Тема Аффинные пространства

• Название: Тема Аффинные пространства
• Дата: 05.04.2023
• Размер: 367.41 Kb.
• Имя файла: 2.docx
• Тип: Документы; #1040532

Тема 2. Аффинные пространства

1. 
   Аффинные пространства.
   
2. 
   Изоморфизм аффинных пространств одной и той же размерности.
   
3. 
   Аффинные координаты.
   
4. 
   Формулы преобразования аффинных координат точек.
   

1. 
   Аффинное пространство
   

1. 
   Аффинный репер
   

Определение 2.1. Репером в геометрическим пространстве называется набор состоящий из точки и базиса векторного пространства свободных векторов геометрического пространства.

Определение 2.2. Радиусом точки относительно репера называется вектор 

Определение 2.3. Координатами точки относительно репера называются координаты ее радиуса относительно базиса векторного пространства

Таким образом,

(2.1)

2. 
   Аффинное пространство
   

Определение 2.4. Аффинным пространством называется тройка состоящая из некоторого множества элементами которого являются точки, векторного пространства и отображения относящего упорядоченной паре точек множества некоторый вектор из обозначаемый такого, что выполняются следующие аксиомы:

1. 
   и что
   
2. 
   (равенство треугольника).
   

Определение 2.5. Размерностью аффинного пространства называется размерность ассоциированного векторного пространства

Из определения аффинного пространства выведем два соотношения:

1. 
   
   
2. 
   
   

Пример 2.1. Найдите координаты точек относительно аффинного репера если и в базисе и

Решение. Координаты точек в репере совпадают с координатами их радиус-векторов в базисе В соответствии с аксиомами аффинного пространства Координаты вектора в базисе совпадают с координатами точки в репере координаты векторов известны. Следовательно, точка например, имеет координаты Аналогично можно найти координаты остальных точек:

2. 
   Изоморфизм аффинных пространств одной и той же размерности.
   

Определение 2.6. Пусть и – два аффинных пространства. Изоморфизмом пространства на называется такое биективное отображение если индуцирует изоморфизм ассоциированных векторных пространств, то есть если существует изоморфизм такой, что

(2.2)

Если – изоморфизм аффинных пространств, то изоморфизм векторных пространств определяемых соотношением (2.2), называется изоморфизмом, ассоциированным с изоморфизмом

Из условия (2.2) следует, что если



то

(2.3)

При выполнении условия (2.3) отображение индуцирует некоторое отображение

Пространства и называются изоморфными, если существует хотя бы один изоморфизм пространства на пространство То есть отношение изоморфности аффинных пространств является отношением эквивалентности.

Теорема 2.1. Любые два аффинные пространства одной размерности и изоморфны.

Доказательство. Пусть – произвольный репер в а – произвольный репер в тогда отображение относящее точке имеющей координаты относительно репера является изоморфизмом

3. 
   Аффинные координаты.
   

Определение 2.7. Совокупность, состоящая из точки и базиса называется координатной системой в Обозначается символом Точка называется началом отсчета (координат).

Пусть – точка аффинного пространства и пусть



Определение 2.8. Числа называются аффинными координатами точки в аффинной координатной системе

Эти координаты являются ничем иным, как координатами радиус-вектора в базисе

(2.4)

Пример 2.2. В некоторой аффинной системе координат известны координаты вершин треугольной пирамиды Найти координаты (в той же системе координат):

1) точки   пересечения медиан треугольника 

2) точки  которая делит отрезок   в отношении   .

Решение. 1) Найдем координаты точки



Следовательно, точка

2) Найдем координаты точки



Следовательно, точка

Пример 2.3. Векторы заданы своими координатами в некотором базисе трёхмерного пространства. Векторы также образуют базис пространства. Найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Координаты вектора в базисе – это коэффициенты разложения по базису (2.4). Имеем



Учитывая, что векторы складывают и умножаются на число покоординатно, уравнение 2.4 примет вид системы линейных уравнений:



Решим систему методом Гаусса:





Таким образом, получаем: и вектор имеет координаты в базисе

4. 
   Формулы преобразования аффинных координат точек.
   

Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат: и пусть даны точки и

Преобразование координат состоит в следующем: выразить старые координаты точки через новые 

Зададим систему:

(2.5)

По правилу треугольника получим: 



или 



Используем (2.5):

(2.6)

Определение 2.9. Формулы (2.6) называются формулами преобразования координат.

Заметим, что матрица  перехода от базиса  к базису  в точности совпадает с матрицей из коэффициентов при в формулах (2.6). Определитель этой матрицы



поэтому система (2.6) разрешима относительно

Интересны два частных случая:

1. 
   Перенос начала.
   

2. 
   Замена координатных векторов.
   

Пример2.4.Написать формулы преобразования координат в аффинной системе, если



Решение. Имеем



Пример 2. Показать, что формулы



можно рассматривать как формулы преобразования координат точек аффинного пространства при переходе от одного репера к другому. Указать новые координаты точки Найти точку соответствующие координаты которой в новом и старом реперах совпадают.

Решение. Найдем определитель матрицы, составленной из коэффициентов при Раскрывая определитель по первому столбцу, находим:



Так как найденный определитель отличен от нуля, данные в условии формулы можно рассматривать как формулы преобразования координат точек аффинного пространства при переходе от одного репера к другому.

Для того чтобы найти новые координаты точки подставим ее старые координаты в исходные формулы:



Решая полученную систему, находим



Следовательно, – новые координаты точки

Если старые и новые координаты точки совпадают, то они являются решениями следующей системы уравнений:



Перенесем слагаемые в каждом равенстве в одну часть, получим:



откуда находим

Таким образом, – искомая точка.

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Дайте определение аффинного репера.
   
2. 
   Аффинные пространства.
   
3. 
   Как определить размерность аффинного пространства?
   
4. 
   Изоморфизм аффинных пространств одной и той же размерности.
   
5. 
   Аффинные координаты.
   
6. 
   Формулы преобразования аффинных координат точек.
   

Задачи для самостоятельного решения

1. 
   Даны вершины треугольника Определить середины его сторон.
   
2. 
   Даны две точки: Найти координаты точки симметричные точке А относительно точки В и координаты точки симметричные точки В относительно точки А.
   
3. 
   Найдите координаты точек относительно аффинного репера если и в базисе и
   
4. 
   Написать формулы преобразования координат, если начало координат перенесено в точку
   
5. 
   Отрезок с концами разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.
   
6. 
   Векторы заданы своими координатами в некотором базисе трёхмерного пространства. Векторы также образуют базис пространства. Найти координаты вектора в этом базисе.
   
7. 
   Векторы заданы своими координатами в некотором базисе трёхмерного пространства. Векторы также образуют базис пространства. Найти координаты вектора в этом базисе.
   
8. 
   Даны две аффинные системы координат: (старая система координат) и (новая система координат). Матрица перехода от базиса к базису имеет вид:
   

Координаты точки относительно старой аффинной системы координат равны Найти формулы преобразования координат.

9. 
   Выведите формулы замены базиса и замены системы координат на прямой линии. Как меняются координаты точек прямой, если при неизменном начале координат длина базисного вектора увеличивается вдвое?
   
10. 
    Определить аффинное преобразование, которое три данные точки переводит в точки
    

Тест

1. Тройка состоящая из некоторого множества элементами которого являются точки, векторного пространства и отображения относящего упорядоченной паре точек множества некоторый вектор из обозначаемый называется:

а) линейным пространством;

б) векторным пространством;

в) евклидовым пространством;

+г) аффинным пространством.

2. 
   Аффинные координаты точки в аффинной координатной системе имеют вид:
   

+а)

б)

в)

г)

3. Укажите формулы преобразования координат:

а)

+б)

в)

г)

4. Совокупность, состоящая из точки и базиса называется

а) изоморфизмом;

б) аффинным пространством;

в)координатной системой;

г) координатами точки в базисе.

5. Любые два аффинные пространства одной размерности

+а) изоморфны;

б)коллинеарны;

в)пересекаются;

г)коммутитивны.

6. Координаты точки делящий отрезок в отношении находятся по формулам:

+а)

б)

в)

г)