Высшая математика. Контрольная работа 1. Решение. Координаты центра масс вычисляются по формуле
 Скачать 445.01 Kb.
|
|
Задание 1. Кратные интегралы Однородная пластина имеет форму четырехугольника (см. рисунок). Указаны координаты вершин. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра масс пластины. Вариант 1.  Решение. Координаты центра масс вычисляются по формуле  Так как пластина однородная, то плотность µ = const, и  Составим уравнение прямой, ограничивающей область сверху.  Координаты этих точек (0,3) и (4,4). Таким образом, уравнение прямой:  Площадь пластины (интеграл в знаменателе):  .Вычислим интегралы в числителях:  Первая координата:   Вторая координата:  Ответ:  Задание 2. Дифференциальные уравнения Найти общее решение дифференциального уравнения. Вариант 1.  Решение: Делим на x:  .Группируем:  . Линейное уравнение 1-го порядка:  .Для решения воспользуемся заменой (метод Бернулли): Подставляем:  Получаем:  Группируем:  I.Решим первое уравнение:   Преобразуем:  Умножаем на дифференциал dx:  Делим на  :  .Интегрируем обе части уравнения:  , получаем: .Возведем уравнение в степень   .II.Решим второе уравнение:   Умножаем на х:  Преобразуем  :  .Умножаем на дифференциал dx:  Интегрируем обе части уравнения:  , получаем: Подставляем полученные значения в уравнениях I и II, получаем:  Ответ:  Задание 3. Степенные ряды Найти область сходимости степенного ряда. Вариант 1.  Решение: Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом:  где  - формула числовых коэффициентов. Для нашего ряда  .Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:  Вычислим его:  Таким образом, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-3;3). Проверим сходимость ряда на концах этого интервала. Пусть x=-3. Получаем ряд:  .Исследуем сходимость ряда при помощи признаков сходимости.  Рассмотрим первые три члена ряда:3, -3, 3 Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.  а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие не выполняется 3=3=3 б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.  Второе условие Лейбница не выполняется. Таким образом, рассматриваемый ряд расходится (один из признаков не выполняется). Ряд расходится, значит, x = -3 - точка расходимости. При x = 3 получаем ряд:  Исследуем его сходимость при помощи признаков сходимости.  Исходное выражение можно упростить: Тогда исходный ряд можно представить в виде:  Исследуем сходимость ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:  Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 3 - точка расходимости. Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при:  Ответ: ряд является сходящимся при:  .Задание 4. Приближенные вычисления с помощью разложения функции в ряд Вычислить с точностью до 0,001 значение определённого интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд. Вариант 1.  Решение: Разложение экспоненты в ряд Маклорена:  Почленно интегрируем степенной ряд:  Ответ: 0,1049 Задание 5. Линии и области в комплексной плоскости По заданным условиям, построить область в комплексной плоскости. Вариант 1.  Решение: По определению, z = x + iy, Re z = x, Im z = y. Следовательно, условия принимают вид:  Каждое условие:  Рисунок 2.   Рисунок 3.   Рисунок 4 – Область удовлетворяющая одновременно 1-му и 3-му условиям. Вычислим  :   – окружность радиуса 1 с центром в точке (1;0): Рисунок 5. Область, удовлетворяющая 2-му условию. Ответ: Совмещая все условия получим область, выделенная на рисунке  Рисунок 6. Задание 6. Функции комплексного переменного Вычислить значение функции комплексного переменного, результат представить в алгебраической форме. Вариант 1. Ln(-2i) Решение. Логарифм комплексного числа вычисляется по формуле:   Ответ:  . |