Тема дискретные модели сигналов
 Скачать 1.01 Mb.
|
|
7.5. Дискретное преобразование Лапласа. Z - преобразование Рассмотрим применение преобразования Лапласа для анализа дискретных функ- ций времени 0 ( ) ( ) ( ) n x t x n t T n Применение преобразования Лапласа к дельта-функции ( ) t дает 0 { ( ) } ( ) 1 s t L t t e d t Согласно теореме смещения изображение по Лапласу дельта-функции, сдвинутой на n T , равно { ( ) } n T s L t n T e Найдем изображение дискретной функции времени ( ) x t : 0 ( ) { ( ) } ( ) n T s n X s L x t x n e . (7.1) Это выражение определяет математическую операцию, называемую дискретным преобразованием Лапласа (D-преобразованием). Видно, что в дискретное преобразова- ние Лапласа переменная s входит в виде T s e и, следовательно, это преобразование не является рациональной функцией от s. Поэтому проводить анализ дискретных функций времени в плоскости s трудно. Дискретное преобразование Лапласа является рациональной функцией от T s e Использовав подстановку 1 ( ) ( ln ) T s T j T z e e s z , выражение (7.1) можно переписать в виде 1 0 ( ) ( ln ) ( ) n T n X z X z x n z . (2) Полученная функция ( ) X z представляет уже рациональную функцию относи- тельно переменной z . Она определяет собой прямое z -преобразование, являющееся вариантом преобразования Лапласа применительно к дискретным функциям времени. Обозначается прямое z -преобразование ( ) { ( ) } X z Z x n и называется z -изображением дискретной функции. D -преобразование и z -преобразование эквивалентны. Однако при использова- нии z -преобразования анализ дискретных функций во многом подобен анализу непре- рывных функций в плоскости s . Кроме того, преимуществом z -преобразования явля- ется легкость обратного преобразования. Комплексная функция ( ) X z определена лишь для тех значений переменной j z r e , при которых ряд сходится. Условием сходимости ряда (2) является 85 0 0 | ( ) | | ( ) | | ( ) | n n n n X z x n z x n r Множество значений z , для которых ряд (2) сходится, называют областью сходимости. Область сходимости определяется радиусом сходимости R . Величина R зависит от положения особых точек (полюсов) функции ( ) X z Пример 1. Дана функция ( ) ( ) x n A n . Формула (2) в этом случае содержит единственное слагаемое: ( ) X z A Пример 2. Дана ступенчатая функция ( ) 1( ) x n A n . В соответствии с формулой (2) изображение этой функции имеет вид 1 2 ( ) X z A A z A z Сумму полученной бесконечной геометрической прогрессии можно записать в явной форме: 1 1 ( ) 1 1 z X z A A z z , 1 | | 1 ( и л и | | 1) z z Пример 3. Дана экспоненциальная функция ( ) 1( ) a n x n e n ( a действительное число). На основании формулы (2) запишем В соответствии с определением z -преобразования запишем 1 0 0 ( ) ( ) a n n a n n n X z e z e z Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии с показателем, меньшим единицы, получим 1 1 ( ) 1 a a z X z e z z e Ряд сходится, то есть функция ( ) X z является аналитической при 1 | | 1 a e z (или | | a z e ). 7.6. Свойства прямого Z-преобразования Между дискретной функцией ( ) x n и ее изображением ( ) X z существует одно- значное соответствие. Для решения практических задач необходимо знать связь между изменениями дискретной функции и соответствующими изменениями изображения. Линейность Z-преобразования Если решетчатые функции 1 ( ), ..., ( ) n x n x n имеют соответственно изображения 1 ( ), ..., ( ) n X z X z , то справедливы следующие равенства: 1 1 ( ) ( ) n n i i i i i i Z x n X z , 1 1 1 ( ) ( ) n n i i i i i i Z X z x n , 86 где 1 , ..., n – постоянные коэффициенты. Это свойство следует непосредственно из определения Z преобразования. Изображения смещенной дискретной функции Пусть дискретная функция ( ) x n имеет изображение ( ) X z Рассмотрим дискретную функцию ( ) x n m , описывающую дискретную последо- вательность, задержанную на m интервалов. По формуле прямого Z-преобразования, если обозначить r n m , получим ( ) 1 1 0 { ( ) } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n r r m m r r m r r r m r m Z x n m x r z z x r z x r z z X z x r z Если для исходной дискретной функции ( ) x n выполняется условие ( ) 0 x n при 0 n , формула упрощается и принимает вид { ( ) } ( ) m Z x n m z X z Рассмотрим дискретную функцию ( ) x n m , которая описывает дискретную по- следовательность, упреждающую исходную на m интервалов. Применив прямое Z- преобразование, найдем 1 0 { ( ) } ( ) ( ) m m r r Z x n m z X z x r z Формула принимает вид { ( ) } ( ) m Z x n m z X z , если для исходной дискретной функции ( ) x n выполняется условие ( ) 0 x n при 0 , 1, ..., 1 n m Изображения разностей дискретной функции Для первой обратной разности на основании теорем линейности и запаздывания найдем 1 { ( ) } { ( ) ( 1) } 1 ( ) [ ( ) ( 1) ( ) ( 1) . Z x n Z x n x n z X z z X z x z X z x z Если для отрицательных значений n дискретная функция равна нулю, то формула упрощается: 1 { ( ) } ( ) z Z x n X z z Для первой прямой разности на основании теорем линейности и запаздывания по- лучим { ( ) } { ( 1) ( ) } [ ( ) ( 0 ) ] ( ) ( 1) ( ) ( 0 ) . Z x n Z x n x n z X z x X z z X z z x Если ( 0 ) 0 x , то изображение первой прямой разности равно 87 { ( ) } ( 1) ( ) Z x n z X z Аналогичным образом можно получить формулы для изображений m -й обратной и прямой разностей. Изображения суммы дискретной функции Сумма дискретной последовательности определяется формулой 1 0 ( ) ( ) n m n x n Составим первую прямую разность суммы ( ) ( 1) ( ) ( ) n n n x n и, полагая ( 0 ) 0 , возьмем z -преобразование от правой и левой частей. Получим ( 1) { ( ) } ( ) z Z n X z Отсюда 1 { ( ) } ( ) 1 Z n X z z Свертка дискретных функций Если 1 1 ( ) { ( )} X z Z x n и 2 2 ( ) { ( )} X z Z x n , то можно показать, что 1 2 1 2 1 2 0 0 ( ) ( ) { ( ) ( )} { ( ) ( )} n n X z X z Z x x n Z x n x Эта формула аналогична соответствующему выражению для свертки двух непре- рывных функций. 7.7. Обратное Z-преобразование Обратное Z-преобразование позволяет определить дискретную последователь- ность ( ) x n по её z-изображению ( ) X z и сокращённо записывается в виде 1 ( ) { ( ) } x n Z X z Теория обратного Z-преобразования базируется на так называемой формуле об- ращения 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 n x n X z X z z d z j . (3) Интеграл в правой части формулы обращения берется по окружности радиуса с цен- тром в начале координат плоскости z (рис. 7.5). Радиус окружности находится из вы- ражения m a x | | z , в котором ( 1, ... , ) z N – особые точки функции ( ) X z 88 Рис. 7.5. Особые точки функции ( ) X z и контур интегрирования Контурный интеграл (3) удобно вычислять с помощью теоремы о вычетах. Со- гласно этой теореме контурный интеграл равен сумме вычетов подынтегральной функ- ции в полюсах , 1, 2 , ..., z N , расположенных в области, охватываемой окружностью радиуса : 1 1 ( ) R e s [ ( ) ] N n z z x n X z z Для простого полюса z вычет вычисляется по формуле 1 1 R e s [ ( ) ] lim [ ( ) ( ) ] n n z z z z X z z z z X z z , а для полюса порядка m – по формуле 1 1 1 1 1 R e s [ ( ) ] li m [ ( ) ( ) ] ( 1) ! m n n m z z z z d X z z z z X z z m d z В технических приложениях обычно изображение ( ) X z представляет собой дробно-рациональную функцию z и для вычисления обратного z-преобразования ис- пользуются методы разложения на простые дроби и в степенной ряд. Метод разложения на простые дроби Если изображение представляет собой простейшую табличную форму (см. табл. 1), то определение оригинала не представляет трудностей. Сложную дробно- рациональную функцию можно представить в виде суммы дробей первой степени, каждая из которых является табличной формой. Рассмотрим случай, когда изображение ( ) X z представляет собой отношение двух полиномов: ( ) ( ) ( ) B z X z A z , причем будем полагать, что степень полинома ( ) B z не выше, чем степень полинома ( ) A z , а корни уравнения ( ) 0 A z простые. Представим изображение ( ) X z в виде суммы 0 1 ( ) ( ) ( ) N z B z z X z c A z z z , (7.4) 89 где z ( 1, 2 , ... , N ) – корни уравнения ( ) 0 A z , 0 ( ) ( ) B z c A z ( 1, 2 , ... , N ). Эле- ментарному слагаемому ( ) z z z , как видно из табл. 1, соответствует оригинал a T n n z e , где 1 1 ln a T z Поэтому дискретную последовательность, соответствующую (7.4), запишем в следующем виде: 1 ( ) N n x n c z Пример. Дано z -изображение 0 2 ( ) ( ) ( ) 1, 5 0 , 5 z B z z X z A z z z Корни уравнения ( ) 0 A z равны: 1 1 z , 1 0 , 5 z . Тогда знаменатель представим в виде ( ) ( 1) ( 0 , 5 ) A z z z и запишем ( ) X z в виде суммы простых дробей: 1 2 ( ) 1 0 , 5 c z c z X z z z Рассчитаем значения коэффициентов: 1 1 1 ( 2 1, 5 ) 2 z z c z , 2 2 1 ( 2 1, 5 ) 2 z z c z Тогда 2 2 ( ) 1 0 , 5 z z X z z z Обратившись к табл. 1, находим дискретную последовательность ( ) 2 1( ) 2 0 , 5 n x n n Рассчитав по полученному выражению значения ( ) x n для различных n , запишем дискретную последовательность в следующем виде: ( ) ( 1) 1, 5 ( 2 ) 1, 7 5 ( 3 ) 1, 8 7 5 ( 4 ) x n n n n n Метод разложения в ряд Лорана Согласно данному методу изображение ( ) X z разлагается в ряд по степени 1 z с помощью последовательного деления. При выполнении деления полиномы следует располагать по убывающим степеням z так, что 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ( ) M M M M N N N b z b z b z b X z z a z a z a , N M Разложение получается в виде 1 2 3 0 1 2 3 ( ) X z c c z c z c z Коэффициенты 0 1 2 , , , ... c c c равны значениям дискретной последовательности ( ) x n : 0 ( 0 ) x c , 1 (1) x c , 2 ( 2 ) x c и т. д. Следовательно, 0 1 2 ( ) ( ) ( 1) ( 2 ) x n c n c n c n |