Лекция Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплексное сопряжение. Модуль и аргумент комплексного числа.
![]()
|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Примеры. 1. ![]() Полученная дробь должна совпадать с исходной при любых х, следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях обеих дробей должны быть равными. Отсюда ![]() ![]() 2. ![]() Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях, получаем: ![]() ![]() ![]() Лекция 3. Интегрирование простейших и произвольных правильных дробей. Интегрирование произвольных рациональных функций. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей В пошлой лекции было показано, что любую правильную рациональную дробь можно представить в виде линейной комбинации дробей вида: 1) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Эти дроби называются простейшими (или элементарными) дробями. Выясним, каким образом они интегрируются. 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() Сделаем замену ![]() ![]() ![]() ![]() 4) При интегрировании простейших дробей последнего типа воспользуемся той же заменой, что и в предыдущем случае, и представим подынтегральное выражение в виде: ![]() где ![]() Рассмотрим отдельно способ интегрирования In . ![]() ![]() ![]() Таким образом, получена рекуррентная формула, позволяющая в конечном счете свести вычисление этого интеграла к ![]() Итак, интеграл от любой простейшей дроби находится в явном виде и является элементарной функцией. Теорема 9.1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы. Доказательство. Представим рациональную дробь ![]() ![]() Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней. Пример. ![]() ![]() ![]() Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. Из ранее доказанного следует, что любую рациональную дробь можно проинтегрировать, поэтому в дальнейшем будем считать задачу интегрирования функции выполненной, если удается представить эту функцию в виде рациональной дроби. В частности, для интегралов вида ![]() где R – рациональная функция (многочлен или рациональная дробь), r1 ,…,rn – дроби с одним и тем же знаменателем m ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание. С помощью подобных замен можно интегрировать функции вида ![]() ![]() Примеры. 1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Лекция 4. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегрируемость в элементарных функциях Рассмотрим интегрирование некоторых тригонометрических выражений. Интегралы вида ![]() ![]() Пример. ![]() Интегралы вида ![]() Пример 1. ![]() ![]() Пример 2. ![]() ![]() ![]() б) если т и п – четные положительные числа, можно понизить степени тригонометрических функций с помощью формул ![]() Пример. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() в) если т и п – четные и хотя бы одно из них отрицательно, можно применить замену t = tg x или t = ctg x. Пример. ![]() ![]() ![]() Интегралы вида ![]() где R – рациональная функция, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: ![]() тогда ![]() то есть все составляющие подынтегрального выражения представляют собой рациональные функции от t. Пример. ![]() ![]() Пример. ![]() ![]() Интегрирование квадратичных иррациональностей. При вычислении интегралов ![]() а) ![]() ![]() ![]() б) ![]() ![]() ![]() в) ![]() ![]() ![]() Пример 1. Вычислим интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что ![]() ![]() Поэтому ответ можно представить в виде: ![]() Пример 2. Для вычисления интеграла ![]() ![]() где u = sin t . Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, получим: ![]() ![]() Учитываем, что ![]() Пример 3. Вычислим интеграл ![]() ![]() ![]() Интегрируемость в элементарных функциях. В предыдущих лекциях рассмотрены методы интегрирования некоторых элементарных функций. Однако далеко не все элементарные функции интегрируемы, то есть имеют первообразные, также являющиеся элементарными функциями. В качестве примеров можно привести функции ![]() Лекция 5. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Теорема о среднем для определенного интеграла Для решения многих задач из различных областей науки и техники требуется применение определенного интеграла. К ним относятся вычисление площадей, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. Определим это понятие. Рассмотрим отрезок [a, b] оси Ох и определим понятие разбиения этого отрезка как множества точек xi : a=x1 < x2 <…< xn-1 < xn=b. При этом точки xi называются точками разбиения, отрезки [xi-1, xi] – отрезками разбиения (их длины обозначаются Δxi), а число | τ | = max ( Δx1, Δx2,…, Δxn ) называется мелкостью разбиения. Пусть на [a,b] задана функция y = f(x). Выберем на каждом отрезке разбиения по точке ξi и составим сумму вида |