Контрольная работа. Вариант 4.. Контрольная работа по дисциплине Высшая математика (часть 2)
 Скачать 91.7 Kb.
|
|
Федеральное агентство связи Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики Межрегиональный учебный центр переподготовки специалистов Контрольная работа по дисциплине: Высшая математика (часть 2) Кратные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, функция комплексной переменной Выполнил: Группа: Вариант: 4 Проверила: Храмова Т.В. Новосибирск, 2020 Задание 1. Кратные интегралы Дано: Однородная пластина имеет форму четырехугольника, указаны координаты вершин (Рисунок 1). С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра масс пластины.  Рисунок 1 Решение: Координаты центра масс вычисляются по формуле:  ,где D - заданная область, µ- плотность пластины, а ds- дифференциал площади. Т.к. пластина однородная, то плотность µ=const,следовательно  ; Составим уравнение прямой, ограничивающей область сверху.  ’Подставляем точки (0;2) и (5;3) в уравнение  ,  .Вычислим площадь пластины (интеграл знаменателя):   Далее вычислим интегралы числителей  и      = Теперь вычисляем координаты центра масс:   Ответ: (  .Задание 2. Дифференциальные уравнения Дано: Найти общее решение дифференциального уравнения.  Решение: Для начала определим тип уравнения. Данное уравнение является однородным т.е. приводиться к типу:  следовательно, для его решения можно воспользоваться преобразованием:   Соответственно делаем замену  Тогда получаем уравнение           Где  любое целое число.Ответ: Задание 3. Степенные ряды Дано: Найти область сходимости степенного ряда.  Решение: Исследуем ряд на абсолютную сходимость, используя признак Даламбера. Ряд сходиться, если    Ответ: ряд сходиться абсолютно при всех значенияхx. Задание 4. Приближенные вычисления с помощью разложения функции в ряд Дано: Вычислить с точностью до 0,001 значение определённого интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд.  Решение: Зная разложение функции  в ряд Маклорена Получим разложение функции   Тогда   Так как сходящийся степенной ряд можно почленно интегрировать, то    Третье слагаемое меньше заданной точности 0,001 и т.к. исходный ряд знакочередующийся и остаток ряда не превышает первого слагаемого, следовательно, остаток  не превышает 0,001: Ответ: 0,006 Задание 5. Линии и области в комплексной плоскости Дано: По заданным условиям, построить область в комплексной плоскости.  Решение: По определению  Следовательно, условия принимают вид Рассмотрим каждое условие отдельно, добавляя к уже имеющимся.  – область ограниченная двумя линиями, проходящими через -1 и 2 по оси y (Рисунок 2 слева). – это область ограниченная двумя линиями, проходящими через -1 и 1 по оси x(Рисунок 2 справа) Рисунок 2 – 1-ое и 3-е условия на графиках.  - второе условие для аргумента комплексного числа означает, что число лежит на луче в указанном секторе.  π -π/4  Рисунок 3- 2-е условие  Рисунок 4- точки удовлетворяющие всем условиям Ответ: совмещая все условия, получили область, изображенную на рисунке 4 (выделена серым). Задание 6. Функции комплексного переменного Дано: Вычислить значение функции комплексного переменного, результат представить в алгебраической форме.  Решение: Запишем число в показательной форме, а затем выполним операцию возведения в степень. Для этого изобразим число точкой на плоскости и найдем модуль и аргумент (Рисунок 5).  Рисунок 5- иллюстрация комплексного числа       Ответ:  |