Лекция 2.1. Сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд
 Скачать 0.61 Mb.
|
|
Лекция 2. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши 2.1. Ряды Дирихле и их сходимость, гармонический ряд Определение 1. Числовой ряд вида 1 1 n p n называется рядом Дирихле с показателем р, p R. Заметим, что при 1 p получаем ряд 1 1 n n , который называется гармоническим. Пример 1. Исследовать ряд Дирихле 1 1 n p n на сходимость в зависимости от р. Решение. 1) В случае, если 0 p , члены ряда 1 1 n p n образуют неубывающую последовательность, а сам ряд расходится по необходимому признаку сходимости ( 0 lim n n a ). 2) В случае 0 p для исследования сходимости ряда используем интегральный признак Коши. Введѐм функцию 1 , 1 ) ( x x x f p , которая удовлетворяет всем условиям теоремы Коши (теорема 3, лекция 1, разд. 1.5): при 0 p она непрерывна, положительна и монотонно убывает, 1 , 1 ) ( n a n n f n p . Вычислим несобственный интеграл x x p d 1 1 в двух случаях а) 1 0 p , б) 1 p , т.е. когда 1 p : 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim d lim d 1 1 1 1 1 1 p p n p p n p x x x x x p n p n n p n n p n p –Если 1 0 p , 0 1 p , то p n 1 при n , тогда 1 1 1 lim d 1 1 p p n x x p n p , следовательно, несобственный интеграл расходится и расходится исходный ряд. –Если 1 p , 0 1 p , то 0 1 p n при n , тогда 1 1 1 1 ) 1 ( 1 lim d 1 1 p p p n x x p n p , следовательно, несобственный интеграл сходится и сходится исходный ряд. 3) В случае 1 p имеем гармонический ряд 1 1 n n , для которого также применим интегральный признак Коши, т.е. рассмотрим интеграл n n n x x dx x x n n n n n ln lim 1 ln ln lim 1 ln lim lim d 1 1 , следовательно, несобственный интеграл расходится, а значит, гармонический ряд расходится. Вывод: ряд Дирихле 1 1 n p n сходится, если 1 p , и расходится, если 1 p 2.2. Признаки сравнения рядов с положительными членами Рассмотрим некоторые признаки, устанавливающие сходимость или расходимость рядов с положительными членами путѐм сравнения их с рядами, сходимость или расходимость которых известна. Теорема 1 (I признак сравнения рядов с положительными членами). Пусть даны 2 ряда с положительными членами 1 n n a и 1 n n b Если, начиная с некоторого номера N, для всех N n выполняется неравенство n n b a , тогда 1) из сходимости ряда 1 n n b следует сходимость ряда 1 n n a , 2) из расходимости ряда 1 n n a следует расходимость ряда 1 n n b Доказательство. На основании того, что отбрасывание конечного числа членов (свойство 1, лекция 1, разд. 1.3) не влияет на сходимость или расходимость ряда, можно считать, не нарушая общности, что условие n n b a выполнено для всех 1 n . Пусть n A − частичная сумма ряда 1 k k a , а n B − частичная сумма ряда 1 k k b . По условию n n n n B b b b a a a A 2 1 2 1 1) Если ряд 1 n n b сходится, то последовательность n B ограничена сверху, а значит, ограничена сверху и последовательность n A . Следовательно, по теореме 2 (лекция 1, разд. 1.4) о необходимом и достаточном условии сходимости ряда с положительными членами ряд 1 n n a сходится, так как существует конечный предел последовательности n A 2) Если ряд 1 n n a расходится, то последовательность n A не ограничена, а значит, не ограничена и последовательность n B . Тогда по теореме 2 (лекция 1, разд. 1.4) ряд 1 n n b расходится. Теорема доказана. Пример 2. Исследовать на сходимость ряд 3 1 2 1 1 1 1 n n Решение. Обозначим n b n 1 . Сравним ряд 1 n n b с гармоническим рядом 1 1 1 n n n a n . При 2 n n n a n n b 1 1 , а так как гармонический ряд расходится, то расходится и ряд 1 1 n n Ответ: ряд 1 1 n n расходится. Пример 3. Исследовать на сходимость ряд 1 64 1 24 1 8 1 2 1 2 1 k k k Решение. Обозначим k k a k 2 1 . Сравним данный ряд 1 k k a с рядом геометрической прогрессии 1 1 2 1 2 1 8 1 4 1 2 1 2 1 1 1 k k k k b , который сходится, так как знаменатель прогрессии 2 1 q , то первые члены ряда равны, а при 2 k , k k b a , значит, ряд 1 2 1 k k k сходится по I признаку сравнения. Ответ: ряд 1 2 1 k k k сходится. Теорема 2 (предельный признак сравнения рядов с положительными членами). Даны 2 ряда с положительными членами 1 n n a и 1 n n b и пусть существует C C C b a n n n , 0 , lim , тогда эти два ряда либо сходятся, либо расходятся одновременно. Доказательство. Так как по условию , 3 , 2 , 1 , 0 , 0 n b a n n и n n n b a C lim , то согласно свойству предела 0 C . По условию 0 C , значит, 0 C . По определению предела для всех 0 е существует окрестность ) е , е ( C C точки С такая, что 0 е C и существует такое натуральное число N , зависящее от е , что для всех N n выполняется неравенство е е C b a C n n , или n n n b C a b C е е Если ряд 1 N n n b сходится, то сходится и ряд ) е ( 1 C b N n n (свойство 2, лекция 1, разд. 1.3), откуда по I признаку сравнения рядов следует сходимость ряда 1 N n n a , так как n n b C a е Если же ряд 1 N n n b расходится, то расходится и ряд ) е ( 1 C b N n n , а так как n n a b C е , то по I признаку сравнения рядов ряд 1 N n n a также расходится. Теорема доказана. Замечание. Если C b a n n n lim , 0 C или C , то предельный признак не применим (теорема 2 в этих случаях не верна). Пример 4. Исследовать на сходимость ряд 1 2 3 1 n n n Решение. Обозначим n a n n 3 1 2 . Рассмотрим ряд 1 2 1 1 n n n n b . Так как и 0 1 3 lim lim 2 2 n n n b a n n n n , то эти два ряда одновременно сходятся, или расходятся (теорема 2). Поскольку 1 2 1 n n − ряд Дирихле с 1 2 p сходится, следовательно, исходный ряд 1 2 3 1 n n n тоже сходится. Ответ: ряд 1 2 3 1 n n n сходится. Пример 5. Исследовать на сходимость ряд 2 ln 1 n n Решение. Обозначим n a n ln 1 . Рассмотрим гармонический ряд , 1 1 1 n n n n b который расходится. Так как n n b n n a 1 ln 1 ), 2 ln ( n n n то по теореме 1 ряд 2 ln 1 n n расходится. Ответ: ряд 2 ln 1 n n расходится. 2.3. Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами 1 ) 0 ( n n n a a , и существует конечный предел l a a n n n 1 lim , тогда: 1) ряд 1 n n a сходится, если 1 l , 2) ряд 1 n n a расходится, если 1 l , 3) если 1 l , то для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим. Доказательство. 1) Пусть предел l a a n n n 1 lim существует и 1 0 l . Рассмотрим число q такое, что 1 q l . Из определения предела следует, что 0 е l q существует ) е ( N N, начиная с которого ) е ( N N n выполняется неравенство l q l a a n n 1 , q a a q l l q l a a q l n n n n 1 1 2 , Таким образом, N n q a a n n 1 , т.е. n n a q a 1 . Берѐм n = N, N+1, N+2,…, тогда N N a q a 1 , N N N a q qa a 2 1 2 , N N N a q a q a 3 2 3 , …, N k k N a q a Запишем исходный ряд 1 ) 0 ( n n n a a в виде: 2 1 2 1 1 N N N n n a a a a a a . Рассмотрим новый ряд N N N k k N a q qa a q a 2 0 . Этот ряд есть ряд геометрической прогрессии с N a b 1 и 1 0 q , который сходится, а значит, сходится ряд 2 1 0 N N N k k N a a a a , так как ,...) 3 , 2 , 1 (k a q a N k k N на основании теоремы 1. Ряд 0 k k N a получен из исходного 1 n n a отбрасыванием конечного числа членов 1 2 1 , , , N a a a , тогда ряд 1 n n a сходится (свойство 1, лекция 1, разд. 1.3). Таким образом, исходный ряд 1 n n a сходится, если 1 , lim 1 l l a a n n n . Первая часть теоремы доказана. 2) Пусть 1 lim 1 l a a n n n . Рассмотрим число q такое, что 1 q l 0 е q l , из определения предела следует: е е 1 l a a n n , е, е 1 l a a l n n 1 1 q a a n n Таким образом, 0 1 n n a a и при n общий член ряда n a не стремится к 0, т.е. ряд 1 n n a расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда (теорема 1, лекция 1, разд. 1.3). Вторая часть теоремы доказана. 3) Если 1 l , n n n a a 1 lim равен единице или не существует, в этом случае для выяснения сходимости ряда признак Даламбера не применим. Пример 6. Исследовать на сходимость ряд 1 2 n n n Решение. Обозначим n n a n 2 , 0 n a ; найдѐм 1 1 2 1 n n n a . Составим предел 1 2 1 1 lim 2 1 2 2 2 ) 1 ( lim lim 1 n n n n a a l n n n n n n n , т.е. по признаку Даламбера ряд сходится. Ответ: ряд 1 2 n n n сходится. Пример 7. Исследовать на сходимость ряд 1 5 ! n n n Решение. Обозначим 0 , 5 ! n n n a a n ; найдѐм 1 1 5 )! 1 ( n n n a . Составим предел 1 5 1 lim ! 5 5 5 ) 1 ( ! lim ! 5 5 )! 1 ( lim lim 1 1 n n n n n n a a l n n n n n n n n n n , т.е. по признаку Даламбера ряд расходится. Ответ: ряд 1 5 ! n n n расходится. 2.4. Радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными членами Теорема 4 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд с положительными членами 0 , 1 n n n a a и пусть существует конечный предел lim l a n n n Тогда: 1) если 1 l , ряд сходится, 2) если 1 l , ряд расходится, 3) если 1 l , то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим. Доказательство. 1) Пусть существует 1 lim l a n n n ; так как 0 n a , то 0 l Рассмотрим число q такое, что 1 q l . Из определения предела следует, что 0 е l q существует ) е ( N N N, начиная с которого N n выполняется неравенство , l q l a n n l q l a q l n n , q a n n , N n q a n n Распишем исходный ряд 2 1 2 1 1 N N N n n a a a a a a (1) Составим новый ряд 2 1 0 N N N k k N q q q q . (2) Ряд (2) представляет собой ряд геометрической прогрессии со знаменателем q : 1 0 q , т.е. этот ряд сходится, а значит, ряд (1) сходится по I признаку сравнения рядов (теорема 1 данной лекции). 2) Пусть существует 1 lim l a n n n . Начиная с некоторого N ) е ( N N N n , 1 1 n n n a a , т.е. 0 lim n n a , тогда исходный ряд расходится по необходимому признаку сходимости (теорема 1, лекция 1, разд. 1.3). 3) Если 1 lim l a n n n (или не существует), то для выяснения сходимости ряда радикальный признак Коши не применим. Теорема доказана. Пример 8. Исследовать на сходимость ряд 1 1 2 n n n n Решение. Обозначим 0 , 1 2 n n n a a n n . Составим предел: 1 2 1 1 2 lim lim n n a l n n n n , т.е. по радикальному признаку Коши ряд сходится. Ответ: ряд 1 1 2 n n n n сходится. 2.5. Знакопостоянные ряды, ряды с положительными членами Установление сходимости или расходимости числового ряда − основной вопрос теории рядов; нахождение суммы ряда в случае его сходимости – второстепенная задача. Вопрос сходимости проще всего решается для знакопостоянных рядов, когда все члены ряда одного знака. Для определѐнности будем рассматривать ряды с положительными ( n a 0 ) или с неотрицательными членами ( n a 0 ). Характерным свойством таких рядов является монотонное возрастание (не убывание) последовательности частичных сумм: ; , 0 , 3 2 1 1 1 1 n n n n n n n n S S S S S a S S a a Ряд с положительными членами всегда имеет сумму; если эта сумма конечна, то ряд сходится. Выяснение сходимости рядов с положительными членами опирается на признаки сходимости, которые являются либо необходимыми, либо достаточными, либо необходимыми и достаточными. В частности, к таким рядам применим приведенный выше необходимый признак сходимости рядов (теорема 1). Существует признак, являющийся необходимым и достаточным, который устанавливается следующей теоремой. Теорема 2. Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Доказательство (необходимость). Пусть ряд сходится, тогда последовательность его частичных сумм сходится, а значит, она ограничена сверху. Доказательство (достаточность). Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел, т.е.соответствующий ряд сходится (теорема Вейерштрасса для числовых последовательностей). Теорема доказана. Следует отметить, что на практике этот признак трудно применим, хотя и представляет собой большой теоретический интерес. Далее рассматриваются некоторые признаки сходимости рядов с положительными членами, удобные для практического применения, которые являются только достаточными признаками (интегральный и радикальный признаки Коши, признаки сравнения, признак Даламбера). 1.5. Интегральный признак Коши сходимости ряда с положительными членами Теорема 3 (интегральный признак Коши). Пусть дан ряд 1 n n a , члены которого удовлетворяют трѐм условиям: а) 1 , 0 n a n , т.е. исходный ряд с положительными членами; б) члены ряда монотонно убывают, т.е. 0 1 2 1 n n a a a a ; в) общий член ряда стремится к нулю: 0 lim n n a Пусть существует непрерывная, монотонно убывающая, определѐнная при 1 x функция f(x), такая что , ; , 2 , 1 2 1 n a n f a f a f , т.е. 1 1 ) ( n n n n f a Тогда, если несобственный интеграл 1 dx x f сходится, то ряд 1 n n a тоже сходится; если указанный интеграл расходится, то этот ряд расходится. Доказательство. Из условий теоремы 0 n a n f следует 0 x f при 1 x Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями ) (x f y , 1 x , 1 n x и осью 0х (рис.1). Разобьѐм отрезок ] 1 ; 1 [ n точками ) 1 ..., , 2 , 1 ( n k k x и рассмотрим n криволинейных трапеций. Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции Из геометрического смысла интеграла площадь криволинейной трапеции 1 1 тр d n x x f S . Заменим эту площадь суммой площадей n прямоугольников с единичными основаниями: n f f f S 2 1 , 1 3 2 n f f f S , причѐм n n k k n k S a k f S 1 1 ) ( , а 1 1 1 1 1 1 2 1 2 ) ( a S a a a k f S n n k k n k k n k Из графика (рис. 1) следует: S S S тр , т.е. , 2 , 1 , d 1 1 1 1 n a S x x f S n n n Рассмотрим два случая. 1) Пусть 1 dx x f сходится, т.е. имеет конечный предел A x x f x x f n n 1 1 1 d ) ( d lim . Так как A x f(x) x x f n 1 1 1 d d , то A x x f a S n 1 1 1 d ) ( ) ( и 1 1 1 1 d ) ( a A a x x f S n Итак, частичные суммы ряда ограничены n N, тогда по теореме 2 (необходимый и достаточный признак сходимости ряда с положительными членами) ряд 1 n n a сходится, значит, существует S S n n 1 lim 2) Пусть интеграл 1 dx x f расходится, т.е. 1 1 d n x x f неограниченно возрастает при n . Тогда из неравенства 1 1 d ) ( n n x x f S следует, что последовательность n S неограниченно возрастает: n S , т.е. ряд расходится. Теорема доказана. Замечание 1. Теорема остаѐтся верной и тогда, когда еѐ условия выполняются не для всех членов ряда, а лишь начиная с k-го ( k n ), в таком случае рассматривается интеграл k x x f d Замечание 2. Интегральный признак Коши существенно облегчает исследование сходимости ряда, так как позволяет свести этот вопрос к выяснению сходимости интеграла от удачно подобранной соответствующей функции ) (x f , что легко выполняется, применяя методы интегрального исчисления. |