Лабы Антонова. Тема Решение задач вычислительными методами. Основные понятия

• Название: Тема Решение задач вычислительными методами. Основные понятия
• Дата: 24.10.2018
• Размер: 1.35 Mb.
• Имя файла: Лабы Антонова.pdf
• Тип: Решение; #54374
• страница: 5 из 5

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге - Кутта имеет четвер- тый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид
R

15 1
|y
2
/
h
i
- y
h
i
|. (6.18)
Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления реше- ния задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью

.
Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y
2
/
h
i
, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекра- щаются тогда, когда будет выполнено условие:
R

15 1
|y
2
/
h
i
- y
h
i
| <

. (6.19)
Приближенным решением будут значения y
2
/
h
i
, i = 0, 1, …, n.
Пример 6.4.
Методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке [0, 1] сле- дующей задачи Коши.
y' (t) = 2ty, y(0) = 1. (6.20)
Возьмем шаг h = 0.1. Тогда n =
1 0
0 1 
= 10.
В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:
y
i+1
= y
i
+
6 1
h(k
1
i
+ 2k
2
i
+ 2k
3
i
+ k
4
i
),
k
1
i
= 2t
i
y
i
,
k
2
i
= 2(t
i
+
2
h
)(y
i
+
2
h
k
1
i
), (6.21)
k
3
i
= 2(t
i
+
2
h
)(y
i
+
2
h
k
2
i
),
k
4
i
= 2(t
i
+h)(y
i
+ hk
3
i
),
i = 0, 1, …, 10.
Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e
2
t
, поэтому погрешность определяется как аб- солютная величина разности между точными и приближенными значениями

i
= | y(t
i
) – y
i
|.
Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения y
i
и их погрешности

i
представлены в таблице 6.5:
Таблица 6.5
t
i
y
i

i
t
i
y
i

i
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.01005 1.04081 1.09417 1.17351 1.28403 10
-9 410
-9 210
-8 610
-8 210
-7 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.43333 1.63232 1.89648 2.24790 2.71827 510
-7 210
-6 310
-6 610
-6 210
-5

Задачи к зачету по курсу “Вычислительные методы”
Указание. Каждый студент вначале должен определить параметр своего контрольного за- дания, s = log
10
(1 +
k
), где k - номер студента в списке группы, k = 1, 2, … Решение задач должно быть оформлено аккуратно и содержать все промежуточные расчеты. В качестве образца можно взять примеры, рассмотренные в соответствующих разделах методических указаний.
1. Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения
4(1 – x
2
) – e
x
= s с точностью

= 10
-3 2. Методом Зейделя решить систему уравнений с точностью

=10
-3 6.2+s 2.2+s 1.2+s 16.55+s
A = 2.2+s 5.5+s -1.5+s , b = 10.55+s .
1.2+s -1.5+s 7.2 +s 16.80+s
3. Найти приближение функции f(x) = e
sx на отрезке [0, 1] многочленом Тейлора с точно- стью

= 10
-3
. Вычислить e
s
.
4. Вычислить приближенно по формуле средних прямоугольников интеграл
xdx
sx
1 0
1


при n
= 4 и оценить погрешность результата.
5. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши
y'
= 2sy; y(0) = 1, на отрезке [0, 1] с шагом h = 0.2.
Сравнить с точным решением.
Указания к выполнению лабораторных работ
Программой курса предусмотрено проведение четырех лабораторных работ. Лабораторные работы ориентированы на использование системы Maple.
Система Maple V была создана группой символьных вычислений в 1980 году в университе- те Waterloo, Канада. В конце 1997 года вышла реализация Maple V R5.
Maple V принадлежит к классу прикладных программных пакетов, объединенных под об- щим названием Computer Algebra Systems (CAS) - системы компьютерной алгебры. Самым важным отличием Maple от таких пакетов как MathCad, MatLAB, Mathematica, является то, что она была изначально задумана как символьный пакет. Как и любой представитель данного семейства про- дуктов, Maple ориентирована на решение широкого ряда математических проблем. Она включает в себя большое количество специальных пакетов для решения задач линейной и тензорной алгебры, евклидовой и аналитической геометрии, теории чисел, теории графов, теории вероятностей, мате- матической статистики, комбинаторики, теории групп, численной аппроксимации и линейной оп- тимизации, задач финансовой математики и многих других.
В основу Maple положен алгоритмический язык высокого уровня, предназначенный для ре- ализации обычного процедурного программирования. Maple-язык "понимает" все стандартные объекты типа циклов (while, for), операторов условного перехода (if-then-else), массивов (array), списков (list), наборов (set), таблиц и т.д. Есть также возможность работы с файлами, что позволяет строить системы, состоящие из множества модулей, подгружая необходимые процедуры в процес- се выполнения программы, а также реализовывать ввод и вывод больших объемов данных. Реали- зованы также все стандартные процедуры обработки строковой информации.
Применение Maple в образовании способствует повышению фундаментальности математи- ческого образования и сближает нашу образовательную систему с западной.
Лабораторные работы предполагают использование встроенных функций Maple, позволяю- щих решать основные задачи курса "Вычислительные методы".
В задачах используется параметр n – номер студента в списке группы.
Лабораторная работа №1.
Решение нелинейных уравнений и систем линейных уравнений.
Используемые функции: solve, fsolve, plot.
1. Найти точное решение уравнения:5x
2
+2x – n = 0.

2. Найти приближенное решение этого же уравнения.
3. Построить график левой части уравнения.
4. Найти приближенное решение уравнения x
2
e
x
– n = 0.
5. Построить график левой части уравнения.
6. Найти точное решение системы уравнений.
2x
1
+ 6x
2
– x
3
= –12 + n
5x
1
– x
2
+ 2x
3
= 29 + n
–3x
1
– 4x
2
+ x
3
= 5 + n
7. Найти приближенное решение этой же системы уравнений.
Лабораторная работа №2.
Построение интерполяционных многочленов.
Используемые функции: interp, plot, subs.
1. Найти приближение функции, заданной в точках, многочленом, значения которого сов- падают со значениями функции в указанных точках.
x 1 3 5 7 9
y 0+n 4+n 2+n 6+n 8+n
2. Построить график полученного интерполяционного многочлена .
3. Найти значение функции в точке x = 6.
Лабораторная работа №3.
Вычисление определенных интегралов.
Используемые функции: int, plot, evalf.
1. Найти аналитическое выражение для неопределенного интеграла

dx
nx))
sin(ln(
2. Построить графики найденного интеграла - красным цветом и подинтегральной функции
- синим цветом.
3. Вычислить значение этого интеграла в пределах от 2 до n + 2:

2 2
))
sin(ln(
n
dx
nx
4. Вычислить приближенное значение интеграла
dx
nx
e
n
x
)
sin(
2 2
2



Лабораторная работа №4.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Используемые функции: dsolve, plot, odeplot, op, with.
1. Найти аналитическое решение задачи Коши: y'(t) = (1/n)(t + y), y(0) = n.
2. Построить график найденного решения на отрезке [0, n].
3. Найти численное решение задачи Коши y'(t) = sin(ny(t))+t
2
), y(0) = n в точках t = 1 и t =
2.
4. Построить график найденного решений на отрезке [0, 5].
Указания к выполнению курсовых работ
Цель курсовой работы – приобретение студентами практического опыта реализации на
ЭВМ алгоритмов численных методов для конкретных задач. Язык программирования выбирает студент.
Требования к выполнению курсовой работы
Результаты курсовой работы оформляются в виде отчета. Отчет по курсовой работе должен содержать следующие разделы:
1. Постановка задачи.
2. Описание математического метода.

3. Описание алгоритма реализации математического метода в виде блок-схемы или по ша- гам.
4. Листинг программы.
5. Контрольный пример. Анализ полученных результатов.
Темы курсовых работ
Решение нелинейных уравнений
Указание. В курсовых работах 1 – 10 необходимо проанализировать два предложенных ме- тода решения нелинейных уравнений, написать алгоритмы и программы этих методов. С помощью этих программ решить контрольный пример, предварительно локализовав корни уравнения (п. 2.2).
Дать сравнительный анализ полученных результатов.
1. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом простых итераций.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x
5
– x – 1 = 0 с точно- стью

= 10
-5
Указание. При применении метода простых итераций преобразовать исходное уравнение так, чтобы итерационный процесс сходился (п. 2.4).
2. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом секущих.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x
3
– 4x
2
+ 2 = 0 с точностью

= 10
-5 3. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом Ньютона.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x
3
+ 3x
2
– 1 = 0 с точностью

= 10
-5 4. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом ложного положения.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x
3
+ 3x
2
– 1 = 0 с точностью

= 10
-5 5. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и методом Ньютона.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x = 0.5





 
x
x
6 0
с точностью

= 10
-5 6. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и методом секущих.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x = 0.5





 
x
x
7 0
с точностью

= 10
-5 7. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и методом ложного положе- ния.
Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x = 0.5





 
x
x
8 0
с точностью

= 10
-5 8. Решение нелинейных уравнений методом секущих и методом Ньютона.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x
3
+ 3x
2
– 3 = 0 с точностью

= 10
-5 9. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона и методом ложного положения.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x
3
+ x
2
– 10x +8 = 0 с точностью

= 10
-5 10. Решение нелинейных уравнений методом секущих и методом ложного положения.
Контрольный пример. Найти три корня уравнения x
3
– x
2
– 4x +4 = 0 с точностью

= 10
-5
Решение систем линейных алгебраических уравнений
11. Решение системы линейных алгебраических уравнений простым методом исключения
Гаусса.
Контрольный пример. Решить систему уравнений
2.1x
1
–4.5x
2
– 2.0x
3
= 19.07 3.0x
1
+ 2.5x
2
+ 4.3x
3
= 3.21
–6.0x
1
+ 3.5x
2
+ 2.5x
3
= –18.25

12. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
Контрольный пример. Решить систему уравнений
1.00x
1
+ 0.42x
2
+ 0.54x
3
+ 0.66x
4
= 0.3 0.42x
1
+ 1.00x
2
+ 0.32x
3
+ 0.44x
4
= 0.5 0.54x
1
+ 0.32x
2
+ 1.00x
3
+ 0.22x
4
= 0.7 0.66x
1
+ 0.22x
2
+ 1.00x
3
– 1.0x
4
= 0.9 13. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций Яко- би.
Контрольный пример. Решить систему уравнений с точностью

= 10
-5
–3.0x
1
+0.5x
2
+ 0.5x
3
= –56.65 0.5x
1
– 6.0x
2
+ 0.5x
3
= –160 0.5x
1
+ 0.5x
2
– 3.0x
3
= –210 14. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.
Контрольный пример. Решить систему уравнений с точностью

= 10
-5 10x
1
+2x
2
+ x
3
= 10
x
1
+ 10x
2
+ 2x
3
= 12
x
1
+ x
2
+ 10x
3
= 8 15. Вычисление определителя методом исключения Гаусса.
Контрольный пример. Вычислить определитель det A =
3.0 1.5 0.1 1.0 0.4 0.5 4.0 6.5 0.3 1.2 3.0 0.7 1.8 2.2 2.5 1.4 16. Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса.
Контрольный пример. Вычислить обратную матрицу A
-1 для матрицы A =
6.4375 2.1849 –3.7474 1.8822 2.1356 5.2101 1.5220 –1.1234
–3.7362 1.4998 7.6421 1.2324 1.8666 –1.1004 1.2460 8.3312 17. Интерполяция функции многочленами Лагранжа.
Контрольный пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции y =
e
2
x

по точкам, заданным таблицей
x
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
e
2
x

1.0000000 0.9394131 0.7788008 0.7389685 0.3678794
Оценить погрешность интерполяции на отрезке [0, 1]. Вычислить y(0.4) и y(0.8).
18. Метод наименьших квадратов. Линейная и квадратичная аппроксимация
Численное интегрирование функций одной переменной
Указание. В курсовых работах 19 – 22 необходимо проанализировать предложенные мето- ды численного интегрирования функций одной переменной, написать алгоритмы и программы этих методов. С помощью этих программ решить контрольный пример. Проконтролировать погреш- ность, использовав правило Рунге (п. 5.5). Если можно, вычислить точное значение интеграла. Дать сравнительный анализ полученных результатов.
19. Решение задачи численного интегрирования методом средних, левых и правых прямо- угольников.
Контрольный пример. Вычислить


1 4
e
x
dx
, n = 10.
20. Решение задачи численного интегрирования методом средних прямоугольников и тра- пеций.

Контрольный пример. Вычислить


1 0
1
x
dx
, n = 10.
21. Решение задачи численного интегрирования методом средних прямоугольников и
Симпсона.
Контрольный пример. Вычислить



1 0
1
)
1
ln(
dx
x
x
, n = 10.
22. Решение задачи численного интегрирования методом трапеций и Симпсона.
Контрольный пример. Вычислить

2 0
sin

xdx
, n = 10.
Численное решение дифференциальных уравнений
Указание. В курсовых работах 23 – 26 необходимо проанализировать предложенные мето- ды численного решения задачи Коши, написать алгоритмы и программы этих методов. С помощью этих программ решить контрольный пример. Проконтролировать погрешность, использовав прави- ло Рунге (пп. 6.2, 6.3, 6.4). Найти точное решение. Дать сравнительный анализ полученных резуль- татов.
23. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений простым мето- дом Эйлера и первым модифицированным методом Эйлера.
Контрольный пример.Найти численное решение задачи Коши
y
'
= y
3
, y(0) = 0.5 на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.
24. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений простым мето- дом Эйлера и вторым модифицированный метод Эйлера – Коши.
Контрольный пример.Найти численное решение задачи Коши
y
'
= t
2
, y(0) = 1 на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.
25. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первым моди- фицированным методом Эйлера и вторым модифицированный метод Эйлера – Коши.
Контрольный пример.Найти численное решение задачи Коши
y
'
= sint, y(0) = 1 на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.
26. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений простым мето- дом Эйлера и методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности.
Контрольный пример.Найти численное решение задачи Коши
y
'
= 2cost, y(0) = 0. на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.
Краткие сведения о математиках
Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) – немецкий математик и физик, работы которого оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, геометрии, теории чисел, теории электричества и магнетизма.
Зейдель Людвиг (1821 – 1896) – немецкий астроном и математик.
Коши Огюстен Луи (1789 – 1857) – французский математик, один из создателей современ- ного математического анализа, теории дифференциальных уравнений и др.
Крамер Габриэль (1704 – 1752) – швейцарский математик.
Кутта В. М. (1867 – 1944) – немецкий математик.
Лагранж Жозеф Луи (1736 – 1813) – французский математик, механик и астроном. Один из создателей математического анализа, вариационного исчисления, классической аналитической ме- ханики.
Липшиц Рудольф (1832 – 1903) – немецкий математик.

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 – 1716) – немецкий математик, физик и философ. Один из создателей дифференциального и интегрального исчислений.
Ньютон Исаак (1643 – 1727) – английский физик, механик, астроном, заложивший основы современного естествознания.
Рунге Карл Давид Тольме (1856 – 1927) – немецкий физик и математик.
Симпсон Томас (1710 – 1761) – английский математик.
Тейлор Брук (1685 – 1731) – английский математик и философ. Широко известная формула разложения функции в степенной ряд была получена им в 1712 г.
Эйлер Леонард (1707 – 1783) – математик, физик, механик, астроном. Родился в Швейца- рии, с 1726 по 1741 г. и с 1776 по 1783 г. работал в России.
Якоби Карл Густав Якоб (1804 – 1851) – немецкий математик.
Список литературы
1. Амосов А. А. , Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инжене- ров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994.
2. Бахвалов Н. С. Численные методы. – М.: Наука, 1973.
3. Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, 1987.
4. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. – М.: Изд-во "СОЛОН", 1998.
5. Калиткин Н. Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.
6. Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.:
Наука, 1972.
7. Пирумов У.Г. Численные методы.: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 1998.