Лекция Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент комплексного числа.
![]()
|
Лекция 1. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Показательная функция комплексного аргумента. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому изучим предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними. Определение 7.1. Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (а,b) : z = (a,b) (термин «упорядоченная» означает, что в записи комплексного числа важен порядок чисел а и b: (a,b)≠(b,a) ). При этом первое число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Re z, а второе число b называется мнимой частью z: b = Im z. Определение 7.2. Два комплексных числа z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) равны тогда и только тогда, когда у них равны действительные и мнимые части, то есть a1 = a2, b1 = b2. Действия над комплексными числами. 1. Суммой комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) называется комплексное число z = (a,b) такое, что a = a1 + a2 , b = b1 + b2 . Свойства сложения: а) z1 + z2 = z2 + z1; б) z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3; в) существует комплексное число 0 = (0,0): z + 0 = z для любого комплексного числа z. 2. Произведением комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ) называется комплексное число z = (a,b) такое, что a = a1a2 – b1b2 , b = a1b2 + a2b1 . Свойства умножения: а) z1z2 = z2z1 ; б) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3, в) (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3 . Замечание. Подмножеством множества комплексных чисел является множество действительных чисел, определяемых как комплексные числа вида (а,0). Можно убедиться, что при этом определение операций над комплексными числами сохраняет известные правила соответствующих операций над действительными числами. Кроме того, действительное число 1 = (1,0) сохраняет свое свойство при умножении на любое комплексное число: 1∙ z = z. Определение 7.3. Комплексное число (0, b) называется чисто мнимым . В частности, число (0,1) называют мнимой единицей и обозначают символом i. Свойства мнимой единицы: 1) i∙i=i² = -1; 2) чисто мнимое число (0,b) можно представить как произведение действительного числа (b,0) и i : (b,0) = b∙i. Следовательно, любое комплексное число z = (a,b) можно представить в виде: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib. Определение 7.4. Запись вида z = a + ib называют алгебраической формой записи комплексного числа. Замечание. Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры. Определение 7.5. Комплексное число ![]() 3. Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению: z =(a,b) называется разностью комплексных чисел z1 = (a1 , b1) и z2 = (a2 , b2 ), если a = a1 – a2 , b = b1 – b2. 4. Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: число z = a + ib называется частным от деления z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 (z2 ≠ 0), если z1 = z∙z2. Следовательно, действительную и мнимую части частного можно найти из решения системы уравнений: a2 a – b2 b = a1 , b2 a + a2 b = b1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексное число z = (a,b) можно представить в виде точки на плоскости с координатами (a,b) или вектора с началом в начале координат и концом в точке (a,b). При этом модуль полученного вектора называется модулем комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением оси абсцисс,- аргументом числа. Учитывая, что a = ρ cos φ, b = ρ sin φ, где ρ = | z | - модуль z, а φ = arg z – его аргумент, можно получить еще одну форму записи комплексного числа: Определение 7.6. Запись вида z = ρ (cos φ + isin φ) (7.1) называется тригонометрической формой записи комплексного числа. В свою очередь, модуль и аргумент комплексного числа можно выразить через а и b: ![]() Легко убедиться, что операция сложения комплексных чисел соответствует операции сложения векторов. Рассмотрим геометрическую интерпретацию умножения. Пусть ![]() ![]() ![]() Следовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент – сумме их аргументов. Соответственно, при делении модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент – разности их аргументов. Частным случаем операции умножения является возведение в степень: ![]() - формула Муавра. Используя полученные соотношения, перечислим основные свойства комплексно сопряженных чисел: ![]() ![]() Извлечение корня из комплексного числа. Определение 7.7. Комплексное число ![]() Из определения следует, что ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16(cos0 + isin0). Найдем все значения ![]() ![]() Показательная форма комплексного числа. Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера: ![]() справедливость которой будет доказана в дальнейшем. Используя эту формулу, можно получить из (7.1) еще один вид комплексного числа: ![]() Определение 7.8. Запись вида (7.5) называется показательной формой записи комплексного числа. Представление (7.5) позволяет легко интерпретировать с геометрической точки зрения операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, используя известные свойства показательной функции. Лекция 2. Многочлены и их корни. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители в поле комплексных чисел. Простые и кратные корни многочлена. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Рациональные функции. Деление многочленов, выделение целой части рациональной функции. Правильные рациональные функции, их разложение на простейшие Рассмотрим в комплексной области многочлен, то есть функцию вида ![]() где ![]() ![]() Определение 8.1. Два многочлена Pn (z) и ![]() Определение 8.2. Число z0 называется корнем многочлена (8.1), если Pn (z0) = 0. Теорема 8.1 (теорема Безу). Остаток от деления многочлена Pn(z) на z – z0 ( z0 – не обязательно корень многочлена) равен P(z0). Доказательство. Разделив P(z) на z – z0 , получим: P(z) = Q(z)(z – z0) + r, где число r – остаток от деления, а Q(z) – многочлен степени, меньшей n. При подстановке в это равенство z = z0 найдем, что r = P(z0), что и требовалось доказать. Теорема 8.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен в комплексной области имеет корень (без доказательства). Разложение многочлена в комплексной области на линейные множители. Пусть Pn (z) – многочлен степени n, а z1 – его корень. Тогда по теореме Безу Pn (z) можно представить в виде: Pn (z) = (z – z1) Qn-1 (z), где Qn-1 – многочлен степени n – 1. Если при этом Qn-1 (z1) = 0, его вновь можно представить как ( z – z1 )Qn-2 (z), a Pn (z) = (z – z1)Qn-2 (z). Определение 8.3. Натуральное число k1 называется кратностью корня z1 многочлена Pn (z), если этот многочлен делится на ![]() ![]() Итак, если z1 – корень Pn кратности k1 , то ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Определим для Pn (z) многочлен ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() то есть всякий многочлен на множестве действительных чисел можно разложить на множители степени не выше второй. Рациональные дроби. Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то ![]() ![]() ![]() Лемма 1. Если ![]() ![]() ![]() где последнее слагаемое является правильной дробью. Доказательство. ![]() При этом последнее слагаемое является правильной дробью. Выберем число А так, чтобы z0 было корнем многочлена P(z) – AQ1(z), то есть ![]() ![]() Лемма доказана. Замечание. Если коэффициенты многочленов Р и Q и выбранный корень знаменателя – действительные числа, то и коэффициенты многочленов P1 и Q1 – тоже действительные числа. Теорема 8.3. Если ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство. Применив k1 раз лемму 1 к дроби ![]() ![]() где ![]() Лемма 2. Пусть Р(х) и Q(x) – многочлены с действительными коэффициентами, причем Q(x) = ( x² + px + q)m Q1(x), где p² - 4q < 0. Тогда существуют такие действительные числа В, С и многочлен с действительными коэффициентами Р1(х), что ![]() где последнее слагаемое тоже является правильной дробью. Доказательство. ![]() где последнее слагаемое является правильной дробью. Выберем В и С такими, чтобы число z0 =x0 +iy0 (корень многочлена z² + pz + q) было корнем многочлена P(х)-(Bх+C)Q1(х). Можно показать, что при этом ![]() ![]() Следовательно, В и С – действительные числа, а z0 и ![]() ![]() Используя эту лемму, можно доказать следующую теорему: Теорема 8.4. Если ![]() |