Лекция Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент комплексного числа.
![]()
|
![]() называемую интегральной суммой функции f(x). Если f(x) > 0, такая сумма равна сумме площадей прямоугольников с основаниями Δxi и высотами f(ξi ). Определение 11.1. Если для любого разбиения отрезка [a, b] существует один и тот же конечный предел интегральных сумм при ![]() ![]() ![]() ![]() то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b ], а число I называется определенным интегралом f(x) на [a, b] и обозначается ![]() Кроме того, определение определенного интеграла дополняется следующими утверждениями: 1) ![]() ![]() Теорема 11.1 (необходимое условие интегрируемости). Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на нем. Доказательство. Пусть f (x) интегрируема на [a,b] и ![]() Если предположить при этом, что f (x) неограничена на [a,b], то она неограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения. Тогда произведение f (ξi)Δxi на этом отрезке может принимать сколь угодно большие значения, то есть интегральная сумма оказывается неограниченной, что противоречит условию интегрируемости f (x). Замечание. Условие ограниченности функции является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости. В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле f (x) = 1, если х рационально, и f (x) = 0, если х иррационально. Для нее на любом отрезке [a,b] и при любом разбиении на каждом отрезке Δxi найдутся как рациональные, так и иррациональные значения х. Выбрав в качестве ξi рациональные числа, для которых f (ξi )= 1, получим, что ![]() ![]() Свойства определенного интеграла. Сформулируем понятия верхней и нижней интегральных сумм. Пусть тi – наименьшее значение функции f (x) на отрезке Δxi , а Mi – ее наибольшее значение на этом отрезке. Определение 11.2. Сумма sn = ![]() ![]() Свойства интегральных сумм. Так как на любом отрезке разбиения mi ≤ Mi , то si ≤ Si . 2. Если т – наименьшее значение f(x) на [a,b], а М – ее наибольшее значение на [a,b], то ![]() 3. При добавлении к выбранному разбиению новых точек sn может только возрастать, а Sn – только уменьшаться. Доказательство. Пусть отрезок [xk-1 ,xk] разбит на р отрезков. Обозначим нижнюю и верхнюю интегральные суммы на этих отрезках как sp и Sp. Но для отрезка [xk-1 ,xk] наименьшим значением функции является тк, а наибольшим – Мк. Следовательно, по свойству 2 sp ≥ mk Δxk – соответствующему слагаемому общей интегральной суммы s , а Sk≤ Mk Δxk – слагаемому верхней интегральной суммы. Таким образом, каждое слагаемое s может только увеличиваться при добавлении новых точек, а каждое слагаемое S – только уменьшаться, что и доказывает сформулированное утверждение. Существуют ![]() ![]() Доказательство. Из свойств 2 и 3 следует, что s ограничена ( ![]() Если f (x) непрерывна на [a,b], то ![]() Доказательство. Назовем колебанием функции f (x) на отрезке Δхк разность ωk = Mk – mk. Тогда в силу непрерывности f (x) ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание. Так как s и S можно считать частными случаями интегральных сумм функции f (x), то ![]() ![]() Для любых двух разбиений данного отрезка τ1 и τ2 ![]() Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть разбиение, включающее все точки разбиений τ1 и τ2 , и воспользоваться свойствами 1 и 3. Перечислим основные свойства определенного интеграла. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ![]() Доказательство. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() 3.Если на отрезке [a,b] (a . Доказательство. ![]() ![]() ![]() 4. Если т и М – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b], ![]() ![]() Доказательство. Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5 (Теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка ξ, что ![]() Доказательство. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для любых трех чисел a,b,c справедливо равенство ![]() если все эти интегралы существуют. Доказательство. Пусть a < c < b. Составим интегральную сумму так, чтобы точка с была точкой деления. Тогда ![]() ![]() Если a < b < c, то по только что доказанному ![]() ![]() ![]() ![]() Лекция 6. Интегрируемость непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных ограниченных функций. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница Теорема 12.1. Функция, непрерывная на отрезке, интегрируема на нем. Доказательство. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она, во-первых, ограничена на нем, а во-вторых, равномерно непрерывна, то есть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 12.2. Функция, монотонная на отрезке, интегрируема на нем. Доказательство. Пусть f(x) возрастает на [a,b]. Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поэтому ![]() Замечание. В теореме 12.2 не требовалась непрерывность функции. Монотонная функция может быть и разрывной, при этом она является интегрируемой по теореме 12.2. Теорема 12.3. Если f(x) – непрерывная функция и ![]() ![]() (Производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела). Доказательство. Пусть Δх – приращение аргумента х. Тогда по свойству 6 определенного интеграла ![]() ![]() По теореме о среднем (свойство 5) ![]() ![]() Поэтому ![]() Следовательно, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание. Из теоремы 12.3 следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную, так как по теореме 12.1 она интегрируема, а по теореме 12.3 ее первообразной является ![]() Теорема 12.4. Если F(x) является первообразной непрерывной функции f(x), то справедлива формула ![]() называемая формулой Ньютона – Лейбница. Доказательство. По теореме 12.3 ![]() ![]() ![]() Пусть х=а, тогда из (12.2) получим ![]() C = - F(a). Тогда ![]() ![]() Замечание. Обычно вводится обозначение ![]() алгебраический эйлер многочлен ![]() Примеры. 1. ![]() 2. ![]() |