Раздел 4 мат. Тема 10 Неопределенный интеграл и его свойства
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
Тема 12. Определенный интеграл и его свойства План лекции: 1. Понятие определѐнного интеграла. 2.Геометрический, физический и экономический смысл определенного интеграла. 3. Основные свойства определенного интеграла. 4.Связь определенного интеграла с неопределенным, формула Ньютона-Лейбница. 1. Понятие определѐнного интеграла Пусть на отрезке b a; задана неотрицательная функция x f y и необходимо найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой x f y , прямыми a x , b x и осью абсцисс. Рисунок 12.1 – Криволинейная трапеция Выполним следующие действия: 1) с помощью точек 0 1 2 0 1 2 , , , ... , n n x a x x x b x x x x разобьем отрезок ; a b произвольным способом на n частичных отрезков длиною ; x , , 1 n 1 2 2 0 1 1 n n x x x x x x x x 2) в каждом частичном отрезке n i x x i i ,..., 2 , 1 , ; 1 выберем произвольную точку i i i x x c 1 и вычислим значение функции в ней, то есть величину ; i c f 3) умножим найденное значение функции i c f на длину i x соответствующего частичного отрезка: ; i i x c f 4) составим сумму n S всех таких произведений n i i i n n n x c f x c f x c f x c f S 1 2 2 1 1 . (12.1) Сумма вида (12.1) называется интегральной суммой функции x f y на отрезке ; a b .Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка: ; ,..., 2 , 1 max n i x i 5) найдем предел интегральной суммы (12.1), когда n так, что 0 Определение 1. Если интегральная сумма n S (12.1) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка b a; на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции x f y на отрезке b a; и обозначается b a dx x f Таким образом, n i i i b a n x c f dx x f 1 0 lim (12.2) Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f x – подынтегральной функцией, f x dx подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок ; a b – областью (отрезком) интегрирования. Функция y f x , для которой на отрезке ; a b существует определенный интеграл b a f x dx , называется интегрируемой на этом отрезке. Теорема. Если функция y f x непрерывна на отрезке ; a b то определенный интеграл b a f x dx существует. Непрерывность функции является достаточным условием еѐ интегрируемости. Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла: ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f y dy f t dt поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы. Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интеграл существенно различные понятия. Так неопределенный интеграл f x dx – это совокупность первообразных функций, а определенный интеграл b a f x dx – это число. 2.Геометрический, физический и экономический смысл определенного интеграла Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции 0 y f x , снизу – осью , Ox сбоку – прямыми x a и x b ( ) b a f x dx S Физический смысл определенного интеграла неоднозначен. 1. Если ( ) F x − сила, параллельная оси 0Х и ориентированная в положительном направлении оси 0Х, действующая на материальную точку при прямолинейном перемещении по промежутку ; a b , то работа А силы ( ) F x при этом равна: b a dx x F A ) ( 2. Если ) (t V − скорость неравномерного прямолинейного движения материальной точки, то путь S , пройденный точкой за промежуток времени 2 1 , t t , при этом равен: 2 1 ) ( t t dt t V S 3. Если ) (x − плотность неоднородного прямолинейного стержня с концами в точках b x a x , , то масса m такого стержня равна: b a dx x m ) ( Экономический смысл интеграла. Если t f – производительность труда в момент времени t , то объем выпускаемой продукции за промежуток T ; 0 равен: 0 T V f t dt 3. Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке ; a b 1. Если c – постоянное число и функция f x интегрируема на ; a b , то , b b a a c f x dx c f x dx то есть постоянный множитель c можно выносить за знак определенного интеграла. 2. Если функции 1 f x и 2 f x интегрируемы на ; a b , тогда интегрируема на ; a b их алгебраическая сумма и то есть интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов. Это свойство распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых. 1 2 1 2 , b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx 3. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла изменяется на противоположный: b a a b f x dx f x dx 4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования (интеграл в точке) равен нулю: 0. a a f x dx 5. Если функция f x интегрируема на ; a b и a c b , то , b c b a a c f x dx f x dx f x dx то есть интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла. Кроме того, свойство справедливо при любом расположении точек , , a b c (считаем, что функция f x интегрируема на большем из получающихся отрезков). 6. «Теорема о среднем». Если функция f x непрерывна на отрезке ; a b , то существует точка ; с a b такая, что b a f x dx f c b a 7. Если функция f x сохраняет знак на отрезке ; a b , где a b , то интеграл b a f x dx имеет тот же знак, что и функция. Так, если 0 f x на отрезке ; a b , то 0 b a f x dx 8. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке ; a b a b можно интегрировать. Так, если 1 2 f x f x при ; x a b , то b a b a dx x f dx x f 2 1 4.Связь определенного интеграла с неопределенным, формула Ньютона- Лейбница Рассмотрим основную формулу интегрального исчисления, традиционно связываемую с именами великих ученых И. Ньютона и Г.В. Лейбница. Для этого воспользуемся условием следующей вспомогательной теоремы. Теорема. Непрерывная на отрезке ; a b функция f x имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция: ( ) ( ) x a F x f t dt Здесь переменная интегрирования обозначена буквой t , чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом x Поскольку всякая другая первообразная отличается от ( ) F x на постоянную величину, то связь между неопределенным и определенным интегралами имеет вид: ( ) x a f x dx f t dt C , где С – произвольная постоянная. Согласно рассмотренной теореме, непрерывная на отрезке ; a b функция f x имеет на этом отрезке первообразную, которая определяется формулой ( ) ( ) C x a f t dt F x , (12.3) где С – некоторая постоянная. Подставляя в это равенство x a и учитывая свойства определенного интеграла, получим: ( ) ( ) C, 0 ( ) C, ( ) a a f t dt F a F a C F a Тогда из (12.3)имеем ( ) ( ) ( ) x a f t dt F x F a Полагая x b , получим формулу b a f x dx F b F a . (12.4) Равенство (12.4) называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона-Лейбница. Если ввести обозначение b F b F a F x a то формулу Ньютона- Лейбница (12.4) можно переписать так: b a b f x dx F x a (12.5) Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f x на отрезке ; a b надо найти еѐ первообразную функцию F x (в этом состоит связь определенного интеграла с неопределенным) и взять разность F b F a значений этой первообразной на концах отрезка ; a b . Вопросы для самопроверки: 1. Дать понятие интегральной суммы. 2. Дать понятие определенного интеграла. 3. В чем состоит достаточное условие интегрируемости функции. 4. В чем существенное различие понятий неопределенного и определенного интегралов? 5. Поясните геометрический, физический и экономический смысл определенного интеграла. 6. Основные свойства определенного интеграла. 7. Вывести формулу Ньютона-Лейбница. 8. При каких условиях справедлива формула Ньютона-Лейбница? 9. Пусть функция ) (x f интегрируема на ] ; [ c a и неинтегрируема на ] ; [ b c Что можно сказать о ее интегрируемости на ] ; [ b a ? Тема13. Методы вычисления определенного интеграла План лекции: 1. Метод непосредственного интегрирования 2. Замена переменной в определенном интеграле 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле 1. Метод непосредственного интегрирования Согласно формуле Ньютона-Лейбница (12.4): b a b f x dx F x F b F a a при вычислении определенного интеграла надо сначала найти первообразную F x или неопределенный интеграл f x dx F x C , а затем вычислить разность F b F a значений первообразной, поэтому таблица неопределенных интегралов, справедлива и для определенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования в определенном интеграле основывается не только на формуле Ньютона-Лейбница, включающей умение находить первообразные по таблице интегралов, использованию основных свойств определенного интеграла, а так же на тождественных преобразованиях подынтегральной функции. Пример 13.1.Вычислить интеграл 1 2 0 1 x dx Решение.Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрата суммы двух слагаемых: 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 1 1 3 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 2 2 4 1 4 1 17 2 1 0 0 1 0 1 2 3 2 3 2 16 1 2 x dx x x dx dx x dx xdx x x x x Пример 13.2.Вычислить интеграл 4 2 6 1 cos dx x Решение. 4 4 2 6 6 1 3 3 3 1 cos 4 6 3 3 dx tgx tg tg x Пример 13.3. Вычислить интеграл 2 2 2 0 1 dx x Решение. 2 2 0 2 2 2 0 2 arcsin arcsin arcsin 0 0 2 4 4 1 dx x x 2.Замена переменной в определенном интеграле При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения. Теорема. Пусть функция t имеет непрерывную производную на отрезке ; , a , ( ) b и функция f x непрерывна в каждой точке x вида x t , где ; t Тогда справедливо следующее равенство: b a f x dx f t t dt . (13.1) Формула (13.1) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле. Доказательство. По нашему предположению левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральных функций. Пусть C x F x x f d . Тогда C t F t t t f d Это можно проверить дифференцированием обеих частей, причем правая часть дифференцируется как сложная функция. Применим формулу Ньютона-Лейбница к рассматриваемым интегралам: a F b F x x f b a d , a F b F F F t t t f d Так как правые части одинаковы, то одинаковы и левые части. Приравняв их, переходим к равенству (13.1). Теорема доказана. Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования и по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений t a и t b . На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t x новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: , a b Пример 13.4. Вычислить интеграл 2 1 ln e x dx x Решение. Положим ln x t , тогда dx dt x . Если 1 x , то 0 t ; если x e , то 1 t . Следовательно, 1 1 2 2 3 3 3 1 0 0 ln ln 1 1 1 1 0 3 3 3 1 0 1 e x t dx dt x dx t dt t x x x t x e t Пример 13.5. Вычислить dx x x 8 3 1 1 Решение. 8 9 9 9 9 3 4 4 4 4 1 3 9 9 1 1 2 2 9 9 2 2 4 4 4 4 1 , 1 1 1 1 2 2 1 3 4 8 9 2 2 2 2 38 26 2 4 9 4 9 3 4 2 4 1 3 3 3 3 x t x t x t t dt t dx dx dt dt dt dt x t t t t x t x t t t t dt t dt Пример 13.6. Вычислить dx x x tg 3 0 2 3 cos Решение. 2 3 3 3 4 4 4 3 3 2 0 0 0 , cos ( 3) 0 9 0 0 cos 4 4 4 4 3 3 dx tgx t dt x tg x t dx x t t dt x x t |