Задача №1. Совместные случайные события могут произойти или не произойти в некотором стохастическом опыте. Составить таблицу наступлений и ненаступлений события в зависимости от наступления и ненаступления событий . Построить диаграмму Эйлера и заштриховать .
№
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| S
|
+BC
|
+AC
|
+AB
|
+ C
|
+ C
|
+ A
|
+
|
+C
| №
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
| 13
| 14
| 15
| S
|
BC
| A C
| AB
|
C
|
B
| A
|
|
+ +
|
Задача №2. Наудачу выбрано двузначное число. Найти вероятность того, что:
сумма цифр выбранного числа не превосходит 8; произведение цифр не превосходит 8; произведение цифр делится на 8.
Наудачу выбрано двузначное число . Найти вероятности событий:
.
Решение.
По классическому определению:
где - число элементарных исходов опыта (выбор наудачу двузначного числа), - соответственно: число благоприятных для исходов опыта.
Очевидно .
.
Следовательно, .
.
; заметим, что для каждого сравнение имеет два решения, т.к. . Наконец, для это сравнение имеет 5 решений . Таким образом,
.
Ответ:
№
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| n
| 10
| 9
| 8
| 7
| 6
| 12
| 14
| 10
| №
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
| 13
| 14
| 15
| n
| 9
| 8
| 7
| 6
| 5
| 10
| 8
| 9
|
Задача №3. В студенческой стройбригаде 10 человек, из которых 4 первокурсника. Из бригады наудачу взяли 3 человек для работы на первом объекте. Найти вероятность того, что среди взятых студентов 1 первокурсников. Решение.
Пусть – событие – среди взятых 3-х человек один первокурсник (остальные 1 – не первокурсники). По классическому определению , где - число всех элементарных исходов опыта (из 10 человек наудачу взяли 4 человека). Тогда
.
Число благоприятных для исходов равно
.
;
Ответ: .
Задача №4. В промежутке между 12 и 22 часами к причалу независимо друг от друга должны прибыть для разгрузки два танкера. Один из этих танкеров разгружается в течение 4 часов, другой – в течение 6 часов. Найти вероятность того, что ни одному из танкеров не придется ждать освобождения причала другим. Задача №5. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что -й станок потребует переналадку в течение смены равна , р1 = 0,4, р2 = 0,5, р3 = 0,6. Найти вероятности следующих событий:
А – в течение смены 2 станка потребуют переналадку;
В – ни один станок не потребует переналадки;
С – хотя бы 1 станок потребует переналадку;
D – не более 2-х станков потребуют переналадку.
Решение.
Введем обозначения: - первый станок потребует переналадку,
- второй потребует переналадку, - третий потребует переналадку. Тогда, согласно определениям операций над событиями, имеем:
. Ответ:
Задача №6. В партии деталей 30 % получены от завода №1, а остальные от завода №2. Из партии наудачу взяли деталь. Найти вероятность того, что взятая деталь стандартная, если брак на заводе №1 – 0,2, а на заводе №2 – 0,5. Взятая деталь оказалась с браком. Найти вероятность того, что эта деталь получена от завода №2.
Введем обозначения: - взятая деталь стандартная, - деталь получена от завода №1, - деталь получена от завода № 2. По условию:
По формуле полной вероятности:
По формуле Байеса:
Ответ: Задача №7. Контрольный тест содержит 10 вопросов, каждый из которых требует выбор правильного ответа из четырех данных, один из которых правильный, а остальные неправильные. Найти наиболее вероятное число правильных ответов, которое дает тестируемый, знающий 6 вопросов. Найти вероятность того, что тестируемый дает наиболее вероятное число правильных ответов.
Решение.
Пусть - наиболее вероятное число правильных ответов, которое даст тестируемый, отвечая наудачу на 4 вопроса теста, которых он не знает. Тогда общее число наиболее вероятного числа правильных ответов будет . Итак, найдем :
- целое, следовательно, или . Поэтому или . Это означает, что и искомая вероятность равна:
.
Ответ: 4 или 5; .
№
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| k
| 3
| 4
| 2
| 5
| 6
| 1
| 2
| 4
| №
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
| 13
| 14
| 15
| k
| 5
| 6
| 7
| 6
| 5
| 4
| 7
| 6
|
Задача №8. Стрелок производит 4 выстрела по движущейся мишени. Вероятность попадания при -м выстреле равна , p1 = 0,2, p2 = 0,3, p3 = 0,4, p4 = 0,5
Найти вероятности следующих событий:
A – стрелок попадает в мишень ровно 2 раза;
B - стрелок попадет в мишень хотя бы один раз;
C – стрелок ни разу не попадет в мишень. Решение.
Вероятность промаха при первом выстреле 0,6; при втором – 0,7; при третьем – 0,8 и при четвертом выстреле 0,9.
Составим производящую функцию (многочлен)
.
Если раскроим скобки, сделаем приведение подобных членов и запишем многочлен по возрастающим степеням, то вероятность попаданий будет равна коэффициенту при . Итак:
. Ответ:
Задача №9. Игральная кость подбрасывается 4 раза. Найти вероятность того, что очков выпадет 1 очко выпадает 2 раза, 2 очка – 1 раз и 3 очка – 1 раз..
№
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
| 13
| 14
| 15
|
| 0
| 0
| 0
| 0
| 3
| 1
| 2
| 2
|
| 1
| 2
| 0
| 2
| 0
| 0
| 0
| 1
|
| 2
| 1
| 1
| 1
| 1
| 0
| 2
| 0
|
| 0
| 1
| 2
| 1
| 0
| 3
| 0
| 0
|
| 0
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
| 1
|
| 1
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
| 0
|
Задача №10. станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого станка в течение смены равна .Найти вероятность того, что в течение смены бесперебойно проработают:
станков; от до станков.
№
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
|
| 100
| 200
| 100
| 200
| 300
| 200
| 400
| 400
|
| 0,8
| 0,7
| 0,6
| 0,7
| 0,8
| 0,6
| 0,8
| 0,5
|
| 82
| 138
| 65
| 145
| 244
| 124
| 324
| 204
|
| 80
| 140
| 60
| 140
| 244
| 110
| 318
| 200
|
| 85
| 150
| 65
| 145
| 250
| 120
| 324
| 210
| №
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
| 13
| 14
| 15
|
| 400
| 500
| 400
| 100
| 200
| 300
| 400
| 400
|
| 0,4
| 0,5
| 0,6
| 0,7
| 0,8
| 0,9
| 0,3
| 0,4
|
| 166
| 254
| 244
| 73
| 158
| 268
| 118
| 162
|
| 158
| 248
| 240
| 65
| 150
| 258
| 110
| 155
|
| 166
| 255
| 250
| 75
| 170
| 270
| 130
| 165
|
Задача №11. На торговую базу завод отправил бутылок минеральной воды. Вероятность повреждения при транспортировке для каждой бутылки равна . Найти вероятность повреждения при транспортировке:
бутылок; от до бутылок; более бутылок.
№
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| n
| 1000
| 3000
| 6000
| 1000
| 1000
| 4000
| 5000
| 6000
| p
| 0,002
| 0,001
| 0,001
| 0,005
| 0,006
| 0,002
| 0,001
| 0,001
| k
| 3
| 2
| 2
| 3
| 4
| 3
| 2
| 4
| k1
| 2
| 2
| 3
| 3
| 4
| 4
| 5
| 5
| k2
| 4
| 5
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 7
| №
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
| 13
| 14
| 15
| n
| 2000
| 4000
| 5000
| 1000
| 2000
| 3000
| 4000
| 10000
| p
| 0,001
| 0,002
| 0,001
| 0,007
| 0,004
| 0,002
| 0,001
| 0,004
| k
| 4
| 3
| 2
| 2
| 4
| 5
| 4
| 3
| k1
| 3
| 2
| 3
| 3
| 4
| 3
| 4
| 3
| k2
| 5
| 4
| 5
| 6
| 5
| 4
| 7
| 5
|
Задача №12. Найти закон распределения случайной величины - числа изделий высшего сорта среди наудачу извлеченных из коробки изделий, если в коробке изделий, среди которых изделий высшего сорта. Найти
№
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| m
| 8
| 9
| 10
| 7
| 6
| 8
| 7
| 6
| k
| 3
| 4
| 5
| 3
| 3
| 4
| 4
| 4
| n
| 5
| 5
| 4
| 4
| 5
| 4
| 3
| 4
| №
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
| 13
| 14
| 15
| m
| 10
| 8
| 9
| 8
| 8
| 6
| 7
| 7
| k
| 4
| 4
| 4
| 5
| 4
| 3
| 4
| 3
| n
| 4
| 5
| 5
| 4
| 3
| 3
| 4
| 4
|
Задача №13. Мишень разделена на три зоны: I, II, III. За попадание в зону I дается очков, в зону II - очков и в зону III - очков. Для данного стрелка вероятности попадания в зоны I, II, III соответственно равны . Найти закон распределения случайной величины , равной числу заработанных очков стрелком при двух независимых выстрелах по мишени. Найти .
№
|
|
|
|
|
|
| 0
| 1
| 2
| 3
| 0.3
| 0.2
| 0.5
| 1
| 2
| 1
| 3
| 0.1
| 0.4
| 0.5
| 2
| 3
| 2
| 1
| 0.2
| 0.1
| 0.7
| 3
| 3
| 2
| 2
| 0.3
| 0.4
| 0.3
| 4
| 2
| 2
| 4
| 0.4
| 0.2
| 0.4
| 5
| 2
| 2
| 4
| 0.1
| 0.2
| 0.7
| 6
| 4
| 1
| 2
| 0.2
| 0.3
| 0.5
| 7
| 2
| 2
| 3
| 0.3
| 0.1
| 0.6
| 8
| 3
| 2
| 1
| 0.3
| 0.3
| 0.4
| 9
| 2
| 3
| 1
| 0.2
| 0.7
| 0.1
| 10
| 3
| 2
| 4
| 0.3
| 0.6
| 0.1
| 11
| 2
| 3
| 4
| 0.4
| 0.2
| 0.4
| 12
| 4
| 2
| 1
| 0.3
| 0.3
| 0.4
| 13
| 3
| 2
| 2
| 0.2
| 0.5
| 0.3
| 14
| 1
| 2
| 3
| 0.2
| 0.3
| 0.5
| 15
| 3
| 2
| 1
| 0.5
| 0.1
| 0.4
| |