Тема Аффинные пространства
![]()
|
Тема 2. Аффинные пространства Аффинные пространства. Изоморфизм аффинных пространств одной и той же размерности. Аффинные координаты. Формулы преобразования аффинных координат точек. Аффинное пространство Аффинный репер Определение 2.1. Репером в геометрическим пространстве называется набор ![]() ![]() ![]() ![]() Определение 2.2. Радиусом точки ![]() ![]() ![]() Определение 2.3. Координатами точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, ![]() Аффинное пространство Определение 2.4. Аффинным пространством называется тройка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение 2.5. Размерностью ![]() ![]() ![]() Из определения аффинного пространства выведем два соотношения: ![]() ![]() Пример 2.1. Найдите координаты точек ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Координаты точек ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Изоморфизм аффинных пространств одной и той же размерности. Определение 2.6. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() Из условия (2.2) следует, что если ![]() то ![]() При выполнении условия (2.3) отображение ![]() ![]() Пространства ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2.1. Любые два аффинные пространства одной размерности ![]() ![]() Доказательство. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аффинные координаты. Определение 2.7. Совокупность, состоящая из точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() Определение 2.8. Числа ![]() ![]() ![]() Эти координаты являются ничем иным, как координатами радиус-вектора ![]() ![]() ![]() Пример 2.2. В некоторой аффинной системе координат известны координаты вершин треугольной пирамиды ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1) точки ![]() ![]() 2) точки ![]() ![]() ![]() Решение. 1) Найдем координаты точки ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, точка ![]() 2) Найдем координаты точки ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, точка ![]() Пример 2.3. Векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Координаты вектора ![]() ![]() ![]() Учитывая, что векторы складывают и умножаются на число покоординатно, уравнение 2.4 примет вид системы линейных уравнений: ![]() Решим систему методом Гаусса: ![]() ![]() Таким образом, получаем: ![]() ![]() ![]() ![]() Формулы преобразования аффинных координат точек. Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат: ![]() ![]() ![]() Преобразование координат состоит в следующем: выразить старые координаты ![]() ![]() Зададим систему: ![]() ![]() По правилу треугольника получим: ![]() или ![]() Используем (2.5): ![]() Определение 2.9. Формулы (2.6) называются формулами преобразования координат. Заметим, что матрица ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() поэтому система (2.6) разрешима относительно ![]() Интересны два частных случая: Перенос начала. ![]() Замена координатных векторов. ![]() Пример2.4.Написать формулы преобразования координат в аффинной системе, если ![]() Решение. Имеем ![]() Пример 2. Показать, что формулы ![]() можно рассматривать как формулы преобразования координат точек аффинного пространства ![]() ![]() ![]() Решение. Найдем определитель матрицы, составленной из коэффициентов при ![]() ![]() Так как найденный определитель отличен от нуля, данные в условии формулы можно рассматривать как формулы преобразования координат точек аффинного пространства ![]() Для того чтобы найти новые координаты точки ![]() ![]() Решая полученную систему, находим ![]() Следовательно, ![]() ![]() Если старые и новые координаты точки совпадают, то они являются решениями следующей системы уравнений: ![]() Перенесем слагаемые в каждом равенстве в одну часть, получим: ![]() откуда находим ![]() Таким образом, ![]() Вопросы для самоконтроля Дайте определение аффинного репера. Аффинные пространства. Как определить размерность аффинного пространства? Изоморфизм аффинных пространств одной и той же размерности. Аффинные координаты. Формулы преобразования аффинных координат точек. Задачи для самостоятельного решения Даны вершины треугольника ![]() Даны две точки: ![]() ![]() ![]() Найдите координаты точек ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Написать формулы преобразования координат, если начало координат перенесено в точку ![]() Отрезок с концами ![]() Векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Даны две аффинные системы координат: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Координаты точки ![]() ![]() Выведите формулы замены базиса и замены системы координат на прямой линии. Как меняются координаты точек прямой, если при неизменном начале координат длина базисного вектора увеличивается вдвое? Определить аффинное преобразование, которое три данные точки ![]() ![]() Тест 1. Тройка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а) линейным пространством; б) векторным пространством; в) евклидовым пространством; +г) аффинным пространством. Аффинные координаты точки ![]() ![]() +а) ![]() б) ![]() в) ![]() г) ![]() 3. Укажите формулы преобразования координат: а) ![]() +б) ![]() в) ![]() г) ![]() 4. Совокупность, состоящая из точки ![]() ![]() а) изоморфизмом; б) аффинным пространством; в)координатной системой; г) координатами точки в базисе. 5. Любые два аффинные пространства одной размерности +а) изоморфны; б)коллинеарны; в)пересекаются; г)коммутитивны. 6. Координаты точки ![]() ![]() ![]() +а) ![]() б) ![]() в) ![]() г) ![]() |