Построить модель зависимости силы броска в баскетболе от угла при его выполнении. Вес мяча – 600 г, окружность – 77,5 см. Высота. Отчет по лабораторной работе. Стс310с минасов Ш. М
![]()
|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() СТС-310С Минасов Ш. М. Тимербаев А.Р. . 1306.514107.000 ПЗ Информатики Моделирование физических и технических процессов в ОТС Уфа – Моделирование физических процессов Вариант №16 Содержание1Практическая часть 6 1.1Постановка задачи 6 1.2Теоретическая часть 6 1.3Построение компьютерной интерактивной модели 10 ВведениеТеория моделирования представляет собой взаимосвязанную совокупность положений, определений, методов и средств создания и изучения моделей. Модель: упрощенная система, описывающая основные характеристики более сложной системы (реального объекта, процесса, явления). Согласно Большой Советской Энциклопедии [1]: Модель – образ (в т. ч. условный или мысленный –изображение, описание, схема, чертёж, график, план, карта и т. п.) или прообраз (образец) какого-либо объекта или системы объектов («оригинала» данной модели), используемый при определённых условиях в качестве их «заместителя» или «представителя». Так, моделью Земли служит глобус, а моделью различных частей Вселенной (точнее – звёздного неба) – экран планетария. В этом же смысле можно сказать, что чучело животного есть модель этого животного, а фотография в паспорте – модель его владельца, хотя живописец, напротив, называет моделью именно изображаемого им человека. В математике и логике моделью к.-л. системы аксиом обычно наз. совокупность объектов, свойства которых и отношения, между которыми удовлетворяют данным аксиомам, в терминах которых эти объекты описываются. Моделирование – исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (живых и неживых систем, инженерных конструкций, разнообразных процессов – физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объектов (для определения, уточнения их характеристик, рационализации способов их построения и т. п.). Соответствие между моделью и объектом исследования могут быть описаны отношением – один к одному, один ко многим, многие к одному и многие ко многим. Один и тот же объект может иметь как одну, так и множество моделей, так, например, планета Земля может моделироваться в виде плоской карты и шарообразного глобуса в географии и в виде материальной точки при изучении законов ее движения в солнечной системе. Разные объекты могут описываться одной моделью, так, например, равноускоренное движение может описывать процесс перемещения в пространстве для человека, автомобиля и для самолета, при этом детали механизма движения (шаг, качение, полет) могут не учитываться. Все модели можно разбить на два больших класса: модели материальные (физические) и модели абстрактные (математические). Среди физических моделей наибольшее распространение получило аналоговое моделирование. Абстрактное моделирование заключается в том, что компонентами модели являются не физические объекты, процессы, или явления, а их абстрактное восприятие, которое чаще всего сводится к описанию с помощью математического аппарата. Создание математической модели преследует две основные цели: дать формализованное описание физического процесса лежащего в основе функционирования системы для однозначности их понимания; попытаться представить физический процесс в виде, допускающем аналитическое исследование системы. Основными свойствами, характеризующими математическую модель системы, объекта или явления являются: размерность, адекватность, вычислительная сложность. Размерность модели – число величин, представляющих в модели параметры и характеристики. Адекватность модели – свойство, заключающееся в способности удовлетворять требованиям по составу характеристик, параметров и точности воспроизведения характеристик по всей области определения. Вычислительная сложность – характеризуется числом процессорных операций и емкостью памяти для хранения информации, относящейся к модели. Вычислительная сложность – монотонно возрастающая функция размерности модели. Сложность модели – определяется сложностью моделируемой системы и назначением модели, размером области определения и требуемой точностью. Чем сложнее система, то есть чем больше число входящих в нее элементов и процессов, из которых слагается функционирование системы, тем сложнее модель. Цель работы – освоить навыки моделирования физических процессов Задача: построить модель и определите зависимость силы броска в баскетболе от угла при его выполнении Практическая частьПостановка задачиПостроить модель зависимости силы броска в баскетболе от угла при его выполнении. Вес мяча – 600 г, окружность – 77,5 см. Высота кольца над уровнем поля 3,05 м. Рост баскетболиста – 210 см. Расстояние до центра кольца 4,6 м. Диаметр баскетбольного кольца – 45 см. Мяч должен попасть в корзину без отскока от щита и касания кольца. Теоретическая частьФормальная модель Построим физическую модель процесса. Обозначим оси OX, OY, OZ. Дано: OO1 = 3,05м – Высота кольца над землей R = 0,225м – Радиус кольца AB = 2,1м – Рост баскетболиста BR = 4,6м – Расстояние от игрока до центра кольца m = 0,6 кг – Масса мяча L = 0,775м – Длинна окружности (обхват мяча) ![]() Рисунок 1.1 – Модель Упростим модель. Предположим, что может быть лишь три случая: перелет, недолет, попадание в кольцо. Тогда можно обойтись двумя осями. ![]() Рисунок 1.2 – Двумерная модель Переиначим все обозначения. dm – это диаметр баскетбольного мяча. Н – высота кольца баскетбольной корзины над уровнем пола Dk - диаметр кольца L - расстояние от центра кольца до места броска h – рост игрока dm = 0,246 м. H = 3,05 м. Dk = 0,45 м L = 4,6 м h = 2,1м Спроецировав υ0 на оси Х и Y можно выразить эти проекции через тригонометрические функции: υ0х/υ0=cosα υ0y/υ0=sinα υ0х=υ0cosα υ0y= υ0sinα υ=υ0+at a=g υх=υ0х+gхt υy= υ0y+gyt gх=0 gy=-g υх=υ0cosα υy= υ0sinα-gt Запишем формулы уравнения движения по осям Х и Y: Х=х0+υ0t+аt²/2 Теперь запишем данную формулу для оси Х и Y: Х=х0+υ0xt+ gхt²/2 Y=y0+υ0yt+gyt²/2 х0=0 y0=h0 а=g=0 a=g=-g υ0х=υ0cosα υ0y= υ0sinα Х= υ0tcosα Y= h0+υ0tsinα-gt²/2 Известно, что кольцо крепится на высоте 3,05м. Время движения определим, приравняв к 3,05 координату Y: y = -gt²/2+υ0tsinα+h=3,05 — это квадратичное уравнение. Здесь определить время можно через дискриминант: ![]() ![]() Теперь найдем x: ![]() Выразить из этого уравнения ![]() Тогда уравнение примет вид x = υ0²sin2α/g Критерии попадания мяча в кольцо Во-первых, мяч не должен улететь за пределы корзины ![]() ![]() Рассмотрим случай, когда мяч попадает ровно в центр кольца. ![]() Когда мяч залетает в корзину, его координата ![]() Исходя из довольно простых геометрических соображений, синус угла, под которым мяч влетает в корзину, не должен превышать 0.5 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() То есть нет особого смысла кидать мяч под углом меньшим, чем 45 ![]() Построение компьютерной интерактивной моделиДля построения компьютерной модели была использована электронная таблица Ms Excel. ![]() Чтобы отрисовать график траектории мяча воспользуемся Matlab. Посмотрим, как сильно изменится траектория мяча, если мы будем учитывать сопротивление воздуха. Исходный код программы в Matlab clear all close all clc global rho S cd m g opz_aereo_y rho=1; %Сопротивление воздуха [kg/m3] S=0.048; %Площадь соприкосновения [m2] cd=0.8; %Коэффициент сопротивления m=0.6; %Масса g=9.8065; tf=5; %Initial conditions V0=6.8; %Начальная скорость [m/s] x0=0; % Начальная координата х y0=2.1; % Начальная координата у opz_aereo_y=1; %Учитывать или нет сопротивление по у alpha_ini=10:5:70; %Углы %Насройки графика col='brgmck'; col=repmat(col,1,10); range=zeros(size(alpha_ini)); max_h=range; leg=cell(length(alpha_ini),1); figure(1) clf subplot(2,2,[1 3]) hold on grid on xlabel('range [m]','FontWeight','bold') ylabel('Height [m]','FontWeight','bold') set(gca,'FontWeight','bold') %Цикл для разных углов for ii=1:length(alpha_ini) alpha0=deg2rad(alpha_ini(ii)); Vx0=V0*cos(alpha0); Vy0=V0*sin(alpha0); [t, Y]=ode45(@moto_balistico,[0 tf],[Vx0 Vy0 x0 y0]'); x=linspace(min(Y(:,3)),max(Y(:,3)),1000); data=zeros(1000,3); for jj=1:4 data(:,jj)=interp1(Y(:,3),Y(:,jj),x,'linear'); end t=interp1(Y(:,3),t,x,'linear'); pos_ground=find(data(:,4)<0,1,'first'); data(pos_ground:end,:)=[]; range(ii)=data(end,3); max_h(ii)=max(data(:,4)); subplot(2,2,[1 3]) plot(data(:,3),data(:,4),col(ii),'LineWidth',2) drawnow leg{ii}=['\alpha = ',num2str(alpha_ini(ii)),' °']; end subplot(2,2,[1 3]) legend(leg); aa(1)=subplot(222); plot(alpha_ini,range,'-o','LineWidth',2) xlabel('\alpha [°]','FontWeight','bold') ylabel('Range [m]','FontWeight','bold') grid on set(gca,'FontWeight','bold') aa(2)=subplot(224); plot(alpha_ini,max_h,'-o','LineWidth',2) xlabel('\alpha [°]','FontWeight','bold') ylabel('Max H [m]','FontWeight','bold') set(gca,'FontWeight','bold') grid on linkaxes(aa,'x') Функция для решения дифференциальных уравнений function dY=moto_balistico(t,Y) global rho S cd m g opz_aereo_y %X(1)=Vx %X(2)=Vy %X(3)=x %X(6)=y; Vx=Y(1); Vy=Y(2); Faereo_x=0.5*rho*S*Vx^2*cd; Faereo_y=0.5*rho*S*Vy^2*cd*opz_aereo_y; Fgrav=m*g; dY(1)=-Faereo_x/m; dY(2)=-(Faereo_y*sign(Vy)+Fgrav)/m; dY(3)=Vx; dY(4)=Vy; dY=dY'; В результате увидим траектории мяча при разных углах с определенной начальной скоростью. ![]() ЗаключениеВ результате выполнения лабораторной работы была разработана математическая и компьютерная модель броска мяча в корзину при помощи электронных таблиц MS Excel и пакета прикладных программ для решения задач технических вычислений Matlab. Список литературыhttps://www.programmersought.com/article/49839509776/… https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/61146-ballistic-trajectory https://studopedia.ru/25_104666_matematicheskaya-postanovka-zadachi.html |