Задачи_Лоя. Совместные случайные события могут произойти или не произойти в некотором стохастическом опыте. Составить таблицу наступлений и ненаступлений события в зависимости от наступления и ненаступления событий

• Название: Совместные случайные события могут произойти или не произойти в некотором стохастическом опыте. Составить таблицу наступлений и ненаступлений события в зависимости от наступления и ненаступления событий
• Дата: 17.03.2023
• Размер: 353.96 Kb.
• Имя файла: Задачи_Лоя.docx
• Тип: Задача; #997949

Задача №1. Совместные случайные события могут произойти или не произойти в некотором стохастическом опыте. Составить таблицу наступлений и ненаступлений события в зависимости от наступления и ненаступления событий . Построить диаграмму Эйлера и заштриховать .

№	0	1	2	3	4	5	6	7
S	+BC	+AC	+AB	+ C	+ C	+ A	+	+C
№	8	9	10	11	12	13	14	15
S	BC	A C	AB	C	B	A		+ +

Задача №2. Наудачу выбрано двузначное число. Найти вероятность того, что:

1. 
   сумма цифр выбранного числа не превосходит 8;
   
2. 
   произведение цифр не превосходит 8;
   
3. 
   произведение цифр делится на 8.
   

Наудачу выбрано двузначное число . Найти вероятности событий:

.

Решение.

По классическому определению:


где - число элементарных исходов опыта (выбор наудачу двузначного числа), - соответственно: число благоприятных для исходов опыта.

Очевидно .

1. 
   .
   

Следовательно, .

2. 
   
   

.

3. 
   ; заметим, что для каждого сравнение имеет два решения, т.к. . Наконец, для это сравнение имеет 5 решений . Таким образом,
   

.

Ответ:

№	0	1	2	3	4	5	6	7
n	10	9	8	7	6	12	14	10
№	8	9	10	11	12	13	14	15
n	9	8	7	6	5	10	8	9

Задача №3. В студенческой стройбригаде 10 человек, из которых 4 первокурсника. Из бригады наудачу взяли 3 человек для работы на первом объекте. Найти вероятность того, что среди взятых студентов 1 первокурсников.
Решение.

Пусть – событие – среди взятых 3-х человек один первокурсник (остальные 1 – не первокурсники). По классическому определению , где - число всех элементарных исходов опыта (из 10 человек наудачу взяли 4 человека). Тогда

.

Число благоприятных для исходов равно

.

;

Ответ: .

Задача №4. В промежутке между 12 и 22 часами к причалу независимо друг от друга должны прибыть для разгрузки два танкера. Один из этих танкеров разгружается в течение 4 часов, другой – в течение 6 часов. Найти вероятность того, что ни одному из танкеров не придется ждать освобождения причала другим.
Задача №5. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что -й станок потребует переналадку в течение смены равна , р₁ = 0,4, р₂ = 0,5, р₃ = 0,6. Найти вероятности следующих событий:

А – в течение смены 2 станка потребуют переналадку;

В – ни один станок не потребует переналадки;

С – хотя бы 1 станок потребует переналадку;

D – не более 2-х станков потребуют переналадку.

Решение.

Введем обозначения: - первый станок потребует переналадку,
- второй потребует переналадку, - третий потребует переналадку. Тогда, согласно определениям операций над событиями, имеем:




.
Ответ:

Задача №6. В партии деталей 30 % получены от завода №1, а остальные от завода №2. Из партии наудачу взяли деталь. Найти вероятность того, что взятая деталь стандартная, если брак на заводе №1 – 0,2, а на заводе №2 – 0,5. Взятая деталь оказалась с браком. Найти вероятность того, что эта деталь получена от завода №2.

Введем обозначения: - взятая деталь стандартная, - деталь получена от завода №1, - деталь получена от завода № 2. По условию:



По формуле полной вероятности:

По формуле Байеса:



Ответ:
Задача №7. Контрольный тест содержит 10 вопросов, каждый из которых требует выбор правильного ответа из четырех данных, один из которых правильный, а остальные неправильные. Найти наиболее вероятное число правильных ответов, которое дает тестируемый, знающий 6 вопросов. Найти вероятность того, что тестируемый дает наиболее вероятное число правильных ответов.

Решение.

Пусть - наиболее вероятное число правильных ответов, которое даст тестируемый, отвечая наудачу на 4 вопроса теста, которых он не знает. Тогда общее число наиболее вероятного числа правильных ответов будет . Итак, найдем :

- целое, следовательно, или . Поэтому или . Это означает, что и искомая вероятность равна:

.

Ответ: 4 или 5; .

№	0	1	2	3	4	5	6	7
k	3	4	2	5	6	1	2	4
№	8	9	10	11	12	13	14	15
k	5	6	7	6	5	4	7	6

Задача №8. Стрелок производит 4 выстрела по движущейся мишени. Вероятность попадания при -м выстреле равна , p₁ = 0,2, p₂ = 0,3, p₃ = 0,4, p₄ = 0,5

Найти вероятности следующих событий:

A – стрелок попадает в мишень ровно 2 раза;

B - стрелок попадет в мишень хотя бы один раз;

C – стрелок ни разу не попадет в мишень.
Решение.

Вероятность промаха при первом выстреле 0,6; при втором – 0,7; при третьем – 0,8 и при четвертом выстреле 0,9.

Составим производящую функцию (многочлен)
.

Если раскроим скобки, сделаем приведение подобных членов и запишем многочлен по возрастающим степеням, то вероятность попаданий будет равна коэффициенту при . Итак:


.
Ответ:

Задача №9. Игральная кость подбрасывается 4 раза. Найти вероятность того, что очков выпадет 1 очко выпадает 2 раза, 2 очка – 1 раз и 3 очка – 1 раз..

№	8	9	10	11	12	13	14	15
	0	0	0	0	3	1	2	2
	1	2	0	2	0	0	0	1
	2	1	1	1	1	0	2	0
	0	1	2	1	0	3	0	0
	0	0	1	0	0	0	0	1
	1	0	0	0	0	0	0	0

Задача №10. станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого станка в течение смены равна .Найти вероятность того, что в течение смены бесперебойно проработают:

1. 
   станков;
   
2. 
   от до станков.
   

№	0	1	2	3	4	5	6	7
	100	200	100	200	300	200	400	400
	0,8	0,7	0,6	0,7	0,8	0,6	0,8	0,5
	82	138	65	145	244	124	324	204
	80	140	60	140	244	110	318	200
	85	150	65	145	250	120	324	210
№	8	9	10	11	12	13	14	15
	400	500	400	100	200	300	400	400
	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,3	0,4
	166	254	244	73	158	268	118	162
	158	248	240	65	150	258	110	155
	166	255	250	75	170	270	130	165

Задача №11. На торговую базу завод отправил бутылок минеральной воды. Вероятность повреждения при транспортировке для каждой бутылки равна . Найти вероятность повреждения при транспортировке:

1. 
   бутылок;
   
2. 
   от до бутылок;
   
3. 
   более бутылок.
   

№	0	1	2	3	4	5	6	7
n	1000	3000	6000	1000	1000	4000	5000	6000
p	0,002	0,001	0,001	0,005	0,006	0,002	0,001	0,001
k	3	2	2	3	4	3	2	4
k1	2	2	3	3	4	4	5	5
k2	4	5	4	5	6	7	8	7
№	8	9	10	11	12	13	14	15
n	2000	4000	5000	1000	2000	3000	4000	10000
p	0,001	0,002	0,001	0,007	0,004	0,002	0,001	0,004
k	4	3	2	2	4	5	4	3
k1	3	2	3	3	4	3	4	3
k2	5	4	5	6	5	4	7	5

Задача №12. Найти закон распределения случайной величины - числа изделий высшего сорта среди наудачу извлеченных из коробки изделий, если в коробке изделий, среди которых изделий высшего сорта. Найти

№	0	1	2	3	4	5	6	7
m	8	9	10	7	6	8	7	6
k	3	4	5	3	3	4	4	4
n	5	5	4	4	5	4	3	4
№	8	9	10	11	12	13	14	15
m	10	8	9	8	8	6	7	7
k	4	4	4	5	4	3	4	3
n	4	5	5	4	3	3	4	4

Задача №13. Мишень разделена на три зоны: I, II, III. За попадание в зону I дается очков, в зону II - очков и в зону III - очков. Для данного стрелка вероятности попадания в зоны I, II, III соответственно равны . Найти закон распределения случайной величины , равной числу заработанных очков стрелком при двух независимых выстрелах по мишени. Найти .

№
0	1	2	3	0.3	0.2	0.5
1	2	1	3	0.1	0.4	0.5
2	3	2	1	0.2	0.1	0.7
3	3	2	2	0.3	0.4	0.3
4	2	2	4	0.4	0.2	0.4
5	2	2	4	0.1	0.2	0.7
6	4	1	2	0.2	0.3	0.5
7	2	2	3	0.3	0.1	0.6
8	3	2	1	0.3	0.3	0.4
9	2	3	1	0.2	0.7	0.1
10	3	2	4	0.3	0.6	0.1
11	2	3	4	0.4	0.2	0.4
12	4	2	1	0.3	0.3	0.4
13	3	2	2	0.2	0.5	0.3
14	1	2	3	0.2	0.3	0.5
15	3	2	1	0.5	0.1	0.4