Лекция Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент комплексного числа.
 Скачать 0.84 Mb.
|
 где  то существуют такие действительные числа   что . (8.8)Примеры. 1.  . Полученная дробь должна совпадать с исходной при любых х, следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях обеих дробей должны быть равными. Отсюда  , то есть А = 1, В = -1. Следовательно, исходную дробь, знаменатель которой имеет только действительные корни (причем простые, то есть кратности 1) можно представить в виде:  .2.  Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях, получаем:  , откуда А = 1, В = -3, С = 3, D = 5. Таким образом, данную дробь, знаменатель которой имеет действительный корень х = 0 кратности 2 и комплексно сопряженные корни  преобразуем в сумму дробей: .Лекция 3. Интегрирование простейших и произвольных правильных дробей. Интегрирование произвольных рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей В пошлой лекции было показано, что любую правильную рациональную дробь можно представить в виде линейной комбинации дробей вида: 1)  , 2)  , 3)  , 4)   . (9.1)Эти дроби называются простейшими (или элементарными) дробями. Выясним, каким образом они интегрируются. 1)  2)  (9.2)3)  (9.3)Сделаем замену  и обозначим  . Тогда требуется вычислить интеграл   (9.4)4) При интегрировании простейших дробей последнего типа воспользуемся той же заменой, что и в предыдущем случае, и представим подынтегральное выражение в виде:  где  Рассмотрим отдельно способ интегрирования In .    . (9.5)Таким образом, получена рекуррентная формула, позволяющая в конечном счете свести вычисление этого интеграла к  Итак, интеграл от любой простейшей дроби находится в явном виде и является элементарной функцией. Теорема 9.1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы. Доказательство. Представим рациональную дробь  в виде:  (см. лекцию 8). При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 8.4 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S(x) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней. Пример.    Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. Из ранее доказанного следует, что любую рациональную дробь можно проинтегрировать, поэтому в дальнейшем будем считать задачу интегрирования функции выполненной, если удается представить эту функцию в виде рациональной дроби. В частности, для интегралов вида  , где R – рациональная функция (многочлен или рациональная дробь), r1 ,…,rn – дроби с одним и тем же знаменателем m  , а  , замена  приводит к  . Таким образом, х является рациональной функцией t, следовательно, его производная тоже будет рациональной функцией. Кроме того,  - тоже рациональные функции от t (так как pi – целое число). Поэтому после замены подынтегральное выражение примет вид R1 (t)dt , где R1 – рациональная функция, интегрируемая описанными выше способами.Замечание. С помощью подобных замен можно интегрировать функции вида  , и, в частности,  Примеры. 1.  Сделаем замену  , тогда  , а  . Следовательно,   2.  . Так как  , а  , выберем в качестве новой переменной  . Тогда  . Поэтому  Лекция 4. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегрируемость в элементарных функциях Рассмотрим интегрирование некоторых тригонометрических выражений. Интегралы вида  вычисляются с применением формул  (10.1) Пример.  Интегралы вида  , где т и п – целые числа, интегрируются с помощью замен: а) если хотя бы одно из чисел т,п – нечетное (например, т), можно сделать замену t = sin x (или t = cos x при нечетном п). Пример 1.   Пример 2.    б) если т и п – четные положительные числа, можно понизить степени тригонометрических функций с помощью формул  . Пример.      в) если т и п – четные и хотя бы одно из них отрицательно, можно применить замену t = tg x или t = ctg x. Пример.    Интегралы вида  где R – рациональная функция, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки:  , тогда  , (10.2) то есть все составляющие подынтегрального выражения представляют собой рациональные функции от t. Пример.  Если подынтегральная функция имеет вид R (sin²x, cos²x), можно выбрать замену t = tg x. При этом  , (10.3) и степень полученной рациональной функции будет ниже, чем при универсальной тригонометрической подстановке, что облегчает дальнейшее интегрирование. Пример.   Интегрирование квадратичных иррациональностей. При вычислении интегралов  свести подынтегральную функцию к рациональной помогают замены:а)  при этом  dx = acos t dt,  .б)  tg t, тогда  ,  в)  соответственно   Пример 1. Вычислим интеграл  Пусть  тогда   Заметим, что   . Поэтому ответ можно представить в виде:  Пример 2. Для вычисления интеграла  выберем замену x = 3tg t. При этом  , где u = sin t . Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, получим:   Учитываем, что  ).Пример 3. Вычислим интеграл  с помощью замены  . Тогда Интегрируемость в элементарных функциях. В предыдущих лекциях рассмотрены методы интегрирования некоторых элементарных функций. Однако далеко не все элементарные функции интегрируемы, то есть имеют первообразные, также являющиеся элементарными функциями. В качестве примеров можно привести функции  и другие. Этим операция интегрирования отличается от дифференцирования, при котором производная любой элементарной функции является тоже элементарной функцией. Для отыскания интегралов от функций, не имеющих элементарной первообразной, вводятся и используются новые классы функций, не являющихся элементарными.Лекция 5. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Теорема о среднем для определенного интеграла Для решения многих задач из различных областей науки и техники требуется применение определенного интеграла. К ним относятся вычисление площадей, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. Определим это понятие. Рассмотрим отрезок [a, b] оси Ох и определим понятие разбиения этого отрезка как множества точек xi : a=x1 < x2 <…< xn-1 < xn=b. При этом точки xi называются точками разбиения, отрезки [xi-1, xi] – отрезками разбиения (их длины обозначаются Δxi), а число | τ | = max ( Δx1, Δx2,…, Δxn ) называется мелкостью разбиения. Пусть на [a,b] задана функция y = f(x). Выберем на каждом отрезке разбиения по точке ξi и составим сумму вида |