неравенству доходов, то есть минимизируя коэффициент Джини? На сколько ден. ед. уменьшится суммарный доход в результате проведения такой политики? Задача 12 Вы, вероятно, знаете, что 𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) = 𝑡 𝑔 𝛼 +𝑡 𝑔 𝛽 1−𝑡 𝑔 𝛼 ×𝑡 𝑔 𝛽 . Ой, чего это я! Это же подборка по экономике! Итак, предположим, что Неленивый Экономист построил кривую Лоренца государства 4 Профи ВЭШ 2020. Зимняя смена Джини – это тоже макра Ярослав Лисняк, Юрий Панов Джиния и посчитал коэффициент Джини. Вечерело, и поэтому Неленивый Экономист, бу- дучи не ленивым, а совсем наоборот, решил узнать, каким образом меняется расстояние от линии абсолютного равенства (далее ЛАР) до кривой Лоренца (далее ЛОР) в зависимости от рассматриваемой точки на ЛАР. Экономист действовал следующим образом: для начала он брал какую-то точку ̄ 𝐴 на ЛАР и отмерял длину отрезка, соединяющего выбранную точку и начало координат 𝑂. Далее он делил полученное значение на длину всей ЛАР, получая, тем самым, долю 𝑥, которую отмеченный отрезок 𝑂 ̄ 𝐴 занимает во всей ЛАР. После он строил перпендикулярную линию ̄ 𝑃 (𝑥 ) к ЛАР в точке ̄ 𝐴 . Понятно, что линия ̄ 𝑃 (𝑥 ) пересекает и ЛАР (в точке ̄ 𝐴 ), и ЛОР(допустим, в точке ̄ 𝐵 ). Наконец, само расстояние от ЛАР до ЛОР он считал как длину полученного отрезка ̄ 𝐴 ̄ 𝐵 Проделав так с каждой точкой на ЛАР, то есть со всеми 𝑥 ∈ [0; 1] Неленивый экономист получил следующую зависимость расстояния 𝑟 от выбираемой точки 𝑥: 𝑟 (𝑥 ) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 5× √ 2 7 × 𝑥 𝑥 ∈ [0; 0.35] 0.32 × √ 2 − 0.2 × √ 2 × 𝑥 𝑥 ∈ [0.35; 0.6] 0.5 × √ 2 − 0.5 × √ 2 × 𝑥 𝑥 ∈ [0.6; 1] В тот момент, когда Неленивый Экономист закончил вывод представленной зависимости, он заметил удивительную закономерность, вскрикнул: ’Эврика!’, взмахнул рукой и случайно разбросал все свои записи, в том числе и исходные выкладки, да так, что они затерялись в груде мукулатуры. Помогите экономисту восстановить начальные данные! (а) Рассчитайте коэффициент Джини. (б) Постройте кривую Лоренца. Задача 13 Предположим, что в некоторой стране N проживают три группы населения: бедные, сред- ний класс и богатые. Группы равны по численности жителей, но различаются по уровню дохода: средний класс зарабатывает в два раза больше, чем бедные, а богатые зарабатыва- ют в два раза больше, чем средний класс. Внутри групп доходы распределены равномерно. Совокупный доход всех жителей страны равен Y. (а) Нарисуйте график кривой Лоренца и рассчитайте индекс Джини. (б) Какой прогрессивный подоходный налог необходимо ввести, чтобы в стране N достичь абсолютного равенства доходов? Найдите величину доходов госбюджета от введения данной меры. (в) Известно, что до введения прогрессивного налога богатые работали всё рабочее и сво- бодное время, средний класс – тратили часть досуга на работу, а бедные – работали только положенные по закону 8 часов. Все индивиды рациональны и высоко ценят свой досуг и могут выбирать, сколько времени они будут работать. Что произойдёт после введения прогрессив- ного подоходного налога и как изменятся доходы государства? (г) В Министерстве финансов подсчитали, что при введении прогрессивного налога t (вели- чина задана в долях от дохода), доля жителей, желающих перейти в более низкую социальную группу, составит 2t. Найдите такую ставку t, при которой налоговые поступления будут мак- симальными и в стране N будет достигнуто абсолютное равенство доходов. 5 Профи ВЭШ 2020. Зимняя смена Джини – это тоже макра Ярослав Лисняк, Юрий Панов Задача 14 В обществе имеются три разных по доходам группы населения, внутри групп доходы распределены равномерно. Оказалось, что беднейшая группа населения (по среднему доходу)в два раза беднее следующей по бедности, а средняя группа имеет вдвое меньший средний доход чем средний уровень по стране, при этом доходы двух беднейших групп составляют четверть дохода страны, а двух богатейших 11 12 дохода страны. Задача 15 Кривая Лоренца в стране А описывается уравнением 𝑌 = 𝑋 2 Назовем 10% богатейших жителей страны олигархами. Выведите уравнение кривой Лорен- ца, отражающей распределение доходов среди олигархов. Иными словами, определите, какую долю y суммарного дохода всех олигархов получает доля x наиболее бедных олигархов. (а) Что больше – степень неравенства доходов среди олигархов или степень неравенства доходов во всей стране? (Степень неравенства будем измерять с помошью коэффициента Джини.) (б) В стране B кривая Лоренца описывается уравнением 𝑌 = 1− √ 1 − 𝑋 . Выведите уравнение кривой Лоренца, отражающей распределение доходов среди олигархов страны B (олигархами здесь также называются 10% богатейших жителей). Что больше – степень неравенства доходов среди олигархов страны B или степень неравенства доходов во всей стране? (в) Что больше – степень неравенства доходов среди 10% богатейших или среди 1% бога- тейших жителей страны B? Среди 1% богатейших или среди 0.1% богатейших жителей страны B? Задача 16 Жители острова Джини — гномы и гномики держат свое золото в горшочках. Гномы бога- че гномиков, а внутри групп доходы распределены равномерно. Вчера на острове потерпело кораблекрушение судно с эльфами, каждый из которых носит свое золото в мешочке. Также известно, что эльфы оказались средним классом по уровню индивидуального богатства, при- чем у самого богатого эльфа столько же монет, сколько и у самого бедного гнома, а у самого бедного эльфа столько же монет, сколько и у самого богатого гномика. Участок кривой Лорен- ца острова, отражающий богатство эльфов, описывается участком функции: 𝑦 = 𝑥 2 + 1 16 , где 𝑦 — доля дохода эльфов в общем населении, 𝑥 — доля эльфов в общей численности населения (0 < 𝑥 < 1; 0 < 𝑦 < 1). 1. Нарисуйте примерный вид кривой Лоренца и найдите индекс Джини. 2. Найдите доли, которые составляют в населении гномы, гномики и эльфы. 3. Нарисуйте кривую Лоренца до кораблекрушения на том же графике, что и после него. 4. Как изменился индекс Джини после кораблекрушения? Объясните интуитивно. Задача 17 В некой стране 60 % наиболее бедного населения получает 30 % национального дохода. Других данных о распределении доходов нет. Найдите множество значений, которые может принимать коэффициент Джини в данной стране. 6 Профи ВЭШ 2020. Зимняя смена Джини – это тоже макра Ярослав Лисняк, Юрий Панов Задача 18 В славной Бухаре есть три сословные группы: ремесленники, купцы и вельможи, причем доходы внутри каждой из групп распределены равномерно. В Бухаре 30000 ремесленников, 40000 купцов и 30000 вельмож. Ремесленники получают всего 10% от общего дохода бухарцев, в то время как купцы получают 30%, а вельможи - 60%. Ходжа Насреддин нашел в песках лампу с Джинном, который сообщил ему, что специализируется лишь на изменении индек- сов Джини. У Ходжи есть друг-ремесленник Али и враг-вельможа великий визирь. Он может попросить Джинна изменить индекс Джини до любого значения (конечно, в пределах разум- ного, от 0 до 1), не изменяя при этом общего дохода бухарцев. Ему хочется, чтобы Али стал получать больший доход, чем раньше, а великий визирь - меньший. Магия Джиннов имеет свои пределы, например, Джинн не сможет переместить человека из одной группы в другую (так ремесленник не может стать купцом, а вельможа - ремесленником), хотя доходы он может сделать любые у любой группы (не нарушая при этом равномерного их распределения внутри групп и не меняя их общей суммы). Укажите промежуток значений индекса Джини, в котором Ходжа может назвать любой индекс, чтобы исполнить задуманное (не забывайте о том, что Джинн очень хитер и коварен). Задача 19 Неравномерность распределения чего-либо (скажем, доходов) можно измерять по- разному. Наиболее известный способ – с помощью индекса Джини. Но существуют и дру- гие способы количественной оценки неравенства в обществе. Например, индекс Робин Гуда, название которого говорит само за себя: это величина, показывающая, какая (минимально возможная) доля дохода должна быть перераспределена, чтобы достичь абсолютно равномер- ного распределения доходов. Этот показатель равен максимальному расстоянию по вертикали между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца. 1. Чему будет равен индекс Робин Гуда, если кривая Лоренца имеет вид 𝑦 = 2 − √ 4 − 3𝑥 ? 2. Определите, что больше – индекс Робин Гуда или индекс Джини – для кривой Лоренца 𝑦 = 𝑥 10 +𝑥 15 +𝑥 20 3 Учитывая, что кривая Лоренца не может быть выпуклой вверх, верно ли, что неравенство между индексом Робин Гуда и индексом Джини всегда будет выполнено в одну и ту же сторону? 3. Верно ли, что если в стране A неравенство доходов не сильнее, чем в стране B, согласно индексу Робин Гуда, то и согласно индексу Джини неравенство доходов в стране A также будет не сильнее, чем в B? 7 Профи ВЭШ 2020. Зимняя смена Джини – это тоже макра Ярослав Лисняк, Юрий Панов Задача 20 В казино Брандель пришло 10 абсурдно оптимистично настроенных игроков a . Изначально у каждого было по зарплате ̄ 𝑤 . Все они засели за покер, после чего коэффициент Джини между игроками составил 𝐺 = 0.1. После этого владелец казино предложил им интересную игру: в один ход случайной жеребьёвкой формируется 5 пар, в каждой паре человек, у которого на этот момент больше денег, отдаёт их все напарнику, если у людей одинаковое количество денег, то они подбрасывают монетку, чтобы решить, кому достанутся деньги. (а) Если игра будет длиться 1 ход, то сколько человек могут согласиться играть? Как может измениться коэффициент Джини? (Дайте точную оценку в случае если доходы всех рабочих после игры в покер попарно отличались (только в этом пункте, в остальных доходы после покера могли быть какими угодно)) (б) Что изменится, если в игре будет 2 хода? Кто теперь согласится играть и почему? Как теперь может измениться коэффициент Джини? (Дайте нижнюю оценку) (в) Будем считать, что в пункте в итоге сложился коэффициент Джини, равный 𝐺 ′ . Те- перь представим, что игра длится 10 12 шагов. Как относительно 𝐺 ′ может измениться новый коэффициент Джини? Какие игроки согласятся играть? (Дайте точную верхнюю и нижнюю оценки). a Под этим я понимал следующее: если игрок понимал, что есть хотя бы малейшая вероятность извлечь выгоду из участия в лотерее, то он соглашался участвовать. 8 Профи |