Раздел 4 мат. Тема 10 Неопределенный интеграл и его свойства

• Название: Тема 10 Неопределенный интеграл и его свойства
• Анкор: Раздел 4 мат
• Дата: 02.05.2023
• Размер: 0.93 Mb.
• Имя файла: Razdel_4_integrirovanie.pdf
• Тип: Лекции; #1103294
• страница: 1 из 3

Раздел 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 10: Неопределенный интеграл и его свойства
План лекции:
1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование.
1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции.
Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.
Определение 1. Функция
 
F x называется первообразной функции
 
f x на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка выполнятся равенство:
 
 
F x
f x


. (10.1)
Например,
4
( )
F x
x

является первообразной для
3
( )
4
f x
x

, так как
4 3
(
)
4
x
x
 
. Любая функция вида
4
( )
F x
x
C


, где С – произвольная постоянная также является первообразной для
3
( )
4
f x
x

Приведем основные теоремы о первообразных без доказательства.
Теорема 1. Если
 
F x – первообразная функции
 
f x
, то функция
 
F x
C

, где
C
const

определяет все возможные первообразные функции
 
f x .
Теорема 2. Если
1
( )
F x
и
2
( )
F x
– две первообразные для функции ( )
f x
на некотором промежутке Х, то найдется такое число С, что будет справедливо равенство:
2 1
( )
( )
C
F x
F x



(две первообразные одной функции отличаются на постоянную).
Определение 2.
Совокупность всех первообразных для функции
 
x
f
на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции
 
x
f
и обозначается
 
f x dx

, где

– знак интеграла;
 
f x – подынтегральнфя функция;
 
f x dx – подынтегральное выражение. ;
 
x
F
- первообразная функция;
C
- произвольная постоянная.
Таким образом,
 
 
f x dx
F x
C



, (10.2) где,
 
F x – некоторая первообразная для
 
f x ;
C
– произвольная постоянная.
Знак интеграла есть вытянутый символ S от латинского Summa. Введен
Лейбницем. Термин «интеграл» введен Якобом Бернулли от латинского слова integralis(целостный) или, по другому предположению от integro
(восстанавливать).
Отыскание для данной произвольной функции
 
f x
ее первообразной называется интегрированием (а весь комплекс связанных с этим вопросов —
интегральным исчислением). Как видим, эта задача является обратной по отношению к дифференцированию, поэтому верность интегрирования проверяется дифференцированием функции, полученной в результате решения.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых
 
y
F x
C


(каждому числовому значению
C
соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Рисунок 10.1– семейство интегральных кривых
Имеет место теорема, утверждающая, что всякая непрерывная на интервале
 
;
a b функция имеет на этом интервале первообразную, а следовательно, и неопределенный интеграл.
2. Основные свойства неопределенного интеграла
1.
Производная от неопределѐнного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
 


 
f x dx
f x



Доказательство:
 


 


 
 
f x dx
F x
C
F x
C
f x










2.
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению , т.е.
 


 
d
f x dx
f x dx


Доказательство:
 


 


 
d
f x dx
f x dx dx
f x dx





3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е
 
 
dF x
F x
C



Доказательство:
 
 
 
 
dF x
F x dx
f x dx
F x
C









4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
 
 
kf x dx
k f x dx



, где
k
– некоторое число.
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:


( )
( )
( )
( )
f x
g x dx
f x dx
g x dx






Это свойство остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.
6.(Инвариантность формулы интегрирования).
Если
 
 
,
f x dx
F x
C



то и
 
 
,
f u du
F u
C



где
 
u
x
 

произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Это свойство говорит о том, что формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от неѐ, имеющей непрерывную производную.
3.
Таблица
основных
интегралов.
Непосредственное
интегрирование
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций:
1)
0
dx
С




2)
1
dx
x
C

 

3)







).
1
(
1 1
n
C
n
x
dx
x
n
n
4)




).
0
(
ln
x
C
x
x
dx
5)
).
1 0
(
ln





a
C
a
a
dx
a
x
x
6)
x
x
e dx
e
C



7) sin cos
xdx
x
C
 


8) cos sin
xdx
x
C



9)



cos
2
C
tgx
x
dx
10)




sin
2
C
ctgx
x
dx
11)
2 2
2 1
1
dx
x
dx
arctg
C
arctgx C
x
a
a
a
x








12)
2 2
arcsin
dx
x
C
a
a
x




13)






ln
2 2
C
k
x
x
k
x
dx
14)







).
0
(
ln
2 1
2 2
a
C
a
x
a
x
a
a
x
dx
15)
ln | cos |
tgxdx
x
C
 


16)
c ln | sin |
tgxdx
x
C



Справедливость записанной таблицы интегралов проверяется непосредственным дифференцированием.
Метод непосредственного интегрирования основан на применении таблицы интегралов, свойств неопределенного интеграла и на

тождественных преобразованиях подынтегральной функции. Рассмотрим его на примерах.
Пример 10.1.Найти интеграл
3
dx
x

и проверить результат дифференцированием.
Решение.Преобразуем подынтегральную функцию
3 3
1
,
x
x


тогда
3 1 2
3 3
2 1
3 1 2
2
dx
x
x
x dx
C
C
C
x
x
 




 
  

 



Проверка.Найдем дифференциал полученной функции:
 
 
2 2
2 2
2 1 3
3 1
1 1
0 2
2 2
1 1
2 2
2
d
C
d
d C
d
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
x dx
x


 














 















 

   







Пример 10.2.Найти неопределенный интеграл
3 5
x
x
dx


и проверить результат дифференцированием.
Решение.Так как
 
3 5 3 5 15 ,
x
x
x
x
  

тогда получим
15 3 5 15
ln15
x
x
x
x
dx
dx
C
 





Проверка.Найдем производную от полученного результата:
 
 
15 15 1
1 15 0
15
ln15 15 .
ln15
ln15
ln15
ln15
x
x
x
x
x
C
C












 











Пример 10.3. Найти неопределенный интеграл
2 2
6
du
u


Решение.В знаменателе подынтегральной функции общий множитель
2 вынесем за скобку, тогда постоянный множитель подынтегральной функции
1 2
вынесем за знак интеграла (используем четвертое свойство):


 
2 2
2 2
2 1
1 2
6 2
3 2
2 3
3
du
du
du
du
u
u
u
u












Воспользуемся формулой из таблицы интегралов, где
3,
a

тогда получим:
2 1
1 3
1 3
ln ln
2 6
2 2 3 3
4 3 3
du
u
u
C
C
u
u
u


 
 





Пример 10.4. Найти неопределенный интеграл
x xdx

Решение.Так как
1 1
3 1
2 2
2
,
x x
x x
x
x

 


тогда получим:
3 5
1 3
2 2
5 2
2 3
5 5
1 2
2
x
x
x xdx
x dx
C
C
x
C



 
 




Пример 10.5.Найти неопределенный интеграл
2 1
x
dx
x








Решение.Преобразуем подынтегральную функцию:
2 2
2 2
2 1
1 1
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x





   

 




Тогда получим (согласно пятому свойству)


2 2
2 2
2 2 1 2 1 3
1 3
1 2
2 1
2 2
2 2 1 2 1 3
1 3
x
dx
x
x
dx
x dx
dx
x dx
x
x
x
x
x
x
dx
x
C
x
C
x



 





 














 

 

 







Пример 10. 6.Найти неопределенный интеграл
2
tg xdx

Решение.
2 2
2 2
2 2
2 2
2
sin
1 cos
1
cos
1 1.
cos cos cos cos cos
x
x
x
tg x
x
x
x
x
x







Используя преобразованный вид функции и свойства интегралов, получим:
2 2
2 1
1
cos cos
dx
tg xdx
dx
dx
tgx
x
C
x
x







 








Пример 10.7.Найти неопределенный интеграл
3 2
3 5
7
x
x
x
dx
x



Решение.Преобразуем подынтегральную функцию:

3 2
3 2
1 2 1 3 1 3 1 3 3
1 1
1 1 8
5 1
3 2
3 3
2 3 3
3 6
5 7
5 7
5 7
5 7
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x















Данный интеграл будет равен:


3 2
8 3 5 3 1 6 8 3 5 3 3
8 3 1 5 3 1 1 6 1 11 3 8 3 1 6 7 6 11 3 8 3 7 6 11 8
3 3
7 6
5 7
5 7
5 7
5 7
5 8 3 1 5 3 1 1 6 1 11 3 8 3 3
3 6
3 15 7
5 7
7 6 11 8
7 11 8
6
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x dx
x dx
x
x
x
x
x
x
x dx
C
x
C
x
x
x
C
x
x
x
C













 
 
 





 
 
 
 
 









Вопросы для самопроверки:
1. Дайте определение первообразной функции для функции
)
(x
f
на промежутке Х.
2. Приведите примеры функций, имеющих первообразные.
3. Приведите примеры двух различных первообразных для одной и той же функции
)
(x
f
4. Что называется неопределенным интегралом?
5.Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
6. Напишите таблицу основных интегралов.
7. В чем состоит метод непосредственного интегрирования?
Тема11. Основные методы интегрирования
План лекции:
1. Замена переменной (подстановка) в неопределенном интеграле.
2. Интегрирование по частям.
3. Интегрирование некоторых рациональных выражений.
1. Замена переменной (подстановка) в неопределенном интеграле

В отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и интегралов (первообразных).
Метод непосредственного интегрирования применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев при интегрировании применяются метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
Теорема. Если требуется найти интеграл

dx
x
f
)
(
, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены
 
t
x


и
 
dx
t dt

 
получается:
( )
( ( )) ( )
f x dx
f
t
t dt






(11.1) где
 
t
x


– функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Доказательство. Найдем производные по переменной t от левой и правой частей (1):

 



( )
( )
( )
( ),
( ( )) ( )
( ( )) ( )
t
t
x
t
f x dx
f x dx
x
f x
t
f
t
t dt
f
t
t





 
 











(свойство 1 неопределенного интеграла).
Так как
 
t
x


, то эти производные равны, что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением.
Замечание. После интегрирования в новой переменной необходимо от переменной
t
вернуться к переменной x .

Формула (11.1) показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении.
Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному.
Пример 11.1. Найти неопределенный интеграл sin cos
x
xdx

Решение. Сделаем замену
t
sinx

, тогда dt
cosx dt

1/2 3/2 3/2 2
2
sin cos sin
3 3
t
sinx
dt
cosx d
x
xdx
tdt
t dt
t
C
x
t
C





 




Пример 11.2. Найти интеграл


)
1
(
2
/
3 2
dx
x
x
Решение:
2 5/2 2
3/2 3/2 3/2 5/2 2
5/2 1
1 1 2 2
;
(
1)
2 2
2 5 5
2
(
1)
5
t
x
dt
t
dt
xdx
x x
dx
t
t dt
t
C
C
dt
dx
x
x
C







 
 
 







Пример 11.3. Найти
dx
x
x


3 2
Решение:










3 3
2 3
2 6
3 3
1 3
7 4
7 4
3 3
2
,
2 2
3
,
2 3 3
2 2
3 3
3 2
2 2
7 4
7 2
x
t
x
t
x
x dx
dx
t dt
t t
t dt
t
t
dt
t
x
t
t
C
x
x
C
 
 














 











Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно
(в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком
дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала).
Пример 11.4. Найти интеграл


cos 3 2
x
dx


Решение. Используя свойства дифференциала, получим:

 


1 1
3 3
2 3
3
dx
d
x
d
x



Тогда



 


 



1 1
cos 3 2
cos 3 2
3 2
cos 3 2
3 2
3 3
1
sin 3 2
3
x
dx
x
d
x
x
d
x
x
C














В этом примере для нахождения интеграла была использована линейная подстановка
t
kх
b


, где
k
и
b
– некоторые числа
0
k

. В общем случае справедлива следующая теорема, которая тоже позволяет упрощать процесс нахождения интегралов.
Теорема. Пусть ( )
F x
– некоторая первообразная для функции ( )
f x .
Тогда
1
)
(
)
C
(
f
F kх
b
k
kx
b dx


 

, (11.2) где
k
и
b
– некоторые числа
0
k

Доказательство. Используя определение интеграла, отметим
(
)
(
)
C
(
)
f kx
b d kx
b
F kх
b



 

.
Но
(
)
(
)
d kx
b
kx
b dx
d
k x





. Вынося постоянный множитель
k
за знак интеграла и деля левую и правую части равенства на
k
, приходим к
(11.2).
Данная теорема утверждает, что если вместо аргумента x подынтегральной функции
( )
f x
и первообразной
( )
F x
подставить выражение


kх
b

, то этоприведет к появлению дополнительного множителя
1
k
перед первообразной.
2. Интегрирование по частям
Теорема. Если функции
 
и х
и
 
v х дифференцируемы и интеграл

vdu существует, то и интеграл
udv

также существует и





vdu
uv
udv
. (11.3)
Доказательство. Дифференциал произведения двух функций:
 
d uv
vdu
udv


Интегрируя последнее равенство, получим
  

d uv
vdu
udv




,
uv
vdu
udv





udv
uv
vdu




Формула (11.3) называется формулой интегрирования по частям
для неопределенного интеграла. Эта формула дает возможность свести вычисление интеграла
udv

к вычислению интеграла
,
vdu

который может оказаться существенно более простым, чем исходный, или когда он будет ему подобен.
Для применения формулы (11.3) к некоторому интегралу
 
f x dx

следует подынтегральное выражение
 
f x dx представить в виде произведения двух множителей: u и
;
dv за
dv
всегда выбирается такое выражение, содержащее ,
dx из которого посредством интегрирования можно найти v ; за u в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается. Иногда формулу интегрирования по частям приходится использовать несколько раз.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислить методом интегрирования по частям.
1. Интегралы вида
 
,
ax
P x e dx

   
sin
,
P x
ax dx

   
cos
,
P x
ax dx

где
 
P x
– многочлен, a

число,
0
a

. Удобно положить
 
u
P x

, а за
dv
обозначить все остальные сомножители подынтегрального выражения, то есть
 
 
,
sin
,
cos
ax
e dx
dv
ax dx
ax dx


 



В данном случае формула (3) применяется столько раз, какова степень многочлена
 
P x .
2. Интегралы вида
 
arcsin
,
P x
xdx

 
arccos
,
P x
xdx

 
,
P x arctgxdx

 
,
P x arcctgxdx

 
ln
P x
xdx

В таких интегралах удобно положить
 
dv
P x dx

, а за u обозначить остальные сомножители, то есть arcsin ,
arccos ,
,
,
ln .
x
x
u
arctgx
arcctgx
x



 



3. Интегралы вида
 
sin
,
ax
e
bx dx


 
cos
,
ax
e
bx dx


где a и
b
– числа. В таком случае за u можно принять функцию
ax
u
e

или
 
 


sin cos
u
bx
u
bx


Формула интегрирования по частям будет применяться два раза. В повторном интегрировании по частям за u необходимо принять аналогичную в первом применении функцию. В таком случае получается уравнение относительно данного по условию интеграла, из которого легко найти этот интеграл. При неудачном выборе u и
dv
в повторном интегрировании получается бесполезное тождество.
Пример 11.5. Вычислить cos
x
xdx

Решение.
Данный интеграл относится к первой группе интегралов, берущихся по частям. Используя, соответствующие обозначения и формулу
(11.3), получим: cos sin sin cos cos sin sin cos
u
x
du
dx
x
xdx
x
x
xdx
dv
dx
v
dx
x
x
x
x
C















Пример 11.6.Найти интеграл
3
ln x
dx
x


Решение.Интеграл относится ко второй группе интегралов, берущихся по частям. Пусть ln
u
x

,
3
dx
dv
x

, тогда
 
ln
,
du
x dx


1
,
du
dx
x

3 1 2
3 3
2 1
3 1 2
2
dx
x
x
v
x dx
x
x
 






 
 



Подставляя полученные результаты в формулу (3) получим
3 2
2 2
3 2
2 2
2
ln ln
1 1
ln
1 2
2 2
2
ln
1 1
ln
1 2
2 2
2 4
x
x
x
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
C
C
x
x
x
x


 



 








 


  








Пример 11.7. Вычислить

xdx
e
x
cos
2
Решение.Интеграл относится к третьей группе.
2 2
2 2
2 2
cos sin sin
2
cos sin
x
x
x
x
x
u
e
du
e dx
e
xdx
e
x
x
e dx
dv
xdx
v
x



























dx
e
x
x
e
x
e
x
v
xdx
dv
dx
e
du
e
u
x
x
x
x
x
2 2
2 2
2 2
cos cos
2
sin cos sin
2




dx
xe
x
e
x
e
x
x
x
2 2
2
cos
4
cos
2
sin
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
Таким образом, мы получили алгебраическое уравнение с неизвестным интегралом:
2 2
5
cos
(sin
2cos )
x
x
e
xdx
e
x
x



, отсюда
2 2
cos
(sin
2cos )
5
x
x
e
e
xdx
x
x
C




3. Интегрирование некоторых рациональных выражений
Дробно-рациональной функцией
(или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, то есть

 
 
 
,
m
n
P x
f x
Q x

где
 
m
P x
– многочлен степени
,
m
а
 
n
Q x – многочлен степени n .
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть
;
m
n

в противном случае (если
m
n

) рациональная дробь называется неправильной.
Всякую неправильную рациональную дробь
 
 
P x
Q x
можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена
(целой части) и правильной рациональной дроби.
Следующие правильные дроби называются простейшими или элементарными:
1.
;
A
x
a

2.


,
m
A
x
a

где

m
целое число, больше единицы (то есть
,
2

m
N
m

);
3.
2
,
ax
b
x
px
q



где знаменатель дроби не имеет действительных корней, то есть
2 4
0.
D
p
q



Здесь , , , ,
A a b p q

действительные числа.
Перед интегрированием рациональной дроби
 
 
x
Q
x
P
необходимо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:
1)если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из неѐ целую часть, т.е. представить в виде
 
 
 
 
1
,
P x
P x
= М(х)
Q x
Q x

где
М(х)
– многочлен, а
 
 
1
P x
Q x
– правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
  



2
...,
n
m
Q x
х а
x
px q




где








0 4
2
q
p
3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:




















q
px
x
N
x
M
b
x
B
b
x
B
b
x
B
a
x
A
a
x
A
a
x
A
x
Q
x
P
l
l
k
k
2 1
1 2
2 1
2 2
1 1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(















m
m
m
q
px
x
N
x
M
q
px
x
N
x
M
)
(
)
(
2 2
2 2
2
, (11.4) где


,
,
,
,
,
1 1
2 1
N
M
A
A
– неопределенные
(неизвестные) коэффициенты (некоторые из них могут равняться нулю).
4) Для нахождения неопределенных коэффициентов все простейшие дроби приводим к общему знаменателю Q(x) и приравниваем числители обеих частей равенства. Затем сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х. Это приводит к системе уравнений, из которых и находим значения интересующих нас коэффициенты.
Наконец, находки интегралы выделенной целой части и всех простевших дробей, которые затем складываем.
Пример 11.8. Вычислим интеграл





dx
x
x
x
x
x
4 8
22 9
5 3
2 3
Решение. Так как подынтегральная функция является неправильной дробью, то вначале выделяем целую часть
3 2
3 3
2 5
9 22 8
4 5
5 20 9
2 8
x
x
x
x
x
x
x
x
x








Тогда подынтегральное выражение можно представить в виде суммы, а знаменатель разложим на множители
3 2
2 2
3 5
9 22 8
9 2
8 9
2 8
5 5
4
(
2)(
2)
(
2)(
2)
x
x
x
x
x
x
x
dx
dx
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x

























Теперь разложим дробь на сумму дробей

2 9
2 8
(
2)(
2)
2 2
x
x
A
B
C
x
x
x
x
x
x


 





Найдем А, В, С для этого приведем к общему знаменателю правую часть
2 2
2 2
9 2
8
(
4)
(
2 )
(
2 )
(
2)(
2)
(
2)(
2)
x
x
A x
B x
x
C x
x
x
x
x
x
x
x


 








приравниваем числители

 

A
C
B
x
C
B
A
x
x
x
4 2
2 8
2 9
2 2








, тогда два многочлена одной степени равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной х
2 0
:
9
,
:
2 2
2 ,
:
8 4 .
x
A
B
C
x
B
C
x
A
  
 

  
3,
4,
2.
B
C
A



Вернемся к интегралу и распишем его в виде суммы дробей с найденными коэффициентами
2 9
2 8
1 1
1 2
3 4
2 ln
3ln
2 4 ln
2
(
2)(
2)
2 2
x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
x
C
x
x
x
x
x
x







 
 








Возвращаясь к исходному интегралу и используя свойства логарифмической функции, получим



















dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
2 4
2 3
2 5
4 8
22 9
5 3
2 3
5 2ln
3ln
2 4ln
2
x
x
x
x
C



 
 
, или
3 2
2 3
4 3
5 9
22 8
5
ln
(
2) (
2)
4
x
x
x
dx
x
x x
x
C
x
x










Замечание. Прием, которым были найдены коэффициенты
C
,
B
,
A
, называется способом сравнения коэффициентов.
Для определения коэффициентов можно применять способ частных значений, состоящий в следующем: аргументу x придают некоторые
«удобные» значения (ими могут быть значения корней).
Вернемся к рассмотренному случаю:

4
,
8 32
,
3
,
8 24
,
2
,
4 8
2 2
0












C
C
B
B
A
A
x
x
x
Те же самые значения коэффициентов получены проще.
Замечание. При поиске неизвестных коэффициентов рекомендуется комбинировать оба этих метода.
Вопросы для самопроверки:
1.
Как осуществляется замена переменной (подстановка) в неопределенном интеграле?
2. Что значит подвести функцию под знак дифференциала?
3. Как осуществляется метода интегрирования по частям?
4. Какие функции удобно интегрировать по частям?
5. Укажите 3 типа интегралов, вычисление которых целесообразно производить с помощью метода интегрирования по частям.
6. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей
I, II, III типов.
7. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби в случае простых вещественных корней знаменателя.
8. Какие алгебраические преобразования и вычисления необходимо сделать перед интегрированием рациональной дроби
 
 
x
Q
x
P
?