Лекция Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент комплексного числа.
 Скачать 0.84 Mb.
|
 , (11.1)называемую интегральной суммой функции f(x). Если f(x) > 0, такая сумма равна сумме площадей прямоугольников с основаниями Δxi и высотами f(ξi ). Определение 11.1. Если для любого разбиения отрезка [a, b] существует один и тот же конечный предел интегральных сумм при  и  : = I , (11.2)то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b ], а число I называется определенным интегралом f(x) на [a, b] и обозначается  Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.Кроме того, определение определенного интеграла дополняется следующими утверждениями: 1)  , 2)  Теорема 11.1 (необходимое условие интегрируемости). Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на нем. Доказательство. Пусть f (x) интегрируема на [a,b] и  . Зафиксируем какое-либо ε, например, ε = 1. По определению 11.1 существует такое δ > 0, что для любой интегральной суммы στ, соответствующей разбиению, для которого |τ| < δ, верно неравенство | στ – I | < 1, откуда I – 1 < στ < I + 1, то есть множество интегральных сумм функции f (x) ограничено.Если предположить при этом, что f (x) неограничена на [a,b], то она неограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения. Тогда произведение f (ξi)Δxi на этом отрезке может принимать сколь угодно большие значения, то есть интегральная сумма оказывается неограниченной, что противоречит условию интегрируемости f (x). Замечание. Условие ограниченности функции является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости. В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле f (x) = 1, если х рационально, и f (x) = 0, если х иррационально. Для нее на любом отрезке [a,b] и при любом разбиении на каждом отрезке Δxi найдутся как рациональные, так и иррациональные значения х. Выбрав в качестве ξi рациональные числа, для которых f (ξi )= 1, получим, что = b – a. Если же считать, что ξi – иррациональные числа, то = 0. Следовательно, предел интегральных сумм не существует, и функция Дирихле не интегрируема ни на каком отрезке.Свойства определенного интеграла. Сформулируем понятия верхней и нижней интегральных сумм. Пусть тi – наименьшее значение функции f (x) на отрезке Δxi , а Mi – ее наибольшее значение на этом отрезке. Определение 11.2. Сумма sn =  называется нижней интегральной суммой функции f (x) на [a,b], а Sn =  - верхней интегральной суммой.Свойства интегральных сумм. Так как на любом отрезке разбиения mi ≤ Mi , то si ≤ Si . 2. Если т – наименьшее значение f(x) на [a,b], а М – ее наибольшее значение на [a,b], то  .3. При добавлении к выбранному разбиению новых точек sn может только возрастать, а Sn – только уменьшаться. Доказательство. Пусть отрезок [xk-1 ,xk] разбит на р отрезков. Обозначим нижнюю и верхнюю интегральные суммы на этих отрезках как sp и Sp. Но для отрезка [xk-1 ,xk] наименьшим значением функции является тк, а наибольшим – Мк. Следовательно, по свойству 2 sp ≥ mk Δxk – соответствующему слагаемому общей интегральной суммы s , а Sk≤ Mk Δxk – слагаемому верхней интегральной суммы. Таким образом, каждое слагаемое s может только увеличиваться при добавлении новых точек, а каждое слагаемое S – только уменьшаться, что и доказывает сформулированное утверждение. Существуют  и  .Доказательство. Из свойств 2 и 3 следует, что s ограничена (  ) и монотонно возрастает. Следовательно, она имеет предел. Подобное же рассуждение справедливо для S.Если f (x) непрерывна на [a,b], то  .Доказательство. Назовем колебанием функции f (x) на отрезке Δхк разность ωk = Mk – mk. Тогда в силу непрерывности f (x)  при  . Следовательно,  то есть  , что и требовалось доказать.Замечание. Так как s и S можно считать частными случаями интегральных сумм функции f (x), то = Для любых двух разбиений данного отрезка τ1 и τ2  .Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть разбиение, включающее все точки разбиений τ1 и τ2 , и воспользоваться свойствами 1 и 3. Перечислим основные свойства определенного интеграла. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:  .Доказательство.   =  .Доказательство.   = ( + ) ==  .3.Если на отрезке [a,b] (a Доказательство.  , так как  Отсюда следует, что  .4. Если т и М – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b],  то  Доказательство. Так как  по свойству 3  . Но   следовательно, у А2 В2 Геометрическая интерпретация: 5 (Теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка ξ, что  Доказательство. Пусть  т и М – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на [a,b]. Тогда по свойству 4  Тогда   Так как f(x) непрерывна на [a,b], она принимает на нем все промежуточные значения между т и М, то есть существует  такое, что  Тогда  что и требовалось доказать.Для любых трех чисел a,b,c справедливо равенство  ,если все эти интегралы существуют. Доказательство. Пусть a < c < b. Составим интегральную сумму так, чтобы точка с была точкой деления. Тогда  . Переходя к пределу при  получим доказательство свойства 6.Если a < b < c, то по только что доказанному  , или  . Но  , поэтому . Аналогично доказывается это свойство и при любом другом расположении точек a, b и с.Лекция 6. Интегрируемость непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных ограниченных функций. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница Теорема 12.1. Функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на нем. Доказательство. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она, во-первых, ограничена на нем, а во-вторых, равномерно непрерывна, то есть   такое, что    Тогда для разбиения, в котором  колебание  , следовательно,  , и по свойству 5 верхних и нижних интегральных сумм получим, что существует  Теорема 12.2. Функция, монотонная на отрезке, интегрируема на нем. Доказательство. Пусть f(x) возрастает на [a,b]. Тогда   , то есть f(x) ограничена на [a,b]. Кроме того, для любого интервала [xi-1, xi]  Следовательно,  . Поэтому  , следовательно, f(x) интегрируема на [a,b].Замечание. В теореме 12.2 не требовалась непрерывность функции. Монотонная функция может быть и разрывной, при этом она является интегрируемой по теореме 12.2. Теорема 12.3. Если f(x) – непрерывная функция и  то  (Производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела). Доказательство. Пусть Δх – приращение аргумента х. Тогда по свойству 6 определенного интеграла   По теореме о среднем (свойство 5)  где  . Поэтому  Следовательно,  Но при   и вследствие непрерывности функции f(x)  Таким образом, Теорема доказана.Замечание. Из теоремы 12.3 следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную, так как по теореме 12.1 она интегрируема, а по теореме 12.3 ее первообразной является  Теорема 12.4. Если F(x) является первообразной непрерывной функции f(x), то справедлива формула  , (12.1)называемая формулой Ньютона – Лейбница. Доказательство. По теореме 12.3  - первообразная функции f(x), поэтому F(x) и отличаются на постоянное слагаемое С. Следовательно, = F(x) + C. (12.2)Пусть х=а, тогда из (12.2) получим  = F(a) + C, то есть F(a) + C = 0, откуда C = - F(a). Тогда = F(x) – F(a). Принимая в этом равенстве x=b, получим формулу Ньютона – Лейбница: .Замечание. Обычно вводится обозначение  , и формула (12.1) записывается так: алгебраический эйлер многочлен  .Примеры. 1.  2.  |