Тема Элементы комбинаторики, теории вероятности и статистики МатематикаЦели изучения темы
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
Тема 7. Элементы комбинаторики, теории вероятности и статистики Математика Цели изучения темы: научиться решать комбинаторные задачи; находить вероятности событий; ознакомиться с основными понятиями статистики. Задачи темы: познакомиться с основными понятиями комбинаторики, теории вероятности и статистики; изучить основные правила и формулы комбинаторики и теории вероятности; сформировать представление о способах получения, обработки, анализа и представления количественных данных. В результате изучения данной темы Вы будете Знать: основные понятия и правила комбинаторики, теории вероятности и статистики; способы анализа количественных данных; графические способы представления количественных данных. Уметь: применять правила комбинаторики для подсчёта количества комбинаций из элементов некоторого множества; раскладывать бином n-ой степени на отдельные слагаемые по формуле бинома Ньютона; находить вероятность события; применять правило сложения и умножения вероятностей; находить условную вероятность и полную вероятность события; находить вероятность гипотезы по формуле Байеса; графически представлять количественные данные. Владеть: основными понятиями комбинаторики, теории вероятности и статистики; основными формулами комбинаторики и теории вероятности; способами построения диаграмм разного вида. Учебные вопросы темы: Вопрос 1. Элементы комбинаторики. Вопрос 2. Элементы теории вероятности. Вопрос 3. Элементы статистики. Вопрос 1. Элементы комбинаторики Определение. Комбинаторика – это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Элементарная комбинаторика имеет дело с множествами, из которых выбираются подмножества с определенными свойствами. Как правило основной вопрос заключается в следующем: сколько таких подмножеств можно выбрать из данного множества? То есть задача состоит в подсчете числа этих подмножеств. Введем следующие понятия. Пусть A = {a 1 , . . . , a n } – множество из n элементов. Комбинаторный объект – это подмножество с определенными свойствами из элементов множества A. Комбинаторное число (связанное с комбинаторным объектом) – это количество комбинаторных объектов этого вида. Часто при подсчете числа комбинаторных объектов применяются два основных приема: правило суммы и правило произведения. Правило суммы Если некоторый объект А может быть выбран m способами, а объект В - k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать m+k способами. Пример.Сколько существует наборов с двумя координатами из множества B = {0, 1}? Решение. Все наборы с двумя координатами из множества B разобьем на два непересекающихся множества: наборы с первой координатой 0 и наборы с первой координатой 1. В первом множестве два набора: (00),(01) (A = 2), во втором множестве также два набора: (10),(11) (B = 2). Следовательно, всего наборов A + B = 4. Правило произведения Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) k способами, то пары объектов «А и В» можно выбрать m*k способами. Пример. Сколько существует наборов с двумя координатами из множества B = {0, 1}? Решение. Все наборы с двумя координатами из множества B обладают двумя признаками: значением первой координаты и значением второй координаты. Первая координата может принимать два различных значения: 0 и 1 (A = 2), у каждого набора с фиксированной первой координатой вторая координата также может принимать два значения: 0 и 1 (B = 2). Следовательно, всего наборов A · B = 4 Некоторые комбинаторные числа имеют собственные названия и устоявшиеся обозначения. Определение. Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Если среди элементов нет повторяющихся, то число перестановок из n элементов обозначают символом P n (“пэ из эн”) и вычисляют по формуле: 𝑃 𝑛 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛 Для произведения первых n натуральных чисел есть специальное обозначение 𝑛! эн факториал. При этом 0! = 1 Пример. Сколькими способами можно разместить 4-х гостей по 4-м комнатам? Решение. Число способов равно числу перестановок 𝑃 4 = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! = 24 Если среди элементов есть повторяющиеся, то число перестановок из n элементов обозначают символом 𝑃 𝑛 (𝑛 1 ; 𝑛 2 ; … ; 𝑛 𝑠 ) (перестановки с повторениями) и вычисляют по формуле 𝑃 𝑛 (𝑛 1 ; 𝑛 2 ; … ; 𝑛 𝑠 ) = 𝑛! 𝑛 1 ! ∙ 𝑛 2 ! ∙ … ∙ 𝑛 𝑠 ! , где 𝑛 1 , 𝑛 2 , …,𝑛 𝑠 - количество одинаковых элементов по группам. Определение. Размещением из n элементов по k (k ≤ 𝑛) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. Если каждый элемент можно выбрать не более одного раза, то число размещений из n элементов по k обозначают 𝐴 𝑛 𝑘 (“а из эн по ка”) и вычисляют по формуле 𝐴 𝑛 𝑘 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ … ∙ (𝑛 − 𝑘 + 1) = 𝑛! (𝑛 − 𝑘!) Пример. Студенты изучают 10 дисциплин в одном семестре. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных дисциплины? Решение. Любое расписание, составленное на один день, отличается от другого либо самими дисциплинами, либо порядком их следования. Следовательно, важны и элементы, и их порядок – используем формулу для подсчёта размещений. 𝐴 𝑛 𝑘 = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 = 5040 Если один и тот же элемент можно использовать более одного раза, то число размещений из n элементов по k обозначают 𝐴̅ 𝑛 𝑘 (размещение с повторениями) и вычисляют по формуле 𝐴̅ 𝑛 𝑘 = 𝑠 𝑘 , где s- количество различных элементов среди n-элементов. Определение. Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из n элементов. Причем если множества имеют одни и те же элементы и отличаются только порядком следования этих элементов, то эти множества считаются как одно сочетание. Таким образом, в сочетании не важен порядок следования. Если среди n элементов нет одинаковых, то число сочетаний из n элементов по k обозначают С 𝑛 𝑘 (“цэ из эн по ка”) и вычисляют по формуле С 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! Связь между перестановками, размещениями и сочетаниями выражается формулой С 𝑛 𝑘 = 𝐴 𝑛 𝑘 𝑃 𝑘 или 𝐴 𝑛 𝑘 = С 𝑛 𝑘 ∙ 𝑃 𝑘 Пример. Из 25 учащихся класса нужно выбрать 3-х для дежурства. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Очевидно, что здесь важны только сами элементы (конкретные ученики) и не важен порядок. Следовательно, используем формулу для подсчёта сочетаний. С 25 3 = 25! 3! (25 − 3)! = 2300. Если среди n элементов есть повторяющиеся, то число сочетаний обозначают С̅ 𝑠 𝑘 (сочетаний с повторениями) и вычисляют по формуле С̅ 𝑠 𝑘 = 𝐶 𝑠+𝑘−1 𝑘 , где s- количество различных элементов среди n элементов. Бином Ньютона Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных (𝑎 + 𝑏) 𝑛 . Например, (𝑎 + 𝑏) 0 = 1; (𝑎 + 𝑏) 1 = 𝑎 + 𝑏; (𝑎 + 𝑏) 2 = 𝑎 2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ; (𝑎 + 𝑏) 3 = 𝑎 3 + 3𝑎 2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 Было замечено и доказано, что коэффициента многочлена (𝑎 + 𝑏) 𝑛 получаются из следующего числового треугольника, называемого треугольником Паскаля Треугольник Паскаля можно записать и в другом виде, где используются уже известные нам сочетания Тогда бином Ньютона вычисляется по формуле Коэффициенты С 𝑛 𝑘 называют биноминальными коэффициентами. Некоторые свойства биноминальных коэффициентов 1. Число биноминальных коэффициентов (следовательно, и слагаемых в разложении степени бинома, равно n+1). 2. Коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца бинома, равны, то есть С 𝑛 𝑘 = С 𝑛 𝑛−𝑘 3. Сумма всех биноминальных коэффициентов в разложении степени бинома равна 2 𝑛 4. Сумма биноминальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биноминальных коэффициентов, стоящих на четных местах. Натуральная степень разности двух величин вычисляется по формуле, аналогичной биному Ньютона: Вопрос 2. Элементы теории вероятности Определение. Испытанием называется опыт, эксперимент, наблюдение явления. Определение. Событие – факт, который может наступить в результате испытания. Определение. Исход – любой результат испытания. Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. Случайным называют событие, которое объективно может наступить, а может не наступить в данном испытании. Два события называют совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Если события не могут произойти одновременно в одном и том же испытании, то события называются несовместными. Два события A и B называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, наступило другое событие или нет. Два события A и B называют зависимыми, если вероятность появления каждого из них зависит от того, наступило другое событие или нет. Два события называют противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Два события называют равновозможными, если для них нет никаких объективных оснований считать, что наступление одного считается более возможным, чем наступление другого. Полная группа событий – это совокупность событий, которая включает все события, которые могут произойти в данном испытании, причем в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из этих событий. Элементарные события – события, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий. Событие A называют благоприятствующим событию B, если наступление события A влечет за собой наступление события B. Классическое определение вероятности Определение.Вероятностью P(A) события A называют отношение 𝑚 𝑛 числа m элементарных событий, благоприятствующих событию A, к числу n всех элементарных событий. Пример. Бросают игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет 3 очка? Решение. Количество элементарных исходов 𝑛=6. Событие 𝐴 — выпадение трёх очков. Число случаев, благоприятных событию 𝐴 равно 𝑚=1. Получаем: 𝑃(𝐴)=m/n =1/6. Статистическое определение вероятности Определение. Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события при большом количестве испытаний. Определение.Если в 𝑁 независимых опытах событие 𝐴 осуществляется 𝑀 раз, то 𝑀 называется абсолютной частотой события 𝐴, а соотношение 𝑀 𝑁 называется относительной частотой события 𝐴. Различные исследования с большим числом однотипных испытаний проводили учёные в разные годы. Заметив, что амплитуда колебания относительных частот события около некоторого числа уменьшается при увеличении количества испытаний, швейцарский математик Якоб Бернулли (1654– 1705) открыл закон больших чисел. С большой достоверностью можно утверждать, что при большом количестве испытаний относительная частота события А будет стремиться к вероятности этого события. То есть, 𝑊(𝐴)≈𝑃(𝐴) при большом количестве испытаний. Пример. Проведём эксперимент: 1) бросить игровой кубик 200 раз и каждый раз записывать количество выпавших очков; 2) сосчитать, в скольких случаях выпало 4 очка. Допустим, что после подсчётов результат 4 был 32 раза. Что можно вычислить? Относительную частоту события 𝐴 обозначают 𝑊(𝐴), поэтому по определению 𝑊(𝐴)=M/𝑁. В наших экспериментах событие 𝐴 — выпало 4 очка. Значит, по определению: 1) абсолютная частота события 𝐴 равна 32; 2) относительная частота события А=32/200. В нашем эксперименте относительная частота события А=32/200, или статистическая вероятность 𝑃(𝐴)≈32/200. Свойства вероятности 1. Вероятность достоверного события равна единице. 2. Вероятность невозможного события равна нулю. 3. Вероятность случайного события лежит в интервале от нуля до единицы. 4. Вероятность противоположного события 𝑃̅(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴). Определение. Суммой двух событий А и B называют событие A+B, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий A или B. Пример. Бросается игральный кубик. Пусть событие A – выпадение числа очков, большего 3-х. Событие B – выпадение нечетного числа очков. Тогда событие A+B -выпадение числа очков, большего 3-х или выпадение нечетного числа очков. Определение. Произведением двух событий А и B называют событие AB, состоящее в совместном наступлении событий A и B в одном испытании. Пример. В урне 6 шаров, поровну черных и белых шаров. Из урны наугад вытаскиваются два шара. Пусть событие A - вытащен черный шар. Событие B – вытащен белый шар. Тогда событие AB – вытащен и черный, и белый шар. Вероятность суммы двух несовместимых событий A и B: 𝑷(𝑨 + 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩). Пример. Бросают игральный кубик. Какова вероятность, что выпало чётное число очков или 5? 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 3 6 + 1 6 = 4 6 = 2 3 Вероятность произведения двух независимых событий 𝑷(𝑨𝑩) = 𝑷(𝑨) ∙ 𝑷(𝑩). Пример.Бросают два игральных кубика. Какова вероятность, что на каждом выпадет четное число очков? Решение. Пусть событие А – выпало четное число очков на первом кубике. Событие B – выпало четное число очков на втором кубике. События A и B не зависят друг от друга. Тогда вероятность события AB равна 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 3 6 ∙ 3 6 = 1 4 Условная вероятность Определение. Пусть события A и B – зависимые. Условной вероятностью 𝑷 𝑨 (𝑩) (или P(B/A)) события B называют вероятность события B, найденную в предположении, что событие A уже произошло. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃 𝐴 (𝐵) Пример. В колоде 36 карт.Из колоды вытащили 2 карты. Какова вероятность, что это две девятки? Решение. Пусть A – первая карта – девятка. B – вторая карта – девятка. Вероятность наступления события B зависит от события A. Вероятность произведения двух зависимых событий 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃 𝐴 (𝐵) = 4 36 ∙ 3 35 ≈ 0,0095. Вероятность суммы двух совместимых событий Вероятность суммы двух совместимых событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения AB 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵). Пример. Вытащили одну карту из колоды в 36 карт. Какова вероятность, что это король или карта бубновой масти? Решение. Пусть событие А – вытащили короля. Событие B – карту бубновой масти. Тогда события A и B совместимые события. Вероятность наступления или события A, или события B, равна 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵) = 4 36 + 9 36 − 1 36 = 12 36 Формула полной вероятности Пусть событие A может произойти только с одним из событий B 1 , B 2 , B 3 , …, B n (гипотез), образующих полную группу попарно несовместных событий. Тогда вероятность события A вычисляется по формуле 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵 1 ) ∙ 𝑃 𝐵 1 (𝐴) + 𝑃(𝐵 2 ) ∙ 𝑃 𝐵 2 (𝐴) + ⋯ + 𝑃(𝐵 𝑛 ) ∙ 𝑃 𝑛 (𝐴). Формула Байеса. Пусть событие A может произойти только с одним из событий B 1 , B 2 , B 3 , …, B n (гипотез), образующих полную группу попарно несовместных событий. Если в результате испытания наступило событие А, то вероятности гипотез вычисляются по формуле 𝑃 𝐴 (𝐵 𝑖 ) = 𝑃(𝐵 𝑖 ) ∙ 𝑃 𝐵 𝑖 (𝐴) 𝑃(𝐵 1 ) ∙ 𝑃 𝐵 1 (𝐴) + 𝑃(𝐵 2 ) ∙ 𝑃 𝐵 2 (𝐴) + ⋯ + 𝑃(𝐵 𝑛 ) ∙ 𝑃 𝑛 (𝐴) = 𝑃(𝐵 𝑖 ) ∙ 𝑃 𝐵 𝑖 (𝐴) 𝑃(𝐴) Пример.На склад поступают телефоны трех заводов, причем доля телефонов первого завода составляет 25%, второго - 60%, третьего - 15%. Известно также, что средний процент телефонов без брака для первой фабрики составляет 2%, второй - 4%, третьей - 1%. Найти вероятность того, что: а) взятый наугад телефон окажется с браком; б) телефон изготовлен на первом заводе, если он бракованный; в) на каком заводе вероятнее всего был изготовлен телефон, если он сделан качественно? Решение. А) Пусть А – наугад выбранный телефон оказался бракованным. Гипотезы: H 1 – телефон изготовлен на первой фабрике; H 2 – телефон изготовлен на второй фабрике; H 3 – телефон изготовлен на третьей фабрике. События H 1 , H 2 , H 3 попарно несовместимы и образуют полную группу. Вероятность каждой гипотезы: 𝑃(𝐻 1 ) = 25% 100% = 0,25; 𝑃(𝐻 2 ) = 60% 100% = 0,6; 𝑃(𝐻 3 ) = 15% 100% = 0,15. Определим условные вероятности события A: 𝑃(𝐴/𝐻 1 ) = 2% 100% = 0,02; 𝑃(𝐴/𝐻 2 ) = 4% 100% = 0,04; 𝑃(𝐴/𝐻 3 ) = 1% 100% = 0,01. Применим формулу полной вероятности для определения вероятности выбора бракованного телефона 𝑃(𝐴) = 0,25 ∙ 0,02 + 0,6 ∙ 0,04 + 0,15 ∙ 0,01 = 0,0305. Б) Найдем вероятность того, что телефон изготовлен на первом заводе, если он бракованный. Для этого применим формулу Байеса: 𝑃(𝐻 1 /𝐴) = 𝑃(𝐻 1 )𝑃(𝐴/𝐻 1 ) 𝑃(𝐴) = 0,25 ∙ 0,02 0,0305 ≈ 0,164 В) Чтобы определить, на каком заводе вероятнее всего был изготовлен рабочий телефон, если он сделан качественно, необходимо сравнить между собой вероятности гипотез: 𝑃(𝐻 1 /𝐴̅); 𝑃(𝐻 2 /𝐴̅); 𝑃(𝐻 3 /𝐴̅). Событие 𝐴̅ −выбрали телефон без брака. Для противоположных событий воспользуемся формулой 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) = 0,9695. Определим условные вероятности события𝐴̅: 𝑃(𝐴̅/𝐻 1 ) = 1 − 𝑃(𝐴/𝐻 1 ) = 0,98; 𝑃(𝐴̅/𝐻 2 ) = 1 − 𝑃(𝐴/𝐻 2 ) = 0,96; 𝑃(𝐴̅/𝐻 3 ) = 1 − 𝑃(𝐴/𝐻 3 ) = 0,99. Найдем вероятности гипотез по формуле Байеса: 𝑃(𝐻 1 /𝐴̅) = 𝑃(𝐻 1 )𝑃(𝐴̅/𝐻 1 ) 𝑃(𝐴̅) = 0,25 ∙ 0,98 0,9695 ≈ 0,2527; 𝑃(𝐻 2 /𝐴̅) = 𝑃(𝐻 2 )𝑃(𝐴̅/𝐻 2 ) 𝑃(𝐴̅) = 0,6 ∙ 0,96 0,9695 ≈ 0,5941; 𝑃(𝐻 3 /𝐴̅) = 𝑃(𝐻 3 )𝑃(𝐴̅/𝐻 3 ) 𝑃(𝐴̅) = 0,15 ∙ 0,99 0,9695 ≈ 0,1532. Наибольшую вероятность имеет вторая гипотеза, поэтому случайно выбранный телефон без брака вероятнее всего был изготовлен на втором заводе. Вопрос 3. Элементы статистики Статистика – это наука, которая рассматривает методы получения, обработки и анализа количественных данных. Основные определения Выборка – это множество элементов (ряд данных), полученных в некотором измерении. Объём выборки– количество элементов в выборке (число членов ряда данных). Варианта измерения – одно экспериментально полученное значение в измерениях; одно из значений элементов выборки. Вариационный ряд – упорядоченное множество всех вариант (упорядоченный ряд данных). Кратность варианты (абсолютная частота, частота) – число повторений варианты в конкретном измерении. Объём выборки равен сумме всех кратностей измерения. Относительная частота варианты – отношение кратности варианты к объёму выборки. Генеральная совокупность – множество всех возможных результатов измерения. Размах выборки – разница между наибольшей и наименьшей вариантой (наибольшим и наименьшим значением ряда данных). Мода выборки– наиболее часто встречающаяся варианта в данной выборке (наиболее часто повторяющееся значение в ряду данных). Медиана выборки – варианта, находящаяся посередине упорядоченного ряда, если нём нечётное число членов. Если в упорядоченном ряду чётное число членов, то медиана равна среднему арифметическому двух вариант, находящихся посередине ряда. Среднее значение выборки – среднее арифметическое всех вариант. Графическое представление данных Графический способ представления статистических данных имеет ряд достоинств: 1. Наглядность. 2. Лаконичность. 3. Однозначность толкования. В зависимости от способа построения различают следующие виды диаграмм: 1. Линейная диаграмма. 2. Диаграмма разброса (точечная диаграмма) – диаграмма предназначена для показа взаимозависимости двух переменных (корреляции). 3. Столбчатая диаграмма. 4. Ленточная (полосовая) диаграмма. 5. Ленточная диаграмма Ганта. 6. Круговая диаграмма. 7. Радиальная диаграмма – её используют при необходимости графического изображения изменения явления за замкнутый цикл времени (по месяцам года, дням недели, сезонам года, часам суток и т. д.) Существуют и другие виды графического представления информации, но мы указали наиболее часто встречающиеся. Вопросы для самопроверки: 1. Что изучает комбинаторика? 2. Сформулируйте правило суммы в комбинаторике. 3. Что называют перестановкой из n элементов? 4. Сколькими способами можно распределить 5 билетов между 5 друзьями? 5. Разложите по формуле бином третьей степени (2𝑎 + 3𝑏) 3 6. Как найти вероятность наступления одного из несовместимых событий A и B? Одного из совместимых событий A и B? 7. Как найти вероятность наступления двух независимых событий A и B? Двух зависимых событий A и B? 8. Найдите размах, моду, медиану и среднее значение ряда: 1; -1; -10; 2; 1; 8; 9; 4; 1; -5; 12; 3; 9; 2. |