Лекция 18. Стержней. Косой изгиб. Изгиб с кручением. Расчёты на прочность и

• Название: Стержней. Косой изгиб. Изгиб с кручением. Расчёты на прочность и
• Дата: 07.02.2022
• Размер: 0.61 Mb.
• Имя файла: Лекция 18.pdf
• Тип: Лекция; #354226

ЛЕКЦИЯ Сложное сопротивление
стержней.
Косой изгиб. Изгиб с кручением.
Расчёты на прочность и
жёсткость

• Под сложным сопротивлением понимается такой вид деформации, при котором брус испытывает не одну, а несколько простых деформаций (осевое растяжение-сжатие, кручение, прямой поперечный изгиб. Из множества видов сложного сопротивления выделяют три основных растяжение (сжатие) с изгибом, косой изгиб, изгиб с кручением

• При сложном сопротивлении могут возникать несколько внутренних усилий, в наиболее общем случае все шесть N, Q
y
,
Q
z
, M
x
, M
y
, Правило знаков для продольной и поперечной сила также крутящего момента прежние, а изгибающий момент будет положителен, если вызывает растягивающие напряжения в волокнах, расположенных впервой четверти координат, иначе - отрицательным. При рассмотрении случаев сложного сопротивления оси z и y будем совмещать с главными центральными осями инерции

• Рассмотрим относительно простой случай нагружения бруса (рис.
• В данном случае
N = 0, Q
y
= F, Q
z
= 0, M
x
= F(b/2), M
y
= 0, M
z
= F(l - x). Таким образом, балка испытывает изгиб и кручение.

Рис. 18.1. Сложный вид сопротивления (слева) и внутренние усилия, соответствующие ему (справа)

В простых видах сопротивления для определения напряжений использовались следующие формулы. Осевое растяжение сжатие Кручение круглого стержня Поперечный изгиб в плоскости О Поперечный изгиб в плоскости О
/ .
x
N А 
t
t
M
I

 

;
( )
отс
y
z
z
x
xy
z
z
Q S
M
y
I
I b y
 
 
;
( )
отс
y
y
y
x
zx
y
y
Q S
M
z
I
I h z
 
 
z

Используя принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил,
получим формулу нормальных напряжений:
Для получения зависимости касательных напряжений рассмотрим рис. 18.2.
. (А 


18.1

Рис. 18.2. Касательные напряжения в точке А круглого сечения при изгибе с кручением

Полное касательное напряжение вблизи точки А может быть вычислено с помощью геометрического суммирования 2
(
)
(
) . (17.2)
yx
t
zx
t
cos
sin
 
  
    

18.2

• Косой изгиб – изгиб, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении балки не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции. Различают два вида косого изгиба плоский и пространственный рис 18.3).

• При плоском косом изгибе внешние силы действуют водной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции. Эта плоскость называется силовой, а линия её пересечения с поперечным сечением балки – силовой линией. При пространственном косом изгибе внешние силы действуют в различных плоскостях

Рис. 18.3. Плоский (слева) и пространственный (справа) косой изгиб
y
z

силовая линия
1
F
x
y
z
q
2
F
F
x
y
z

q
силовая плоскость

Обозначим угол между силовой линией и главной осью y через α. Суммарный изгибающий момент, возникающий в сечении балки (рис. 18.3) можно разложить на два изгибающих момента Ми М, соответствующих главным плоскостям инерции:
Поделим первое из этих равенств на второе, выразим угол α через отношение изгибающих моментов. (17.3)
y
z
M
M sin
M
M cos






. (17.4)
y
z
M
tg
M
 
18.3 18.4

При пространственном изгибе величина угла α изменяется по длине балки. Рис. 18.4. Пространственный косой изгиб (слева) и внутренние усилия и эпюра напряжений, соответствующие такой деформации силовая линия
нейтральная ось
y
z


эп 
max

min

y
M
z
M
( , )
z y

z
y
M

Для определения напряжений при косом изгибе можно использовать зависимость
(18.1), которая запишется как
Здесь и I
y
– главные моменты инерции сечения, z, y – координаты точек сечения.
Из зависимости (18.5) видно, что напряжение изменяется по линейному закону.
Найдём координаты нулевой линии, т.к. на нейтральной оси напряжение равно нулю, то получим где z
0
, y
0
– координаты нейтральной оси.
. (17.5)
y
z
x
z
y
M
M
y
z
I
I
 

0 0
0,
(17.6)
y
z
z
y
M
M
y
z
I
I


18.5 18.6

Обозначим через φ угол между нейтральной осью и осью z и найдём из (Учитывая (18.4) получим соотношение, связывающее между собой углы φ и Знак «-» в этой зависимости указывает на то, что нулевая линия по отношению к силовой проходит через две другие четверти 0
y
z
y
z
M
y
I
tg
z
I
M
 
 

. (17.7)
z
y
I
tg
tg
I
  

18.7

Для сечений типа прямоугольника или двутавра, имеющих две оси симметрии, наибольшие по абсолютной величине напряжения удобно вычислять по формуле
А в случае произвольного сечения лучше воспользоваться зависимостью
. (17.9)
y
z
x
z
y
M
M
W
W
 

. (17.10)
y
z
x
z
y
M
M
y
z
I
I
 

18.9 18.10

Тогда условия прочности при косом изгибе запишутся как
В нижней формуле ММ, и y необходимо брать с учётом знака.
,
(17.11)
y
z
max
z
y
y
z
max
z
y
max
M
M
R
W
W
M
M
y
z
R
I
I








18.11

Условия жёсткости. При косом изгибе возникают углы поворотов и прогибы (рис.
18.5). Используя принцип суперпозиции, отдельно определяют перемещения в разных плоскостях.
y
z

w
v
f
2 2
2 2
,
(17.13)
y
z
f
w


    
v
[ ],
[ ]. (17.12)
max
max


 Рис. 18.5. Перемещения при косом изгибе 18.13

Изгиб с кручением. При изгибе с кручением возникают внутренние усилия Q
y
, Q
z
, M
t
=
M
x
, M
y
, Изгиб с кручением стержней с круглым или трубчатым поперечным сечением. В данном случае удобно воспользоваться полным изгибающим моментом и свести расчёт к прямому изгибу.
В круглых или трубчатых сечениях нейтральная ось перпендикулярна следу плоскости результирующего момента (18.8), т. к 2
. (ММ

но след плоскостии изгибающего момента. (
)
эп
М

. (
)
t
эп
М

. (
)
y
эп
Q

Рис. 18.6. Эпюры напряжений при изгибе с кручением

Касательным напряжением изгиба в силу малости пренебрегают, тогда нормальное и касательное напряжения можно найти как здесь
На основе третьей и четвёртой теорий прочности можно записать
С помощью этих условий можно решать все три типа задач, (17.15)
2
t
t
M
M
M
W
W
W

 
 

,
2 .
z
y
W
W
W
W
W




2 2
2 2
4
,
3
(17.16)
R
R
   
   
18.15 18.16

Изгиб с кручением стержней прямоугольного поперечного сечения.
Построим эпюры нормальных и касательных напряжений в прямоугольном поперечном сечении. эп. σ (M
z
) эп. τ (Q
y
) эп. τ (M
t
)
эп. σ (M
y
)
эп. τ (Q
z
)
h
max

max

max

max

z
b
1 2
3 4
5 6
7 8

Условие прочности по максимальным нормальным напряжениям (Касательные напряжения можно определить как
Также используют условие прочности
(18.16) по третьей теории прочности.
Расчёт на жёсткость производят отдельно для изгиба (18.12), (18.13) и для кручения (18.17). Подробно определение перемещений при кручении рассмотрено ранее     

/
( )
,
[ ]. (М 
18.17