Тема дискретные модели сигналов
 Скачать 1.01 Mb.
|
|
Пример. Дано z -изображение 0 2 ( ) ( ) ( ) 1, 5 0 , 5 z B z z X z A z z z Выполнив деление, будем иметь 1 2 3 4 ( ) 1, 5 1, 7 5 1, 8 7 5 X z z z z z Полученному z -изображению соответствует дискретная последовательность ( ) ( 1) 1, 5 ( 2 ) 1, 7 5 ( 3 ) 1, 8 7 5 ( 4 ) x n n n n n Таким образом, результаты решения задачи обратного преобразования, найден- ные методами разложения на простые дроби и разложения в ряд Лорана, совпали. 7.8. Преобразование Фурье дискретного сигнала Пусть дана дискретная последовательность ( ) x n , 0 , 1, 2 , ... n . Бессмысленно го- ворить о преобразовании Фурье от этой дискретной последовательности. Однако, как показано выше, дискретную последовательность ( ) x n можно связать с временной функцией ( ) ( ) ( ) n x t x n t n T Эта функция имеет преобразование Фурье 0 ( ) { ( ) } ( ) j T n n X j x t x n e . (7.1) В то же время дискретная последовательность ( ) x n имеет z-преобразование 0 ( ) ( ) n n X z x n z . (7.2) Если сравнить (7.1) и (7.2), можно увидеть, что преобразование Фурье представ- ляет собой частный случай z-преобразования, то есть преобразование Фурье можно по- лучить как z-преобразование, вычисленное на единичной окружности z-плоскости: | ( ) ( ) j T j T z e X e X z Из выражения (1) видно, что спектральная характеристика является периодиче- ской функцией по частоте и период д 2 T . Спектр вещественного сигнала ( ) x t полностью описывается в основной полосе частот д [ 0 , 2 ] . Составляющие спектра, расположенные в этой полосе частот, называют основным спектром . Соотношение, устанавливающее связь между спектрами аналогового и дискрет- ного сигналов, имеет вид а д 1 ( ) [ ( ) ] j t m X e X j m T , где д 2 T Иными словами, спектр дискретного сигнала (с точностью до постоянного мно- жителя 1 T ) равен сумме спектров исходного аналогового сигнала, смещенных друг 91 относительно друга на все возможные значения частоты, кратные частоте дискретиза- ции, то есть на значения д , 0 , 1, 2 , ... m m Пример. Пусть экспоненциальный импульс ( ) e x p ( ) , 0 x t A t t , подвергнут дискретизации с интервалом T. Найдем спектральную характеристику сигнала 0 ( ) ( ) T n n x t A e t n T Согласно (1) получим 0 ( ) T n j T n n X j A e e Применив формулу суммы геометрической прогрессии, найдем ( ) 1 j T T j T j T T A A e X e e e e На рис. 7.6 представлены спектральные характеристики, построенные по полу- ченному выражению. Амплитудная и фазовая спектральные характеристики на интер- вале частот от 0 до 2 T выделены сплошной линией. Рис. 7.6. Спектральные характеристики экспоненциальной дискретной последовательности: а – годограф, б – амплитудная, в – фазовая 7.9. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) На практике приходится иметь дело с сигналами, заданными на ограниченном ин- тервале времени, например н [ 0 , ] t T . Такой сигнал может быть представлен последо- вательностью из N отсчетов, взятых на временном отрезке н [ 0 , ] T через интервал дис- кретизации н T T N . В результате получим дискретную последовательность ( ) x n , за- данную на конечном интервале дискретного аргумента [ 0 , 1] N В этом случае дискретная функция ( ) x t и ее спектральная характеристика ( ) X j описываются выражениями: 92 1 ( ) ( ) ( ) N n x t x n t n T , 1 0 ( ) ( ) N j T n n X j x n e Напомним, что спектральная характеристика ( ) X j является функцией непре- рывной и периодической по частоте с периодом д 2 T . Для практических расчетов спектральную характеристику ( ) X j целесообразно представить в виде последова- тельности ( ) X j k , 0 , 1, , 1 k N , где – выбранное расстояние между отсчета- ми в частотной области. Учитывая отмеченную выше периодичность функции ( ) X j по частоте, принимаем 2 N T Подставив в (2.б) k , 0 , 1, , 1 k N , и введя обозначение ( ) ( ) X k X j k , получим 1 0 ( ) ( ) N j T n k n X k x n e , 0 , 1, , 1 k N Формула (2.в) определяет прямое ДПФ. Легко заметить, что прямое ДПФ в общем случае дает периодическую последовательность комплексных чисел с периодом N Существует обратное ДПФ, которое переводит последовательность ( ) X k в по- следовательность ( ) x n , из которой она была вычислена. Оно задается выражением 1 0 1 ( ) ( ) N j T n k n x n X k e N , 0 , 1, , 1 n N , которое отличается от формулы прямого ДПФ только масштабным множителем и зна- ком экспоненты. Обратное преобразование подобно прямому ДПФ может давать отсчеты ( ) x n для n вне интервала [ 0 , 1] N , но эти отсчеты есть просто повторение значений ( ) x n для n , взятых внутри этого интервала. Введя обозначение для так называемого поворачивающего множителя 2 j T j N N W e e , можно записать прямое ДПФ и обратное ДПФ в следующем виде 1 0 ( ) ( ) N k n N n X k x n W , 0 , 1, , 1 k N 1 0 1 ( ) ( ) N k n N n x n X k W N , 0 , 1, , 1 n N 93 2.3. Свойства дискретного преобразования Фурье Между дискретной функцией ( ) x n и ее спектральной характеристикой ( ) X k су- ществует однозначное соответствие. Для решения практических задач необходимо знать связь между изменениями дискретной функции и соответствующими изменения- ми спектральной характеристики. 1. Линейность. Если 1 ( ) ( ) R r r r y n x n , то 1 ( ) ( ) R r r r Y k X k , где 1 , ..., R – по- стоянные коэффициенты; д ( ) { ( ) } r r X k x n , 1, 2 , ... , r R 2. Спектральная характеристика смещенной дискретной функции. Если д ( ) { ( ) } X k x n , то 2 д { ( ) } ( ) j k m N k m N x n m e X k W 3. Свойство симметрии. Если дискретная последовательность ( ) x n является действительной, то спектральная характеристика ( ) X k удовлетворяет следующим условиям симметрии: R e ( ) R e ( ) X k X N k ; Im ( ) Im ( ) X k X N k ; | ( ) | | ( ) | X k X N k ; a r g ( ) a r g ( ) X k X N k Спектральная характеристика симметричной последовательности ( ) ( ) x n x N n является действительной. 4. Круговая свертка. Пусть 1 д 1 ( ) { ( ) } X k x n и 2 д 2 ( ) { ( ) } X k x n . Тогда если 1 2 ( )} ( ) ( ) Y k X z X z , то 1 1 2 0 ( ) ( ) ( ) N m y n x m x n m , 0 , 1, ..., 1 n N 5. Спектральная характеристика произведения дискретных функций. Пусть 1 д 1 ( ) { ( ) } X k x n и 2 д 2 ( ) { ( ) } X k x n . Тогда если 1 2 ( )} ( ) ( ) y n x n x n , то 1 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) N l Y k X l X k l N , 0 , 1, ..., 1 k N 7.10. Восстановление сигнала по его отсчетам В результате преобразования дискретных последовательностей в системе цифро- вой обработки получаем дискретную последовательность. Возникает естественный во- прос, как по известной дискретной последовательности получить непрерывный сигнал. Ряд Котельникова Теорема, доказанная В.А. Котельниковым в 1933 году, определяет условия точно- го восстановления мгновенных значений сигнала по его отсчетам, взятым через равные промежутки времени. Теорема. Любую функцию ( ) x t , содержащую только гармонические составляю- щие с частотами от 0 до в ω , можно представить в виде ряда 94 в в s i n ( ) ( ) ( ) ( ) n t n T x t x n T t n T (7.15) где в T , и, наоборот, любая функция, представленная рядом (7.15), содержит только гармонические составляющие с частотами от 0 до в Формулу (7.15) можно рассматривать как разложение сигнала ( ) x t по функциям в в s in ( ) ( ) ( ) n t n T t t n T , (7.16) причем в качестве коэффициентов ряда выступают значения сигнала ( ) x t в дискрет- ные моменты времени , ( , ) n t n T n . Функция ( ) n t , называемая отсчетной функцией, отображает собой колебания с максимальным значением при n t n T (на рис. 7.7, а представлен график отсчетной функции для 3 n ). В другие дискретные мо- менты времени функция равна нулю. Легко проверить, что отсчетные функции ортого- нальны на интервале времени, то есть в п р и , ( ) ( ) 0 п р и n m n m t t d t n m В каждой точке t n T только один член ряда, стоящего в правой части выраже- ния (7.15), отличен от нуля и этот член равен ( ) x n T . Следовательно, в точках t n T справедливость формулы (7.15) очевидна. В промежутках между указанными точками точное значение функции ( ) x t обеспечивается суммированием бесконечного числа функций вида (7.16). Рис. 7.7. Представление сигнала в виде ряда Котельникова: а – отсчетная функция; б – составляющие ряда Таким образом, функция ( ) x t с ограниченным спектром, с одной стороны, может быть полностью задана множеством ее мгновенных значений, взятых через равные промежутки времени T С другой стороны, если имеются числовые значения функции ( ) x n T для всех n , то она может быть полностью восстановлена по формуле (7.15). Желая использовать теорему Котельникова для восстановления непрерывного сигнала по его отсчетам, необходимо учитывать следующее. Сигналы с ограниченным спектром, для которых справедлива теорема, бесконечны во времени. Реальные же сиг- налы ограничены по времени интервалом [0, с T ] и обладают, следовательно, неограни- ченным по времени спектром. Поэтому точно восстановить сигнал не удается. Для приближенного восстановления можно выделить интервал частот [0, в ω ], в котором 95 заключена основная часть энергии сигнала, а на долю составляющих спектра с часто- той в ω ω приходится малая часть энергии сигнала. Сигнал, ограниченный по времени, приближенно описывается рядом (7.15), со- стоящим из конечного числа членов: в 0 в s i n ( ) ( ) ( ) ( ) N n t n T x t x n T t n T (7.17) На рис. 7.7, б показана аппроксимация рядом (7.15) прямоугольного импульса, представленного пятью дискретными отсчетами. При суммировании членов ряда (7.17) сигнал ( ) x t воспроизводится точно только в точках отсчета n t n T . В промежутках между отсчетами возникает ошибка аппрок- симации, величина которой зависит от отбрасываемой части спектра сигнала. Чтобы уменьшить ошибку, интервал дискретизации T рекомендуют принимать в 2–5 раз меньше величины, определяемой по формуле (7.16). Ряд Котельникова для восстанов- ления сигналов практически не используется. Он имеет скорее теоретическое значение, позволяя получить полезные выводы. Для восстановления же сигналов по дискретным отсчетам на практике чаще используются другие методы, например методы линейной и квадратичной интерполяции. Метод линейной интерполяции При линейной интерполяции соседние дискретные точки восстанавливаемой функции соединяют прямолинейными отрезками. Предположим, что при восстановле- нии сигнала необходимо воспроизвести с заданной точностью все гармонические со- ставляющие до некоторой верхней частоты в ω . Пусть выбран интервал дискретизации в 5 T , что в пять раз меньше устанавливаемого теоремой Котельникова. Как видно из рис. 7.8, наибольшая погрешность восстановления будет получена в районе экстремальной точки и при симметричном расположении отсчетов. Тогда наибольшая приведенная погрешность восстановления синусоидальной составляющей с частотой в ω может быть найдена как разность между амплитудой A и одним из ука- занных отсчетов: в в 1 s i n 1 c o s 2 2 2 E T T A A A A . (7.18) Рис. 7.8. Ошибка восстановления методом линейной интерполяции Обозначим через N число отсчетов на одном периоде синусоиды с частотой в ω Тогда в 2 N T . Подставив в (7.18), получим 1 c o s ( ) N 96 Данное соотношение позволяет определить число отсчетов N , необходимых для обеспечения заданной погрешности : a r c c o s (1 ) N Например, при заданной допустимой погрешности восстановления 0 , 0 1 тре- буется 22 отсчета на один период синусоиды. На практике обычно отдают предпочтение методу линейной интерполяции, по- скольку она реализуется очень просто технически и позволяет восстанавливать сигнал в режиме реального времени. Восстановление же при помощи ряда Котельникова воз- можно только после получения всех точек восстанавливаемого сигнала. |