Геометрические Приложения криволинейных интегралов. Геометрические Приложения криволинейных интегралов
 Скачать 67.08 Kb.
|
|
Геометрические Приложения криволинейных интегралов. 1) Длинна кривой. Пусть  является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором  ,  . Тогда длина выражается формулой: где  – производная, а  ,  ,  – компоненты векторной функции .Если кривая представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции  ,  в плоскости  , то длина такой кривой вычисляется по формуле: Если кривая задана в полярных координатах уравнением:  ,  , и ф.  является непрерывной и дифференцируемой в интервале  , то длина кривой определяется выражением: 2) Площадь области, ограниченной замкнутой кривой. Пусть является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости . Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется: Здесь предполагается, что обход кривой производится против часовой стрелки.3) Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси  .Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости  и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой , обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области вокруг оси  образуется тело  .Объем данного тела определяется формулами:  Физические Приложения криволинейных интегралов. 1) Масса кривой. Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой . Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью  . Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода: 2) Центр масс и моменты инерции кривой. Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой , а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности .Тогда моменты инерции определяются формулами:  Координаты центра масс кривой определяются формулами:  Моменты инерции относительно осей ,  ,  определяются формулами: 3) Работа поля. Работа при перемещении тела в силовом поле  вдоль кривой выражается через криволинейный интеграл второго рода: где – сила, действующая на тело,  – единичный касательный вектор. Обозначение  означает скалярное произведение векторов и .4) Закон Ампера. Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией  вдоль замкнутого контура пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C. Это выражается формулой: где  – магнитная проницаемость вакуума, равная  .5) Закон Фарадея. Электродвижущая сила  , наведенная в замкнутом контуре , равна скорости изменения магнитного потока  , проходящего через данный контур: Формула Грина. Формула Грина связывает двойной и криволинейный интегралы. Пусть  – конечная, вообще говоря, многосвязная область на плоскости с кусочно-гладкой границей  (т.е. состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых). Область с присоединённой границей обозначим  .Т1. Пусть ф.  и  непрерывны в и имеют непрерывные частные производные первого порядка в . Если  несобственные интегралы по области от каждой из частных производных ф.  и  , то справедливо соотношение: называемое формулой Грина. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы , на которых указано такое направление обхода, при котором область остаётся слева.Формула Стокса. Формула Стокса обобщение формулы Грина. Пусть  – ограниченная, полная, кусочно-гладкая, двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей  . Окрестностью поверхности будем называть любое открытое множество , содержащее .Т2. Пусть в некоторой окрестности поверхности ф.  ,  ,  непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Если несобственные интегралы по области от каждой из частных производных ф. , и  , то справедливо соотношение: называемое формулой Стокса. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы , на которых указано такое направление обхода, при котором область остаётся слева.Формула Остроградского. Формула связывает тройной интеграл с поверхностным интегралом на границе области. Пусть  – конечная, многосвязная область в пространстве  с кусочно-гладкой границей . Область с присоединённой границей будем обозначать через  .Т3. Пусть ф. , , непрерывны в и имеют непрерывные частные производные первого порядка в . Если несобственные интегралы по области от каждой из частных производных ф. , и , то справедливо соотношение: называемое формулой Остроградского. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы , на которых выбрана внешняя по отношению к сторона. |