Алгебраические структуры. 3.1. Конспект лекции. Тема Алгебраические структуры План Полугруппы и группы

Название	Тема Алгебраические структуры План Полугруппы и группы
Анкор	Алгебраические структуры
Дата	11.12.2022
Размер	203.46 Kb.
Формат файла
Имя файла	3.1. Конспект лекции .pptx
Тип	Литература #838624

Тема 3. Алгебраические структуры

План

1. Полугруппы и группы

2. Кольца, поля, векторные пространства

Литература

1. Вечтомов, Е. М. Математика: основные математические структуры : учебное пособие для вузов / Е. М. Вечтомов. — 2-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 296 с. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/454363
2. Дорофеева, А. В. Высшая математика для гуманитарных направлений. Сборник задач : учебно-практическое пособие / А. В. Дорофеева. — 2-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 177 с. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/425571

1. Полугруппы и группы

Определение 1. Алгебраическая структура – это совокупность некоторого множества и операций, определенных на этом множестве

Основные алгебраические структуры

группы

кольца

поля

Определение 2. Внутренней операцией  множества X называется функция

: Хn  X, где натуральное число n называется арностью операции.

Т.е. результат выполнения внутренней операции принадлежит этому же множеству Х.

Также говорят, что операция  замкнута.

Пример 1

N = {1, 2, 3, …}

1. Рассмотрим операцию «сложение», тогда для любых x, y  N верно:

х + у  N – операция «+» является внутренней (сумма натуральных чисел есть число натуральное), или, замкнутой

2. Рассмотрим операцию «деление», тогда не для любых x, y  N верно:

х / у  N – операция «/» не является внутренней (результат деления натурального числа на натуральное не всегда есть число натуральное)

т.е. : Х2  X.

Определение 4. Внутренняя операция  арности 1 называется унарной, т.е. : Х X.

Бинарную операцию  обозначают некоторым символом, например, «+», «–» , «*» и др.

Далее вместо  (х, у) будем писать х*у или просто ху.

1) ассоциативной, если х * (у * z) = (х * у) * z,  х, у, z  X;

2) коммутативной, если х * у = у * х,  х, у  X;

3) замкнутой, если ху X,  х, у  X (т.е. результат выполнения внутренней операции принадлежит этому же множеству Х).

Пример 2

1. Рассмотрим N - множество натуральных чисел

N = {1, 2, 3, …}

Рассмотрим операцию «сложение», которая является замкнутой (N, +) - группоид

2. Рассмотрим N - множество натуральных чисел и операцию «деление», которая не является замкнутой

(N , /) – не является группоидом

Определение 7. Подмножество G' группоида (G; ) называется подгруппоидом, если оно замкнуто относительно операции , т.е. если g, g'  G',

то и gg'  G'.

Пример 3

Рассмотрим Z - множество целых чисел

Z = {0,  1,  2,  3, …} и операцию «сложение»

Операция «сложение» является замкнутой, т.к. сумма целых чисел есть целое число  (Z, +) – группоид

Рассмотрим подмножество (N, +), N  Z

Из примеров выше  (N, +) группоид

 подмножество (N, +) - подгруппоид (Z, +)

Определение 8. Таблицей Кэли операции группоида (G; *) называют квадратную таблицу, у которой строки и столбцы «занумерованы» элементами g1, ..., gn, и на пересечении строки gi и столбца gj записан результат операции

gigj , i, j {1, 2, ..., n}.

Названа в честь английского математика XIX века Артура Кэли

Определение 9. Говорят, что элементы g и g' группоида G коммутируют (или перестановочны), если gg' = g'g.

Пример 4. Таблица Кэли группоида G = {a, b, с, d}

Определение 11. Элемент e  G называется нейтральным или единичным относительно операции *, если ge = eg = g для любого элемента g  G.

В группоиде имеется не более одного единичного элемента е. Действительно, если е' – другая единица группоида, то по определению

е' = е'е = е.

Определение 12. Полугруппу с единичным элементом называют моноидом (или полугруппой с единицей).

Проверим, является ли группоид G коммутативным, т.е. является ли матрица Кэли симметрической.

Имеем: ab=ba, ac=ca, ad=da,… Исключение составляет неравенство

cd  dc. Следовательно, G – некоммутативный группоид.

Обратим внимание, что для всех элементов подгруппоида G'={a, b, с} операция * коммутативна. Следовательно, G' – коммутативный подгруппоид.

Также сделаем вывод, что элементы b и с коммутируют, элемент а нейтральный.

По определению: операция * ассоциативна, если

х * (у * z) = (х * у) * z,  х, у, z  G.

Пример 6

Группоид (N, +) являетсяполугруппой, т.к. операция «сложение» ассоциативна:

х + (у + z) = (х + у) + z, х, у, z  G

Если полугруппа G имеет нуль, то он единственный.

Пример 7

Рассмотрим множество действительных чисел R и операцию «умножение» («»).

x, y  R  x  y  R  операция «» замкнута на R

 (R, ) - группоид

x, y, z  R  (x  y)  z = x  (y  z), т.е. операция «» ассоциативна  (R, ) - полугруппа

1  x = x  1 = x, x  R  (R, ) – моноид, или, полугруппа с нейтральным (единичным) элементом 1

0  x = x  0 = 0, x  R  (R, )  моноид (R, ) имеет нулевой элемент – число 0

Определение 16. Полугруппа G, содержащая единственный идемпотент, называется унипотентной.

Пример 7 (продолжение)

Рассмотрим множество действительных чисел R и операцию «умножение» («») из предыдущего примера

1  R, 1  1 = 1,

0  R, 0  0 = 0

i1=1, i2 = 0 – идемпотенты полугруппы (R, )
Поскольку количество идемпотентов больше одного, то полугруппа (R, ) не является унипотентной

g'  G, для которого gg' = g'g = е.

При этом элементы g и g' называются взаимно обратными.

Пример 8

Рассмотрим Z - множество целых чисел Z = {0, 1,  2,  3, …}

Рассмотрим операцию «сложение» («+»)

х + у  N0 , x, y  Z  операция «+» замкнута

 (Z , +) - группоид

х + (у + z) = (х + у) + z, x, y, z  Z  операция «+» ассоциативна

Группоид (Z , +) – полугруппа

x + 0 = 0 + x = x, x  Z  e=0 – нейтральный (единичный) элемент в полугруппе (Z, +)  (Z, +) – моноид с единичным элементом e=0

Пример 8

Пусть g=2, найдем обратный ему элемент g’:

2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 = e  g=2 и g’=-2 – взаимно-обратные элементы

Пусть g=10, найдем обратный ему элемент g’:

10 + (-10) = (-10) + 10 = 0 = e  g=10 и g’=-10 – взаимно-обратные элементы

Пусть g=0, найдем обратный ему элемент g’:

0 + 0 = 0 + 0 = 0 =e  g=0 и g’= 0 – взаимно-обратные элементы

И т.д.

g' = g'e = g'(gg") = (g'g)g" = eg" = g".

Если элементы g и h моноида обратимы, то обратим и gh,

где (gh)-1 =h-1g-1.

замкнутость,
ассоциативность,
существование нейтрального элемента,
существование инверсии.

Группу можно рассматривать как унипотентную полугруппу. Если в группе ii = i, то умножив обе части на i-1, получаем i = е.

Название дано в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802-1829), за его вклад в исследование групп преобразований.

Если G – группа, то IG =G.

Пример 8 (продолжение)

(R, +) – группа, поскольку множество R с операцией «сложение» обладает свойствами:

замкнутость,
ассоциативность,
существование нейтрального элемента,
существование инверсии.

x + y = y + x, x, y  R  операция «сложение» коммутативна  (R, +) - коммутативная, или, абелева группа

Т.к. для всех элементов R найдется обратный, то множество всех обратимых элементов IR = R

Обозначается |G| или ordG.

Замечание.

В зависимости от полугрупповой (групповой) операции, сложения или умножения, полугруппу (группу) называют аддитивной или мультипликативной.

Аддитивная группа коммутативна.

Замечания

В силу ассоциативности операции полугруппы (группы) G

g1, ..., gt  G произведение g1...gt при t  1 не зависит от расстановки скобок,

если g1 = ... = gt = g, то g1 ...gt = gt

 gtgr = gt+r

B группе также выполнено: g0 = e, g-t= (g-1)t

Уравнение вида ax=b разрешимо в группе G, a, b  G и в полугруппе G, b  G и а  IG.

В обоих случаях х = а-1b.

a * b = b  G,

b * b = c  G и т.д.  операция «*» замкнута

2) (a * b) * c = a * (b * c) = d,

(a * с) * d = a * (c * d) = b и т.д.

операция «*» ассоциативна

4) a * b = b * a = b

a * c = c * a = c

a * d = d * a = d

a * c = c * a = c

e = a - нейтральный элемент

5) b + d = d + b = e = a  b и d – взаимно-обратные элементы

c + с = e = a  c является обратным к самому себе

a + a = e = a  a является обратным к самому себе

 Каждый элемент имеет инверсию

Поскольку выполнены требуемые 4 свойства, то (G, *) – группа

Алгебраические структуры. 3.1. Конспект лекции. Тема Алгебраические структуры План Полугруппы и группы

Тема 3. Алгебраические структуры

План

1. Полугруппы и группы

2. Кольца, поля, векторные пространства

Литература

1. Полугруппы и группы

Определение 1. Алгебраическая структура – это совокупность некоторого множества и операций, определенных на этом множестве

Определение 2. Внутренней операцией  множества X называется функция

: Хn  X, где натуральное число n называется арностью операции.

Т.е. результат выполнения внутренней операции принадлежит этому же множеству Х.

Также говорят, что операция  замкнута.

Пример 1

N = {1, 2, 3, …}

1. Рассмотрим операцию «сложение», тогда для любых x, y  N верно:

х + у  N – операция «+» является внутренней (сумма натуральных чисел есть число натуральное), или, замкнутой

2. Рассмотрим операцию «деление», тогда не для любых x, y  N верно:

х / у  N – операция «/» не является внутренней (результат деления натурального числа на натуральное не всегда есть число натуральное)

т.е. : Х2  X.

Определение 4. Внутренняя операция  арности 1 называется унарной, т.е. : Х X.

Бинарную операцию  обозначают некоторым символом, например, «+», «–» , «*» и др.

Далее вместо  (х, у) будем писать х*у или просто ху.

1) ассоциативной, если х * (у * z) = (х * у) * z,  х, у, z  X;

2) коммутативной, если х * у = у * х,  х, у  X;

3) замкнутой, если х*у X,  х, у  X (т.е. результат выполнения внутренней операции * принадлежит этому же множеству Х).

Пример 2

1. Рассмотрим N - множество натуральных чисел

N = {1, 2, 3, …}

Рассмотрим операцию «сложение», которая является замкнутой (N, +) - группоид

2. Рассмотрим N - множество натуральных чисел и операцию «деление», которая не является замкнутой

(N , /) – не является группоидом

Определение 7. Подмножество G' группоида (G; *) называется подгруппоидом, если оно замкнуто относительно операции *, т.е. если g, g'  G',

то и gg'  G'.

Пример 3

Рассмотрим Z - множество целых чисел

Z = {0,  1,  2,  3, …} и операцию «сложение»

Операция «сложение» является замкнутой, т.к. сумма целых чисел есть целое число  (Z, +) – группоид

Рассмотрим подмножество (N, +), N  Z

Из примеров выше  (N, +) группоид

 подмножество (N, +) - подгруппоид (Z, +)

gigj , i, j {1, 2, ..., n}.

Названа в честь английского математика XIX века Артура Кэли

Определение 9. Говорят, что элементы g и g' группоида G коммутируют (или перестановочны), если gg' = g'g.

Пример 4. Таблица Кэли группоида G = {a, b, с, d}

В группоиде имеется не более одного единичного элемента е. Действительно, если е' – другая единица группоида, то по определению

е' = е'е = е.

Определение 12. Полугруппу с единичным элементом называют моноидом (или полугруппой с единицей).

Проверим, является ли группоид G коммутативным, т.е. является ли матрица Кэли симметрической.

Имеем: ab=ba, ac=ca, ad=da,… Исключение составляет неравенство

cd  dc. Следовательно, G – некоммутативный группоид.

Обратим внимание, что для всех элементов подгруппоида G'={a, b, с} операция * коммутативна. Следовательно, G' – коммутативный подгруппоид.

Также сделаем вывод, что элементы b и с коммутируют, элемент а нейтральный.

По определению: операция * ассоциативна, если

х * (у * z) = (х * у) * z,  х, у, z  G.

Пример 6

Группоид (N, +) являетсяполугруппой, т.к. операция «сложение» ассоциативна:

х + (у + z) = (х + у) + z, х, у, z  G

Если полугруппа G имеет нуль, то он единственный.

Пример 7

Рассмотрим множество действительных чисел R и операцию «умножение» («»).

x, y  R  x  y  R  операция «» замкнута на R

 (R, ) - группоид

x, y, z  R  (x  y)  z = x  (y  z), т.е. операция «» ассоциативна  (R, ) - полугруппа

1  x = x  1 = x, x  R  (R, ) – моноид, или, полугруппа с нейтральным (единичным) элементом 1

0  x = x  0 = 0, x  R  (R, )  моноид (R, ) имеет нулевой элемент – число 0

Определение 16. Полугруппа G, содержащая единственный идемпотент, называется унипотентной.

Пример 7 (продолжение)

Рассмотрим множество действительных чисел R и операцию «умножение» («») из предыдущего примера

1  R, 1  1 = 1,

0  R, 0  0 = 0

g'  G, для которого gg' = g'g = е.

При этом элементы g и g' называются взаимно обратными.

Пример 8

Рассмотрим Z - множество целых чисел Z = {0, 1,  2,  3, …}

Рассмотрим операцию «сложение» («+»)

х + у  N0 , x, y  Z  операция «+» замкнута

 (Z , +) - группоид

х + (у + z) = (х + у) + z, x, y, z  Z  операция «+» ассоциативна

x + 0 = 0 + x = x, x  Z  e=0 – нейтральный (единичный) элемент в полугруппе (Z, +)  (Z, +) – моноид с единичным элементом e=0

Пример 8

3) замкнутой, если ху X,  х, у  X (т.е. результат выполнения внутренней операции принадлежит этому же множеству Х).

Определение 7. Подмножество G' группоида (G; ) называется подгруппоидом, если оно замкнуто относительно операции , т.е. если g, g'  G',

|(G,)| = ord(G,) = 4 – порядок группы