Шпоры математика. Т. Сумма смежных углов 180 Т
 Скачать 65.5 Kb.
|
|
Т.Сумма смежных углов = 180° Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.) Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются. Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной. Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую. 2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу. П  ризнаки параллельности прямых. Е   А В В А А В  С Д Д Д С С ÐВАС ÐДСА внутр. одностор. (1рис) ÐВАС ÐДСА внутр. накрест лежащ. (2) ÐЕАВ ÐАСД соответств. (3) Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. Ð =, то прямые параллельны. Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,ðпрямые| |. Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. Ð1=Ð2 Но Ð1=Ð3 (вертикальные)ðÐ3=Ð2.Но Ð2 и Ð3-накрестлежщие.ðПо Т 1 a | | bn Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Ð=180°, то прямые | |n Для ТТ 1-3 есть обратыные. Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й прямой, то внутр.накрестлеащие Ð=, со- ответств.Ð=, сумма внутр.одностÐ=180°. Перпедикулярные пр-е пересек-ся Ð90°. 1.Через кажд.тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1. 2. Из любой тчки (Ï данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1. 3. две прямые ^ 3-й параллельны. 4. Если прямая ^ 1-й из | | прямых, то она ^ и другой. Многоугольник (n-угольник) Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r- впис.) R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°) Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждогоÑ пересек. в 1 тчке (ортоцентр). 2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины). 3. Все 3 биссектр. Ñ пересек. в 1 тчке - центр впис. Круга. 4. Все 3 ^, восстановленные из середин сторон Ñ, пересе. в 1 тчке - центр опис. круга. 5. Средняя линия | | и = « основания H(опущ. на стор. a) = 2ûp(p-a)(p-b)(p-c) a M(опущ на стор a) = « û 2b2+2c2 -a2 B (-‘’-)= 2û bcp(p-a) / b+c p - полупериметр aý=bý+cý-2bx, х-проекция 1-й из сторон Признаки равенства Ñ: 2Ñ=, если = сотв. 1. 2 стороны и Ð между ними. 2. 2 Ð и сторона между ними. 3. 2 Ð и сторона, противолеж. 1-му из Ð 4. три стороны 5. 2 стороны и Ð , лежащий против большей из них. Прямоугольный Ñ C=90øaý+bý=cý NB! TgA= a/b; tgB =b/a; sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c Равносторонний ÑH= û3 * a/2 S Ñ= « h a =« a b sin C Параллелограмм dý+d`ý=2aý+ 2bý S =h a=a b sinA(между а и b) = « d d` sinB (между d d`) Трапеция S= (a+b) h/2 =«uvsinZ= Mh Ромб S=a h=aýsinA= « d d` Окружность L= pRnø / 180ø,nø-центрÐ Т.Впис.Ð= « L , L-дуга,на ктрую опирÐ S(cектора)= « Rýa= pRýnø / 360ø Векторы.. Скалярное произведение `а`b=|`a| |`b| cos (`a Ù`b), |`a| |`b| - длина векторов Скалярное произведение |`a|{x`; y`} и |`b|{x``; y``}, заданных своими коорди-натами, = |`a| |`b| = x` × y` + x`` × y`` Преобразование фигур 1. Центр. Симметрия 2. Осевая симметрия (^) 3. Симм. Отн-но плоскости (^) 4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k>0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К . 5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры) 6. Поворот 7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда: - все точки оси переходят сами в себя - любая точка АÏ оси р АðА` так, что А и А` Î a, a^р, ÐАОА` = j= const, О- точка пересеч. a и р. Результвт 2-х движений= композиции. 8. Паралeн.перенос (x,y,z)ð(x+a,y=b,x=c) 9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз К=1 - движение. Св-ва подобия. 1. АВСÎ(а); A`B`C` Î(a`) 2. (p) ð (p`); [p)ð[p`); aða`; ÐAðÐA` 3. Не всякое подобие- гомотетия NB! S` = ký S``; V ` = k 3 V `` Плоскости. Т. Если прямая, Ï к.-л. плоскости a , | | к.-л. прямой, Î a, то она | | a Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b) T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й a | | двум пересек. прямым другой b, то a | | b. Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |. Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1. Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =. Т. Признак ^ прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, ^каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ^. Т. 2 ^ к пл-сти | |. Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых ^, то и другая ^ плоскости. Т. Признак ^ 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ^ к др. п-сти, то он ^ этой л-сти. Дано [a)^ b,[a) Îa,a Èb= (p).Д-ть: a ^ b Док-во. [a)^ b=·М. Проведем (b) через М, (b)^(p). (a)Ù(b) - линейный Ð двугранного угла между a и b. Так как [a)^ bð(a)^(b)ð (a)Ù(b)=90øða ^ bn Т. Если 2 пл-сти взаимно ^, то прямая 1-й пл-сти ^ линии пересеч. пл-стей, ^ 2-й пл-сти. Т. О 3-х ^.. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ^ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной. Многогранники Призма. V = S осн × a - прямая призма a - боковое ребро , S пс- S ^-го сечения V = S пс × а - наклонная призма V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн. Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед. V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc S=2(ab+ac+bc) Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех Ñ. Фигуры вращения Цилиндр V=pRýH; S= 2pR (R+H) Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * pRýH S= Sосн+ Sбок= pR (r + L); L-образующая Сфера «оболочка» S= 4pRý Шар М= 4/3 pR3 |