|
|
Мех. Техническая механика-3. Техническая механика кинематика. Лекция первая
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
КИНЕМАТИКА. Лекция первая
Кинематика точки
- Основными кинематическими характеристиками движения точки являются ее положение, скорость и ускорение. Поэтому к задачам кинематики точки относятся определение способов задания движения и нахождение методов определения скорости и ускорения.
Кинематика точки
Кинематика точки
- Векторный способ. Положение точки в пространстве задано, если ее радиус-вектор , проводимый из некоторого заданного центра, известен как функция времени.
Кинематика точки
- При этом предполагается, что имеется возможность определить его модуль и направление в любой момент времени. Это можно сделать, если избрана какая-либо система координат, например прямоугольная декартова система координат.
Кинематика точки
- Координатный способ. Способ задания движения точки с помощью координат как известных функций времени называется координатным способом. Наиболее распространенной является прямоугольная декартова система координат. Движение точки задается с помощью координат x, y, z как известных функций времени, то есть
Кинематика точки
- Уравнения движения точки представляют собой и уравнение траектории точки, но только в параметрической форме, где роль параметра играет время t. Для определения уравнения траектории в координатной форме необходимо исключить время t
- Траекторией точки называется непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении.
Кинематика точки
- Естественный способ. При естественном способе задания движения известны уравнения траектории и закон движения точки по траектории. Пусть точка Mо - начало отсчета. Выбрав направление положительного отсчета дуги по траектории, определяем положение точки М в любой момент времени как функцию изменения дуги:
Кинематика точки
- Данная зависимость есть закон движения. Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны.
Скорость точки
- Определим скорость точки, рассматривая векторный способ задания ее движения. Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом , а в момент - радиус-вектором . Вектор
есть вектор перемещения точки за время t.
Скорость точки
- Понятие средней скорости:
Скорость точки в данный момент времени есть предел отношения вектора перемещения к промежутку времени , за который произошло это перемещение при , стремящемся к нулю, то есть
Скорость точки
- Таким образом, скорость точки равна производной радиус-вектора точки по времени, а именно
и направлена по касательной к траектории в сторону движения. Единицами измерения скорости являются м/c, км/ч.
Скорость точки
- Определение скорости при координатном способе задания движения.
Производную по времени в теоретической механике обозначают точкой сверху, поэтому
Вектор скорости определяется модулем
и направлением, которое задается направляющими косинусами:
Скорость точки
- Определение скорости при естественном способе задания движения.
где - проекция скорости на касательную
Ускорение точки
- Определение ускорения точки при векторном способе задания движения. Полагаем, что в момент времени t скорость равна , а в момент времени - соответственно, .
Изменение вектора скорости за промежуток времени определяется как
Ускорение точки
- Среднее ускорение:
Ускорение точки в данный момент времени есть предел отношения приращения скорости к приращению времени при , стремящемся к нулю:
;
Ускорение точки
- Следовательно, ускорение точки равно первой производной по времени вектора скорости точки или второй производной по времени радиуса-вектора точки.
- Единицей измерения ускорения является м/с^2 .
Ускорение точки
- Определение ускорения при координатном способе задания движения.
Модуль ускорения определяется как
а направление задается направляющими косинусами:
Ускорение точки
- Определение ускорения при естественном способе задания движения.
где ρ - радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.
Касательное ускорение
Нормальное ускорение
Ускорение точки
- Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.
- Модуль ускорения равен
Ускорение точки
- Составляющие ускорения всегда взаимно перпендикулярны.
- Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью. Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении точки.
Равнопеременное движение точки
- Если , то движение называется равнопеременным, причём если , то движение равноускоренное, а если , то движение равнозамедленное.
- Выражение для скорости при равнопеременном движении:
- Основными движениями твёрдого тела являются поступательное движение и вращение тела вокруг неподвижной оси. Задачами кинематики твёрдого тела являются установление способа задания его движения, изучение кинематических характеристик, присущих телу в целом, и определение траекторий, скоростей и ускорений всех точек тела.
- Число независимых параметров, задание которых однозначно определяет положение тела в пространстве, называется числом степеней свободы тела. Свободное твёрдое тело имеет шесть степеней свободы.
- Поступательным движением называется такое движение твёрдого тела, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся во всё время движения параллельной своему первоначальному положению.
Возьмём на теле, движущемся поступательно, две произвольные точки А и В и векторным способом зададим их движение.
- Из рисунка видно, что
Скорость точек:
;
Тогда
- При поступательном движении тела все его точки движутся одинаково, так как их перемещения, скорости и ускорения геометрически равны.
- Поэтому поступательное движение полностью определяется движением одной произвольной точки. Если взять координатный способ задания движения точек, то уравнениями поступательного движения будут
- Вращательным движением тела вокруг оси будем называть такое движение, при котором некоторая прямая, принадлежащая тел, - ось вращения - остаётся неподвижной, а все точки тела движутся по окружностям с центрами в основаниях перпендикуляров, опущенных из этих точек на ось вращения.
- На рисунке АВ - ось вращения, h1, h2 - радиусы окружностей, по которым движутся произвольные точки тела C и D.
- Возможность такого движения обеспечивается опорами: А - подпятник, В - подшипник, по-другому ещё можно назвать А - радиально-упорный подшипник, В - радиальный подшипник. Тело при этом движении имеет одну степень свободы. Следовательно, для задания его движения необходимо иметь один независимый параметр, в качестве которого выбирают угол поворота φ.
- Пусть Ax1y1z1 – неподвижная система координат, ось Az1 направлена по оси вращения тела. Жестко с телом свяжем систему координат Axyz. В начальный момент времени эти системы совпадают, а через некоторый промежуток времени они отклоняются и их взаимное положение определяется углом, являющимся функцией времени,
- Угол φ - положительный, если вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси Az1.
- Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твёрдого тела являются угловая скорость и угловое ускорение.
- Угловая скорость является алгебраической величиной, модуль которой
Зависимость между угловой скоростью w и числом оборотов в минуту n определяется как
- Угловое ускорение в данный момент времени определяется как предел
- Угловое ускорение равно производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота. Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Единица измерения углового ускорения - рад/с.
Равнопеременное вращение твёрдого тела
- Если угловая скорость постоянна, то вращение тела - равномерное. Рассмотрим случай, когда постоянным является угловое ускорение. Такое вращение называется равнопеременным, причём если , то вращение равноускоренное, если <0, то равнозамедленное.
- Законы изменения угловой скорости и угла φ соответственно при равнопеременном вращении:
- Вектором угловой скорости твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется вектор, модуль ω которого равен абсолютному значению производной угла поворота тела по времени, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки.
Векторы угловой скорости и углового ускорения
Векторы угловой скорости и углового ускорения
а – ускоренное вращение;
б – замедленное вращение.
- Рассматриваем вращение тела вокруг неподвижной оси z1 .
- Берём неподвижную точку тела М , траекторией движения которой является окружность радиуса ρ с центром О на оси вращения z1 .
- Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси определяется как векторное произведение:
- Рассматриваемый вектор направлен по касательной к траектории движения точки в сторону движения, то есть совпадает по направлению с вектором скорости.
Определение скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- Рассмотрим сечение (диск) тела плоскостью, перпендикулярной к оси вращения и содержащей точку М.
Определение скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- Как видно, модуль скорости любой точки тела равен произведению модуля угловой скорости на расстояние от точки до оси вращения, то есть пропорционален радиусу окружности, по которой движется точка.
Определение скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- Направлен вектор скорости по касательной к этой окружности в сторону движения, то есть перпендикулярно к радиусу. Для определения ускорения точки М возьмём производную скорости по времени
Определение скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Получаем
- Ускорение точки состоит из двух составляющих, первая - вращательное ускорение вторая - осестремительное ускорение . При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси их можно называть касательным и нормальным ускорениями соответственно.
- Модуль полного ускорения точки М будет равен
т.к. составляющие ускорения перпендикулярны.
Определение скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси |
|
|
Скачать 1.06 Mb.