СОВРЕМЕННЫЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ СРЕДСТВА РЕШЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. Lec_1_Современные компьютерные средства. Тема современные компьютерные средства решения физических и математических задач
 Скачать 436.7 Kb.
|
|
ТЕМА 1. СОВРЕМЕННЫЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ СРЕДСТВА РЕШЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В последнее время бурное развитие получило новое, актуальное научное направление – компьютерная математика. Ее можно определить как совокупность теоретических, алго- ритмических, аппаратных и программных средств, предназначенных для эффективного ре- шения на компьютерной технике всех видов математических задач, включая символьные преобразования и вычисления с высокой степенью визуализации всех видов вычислений. Применение компьютерной математики существенно расширяет возможности автоматизации всех этапов математического моделирования. Возможны два подхода к компьютерной реализации моделей и решению задач компью- терными методами. Первый подход. Для проведения вычислений пользователь должен освоить азы алгорит- мизации, изучить один или несколько языков программирования, таких, как Бейсик, Паскаль, Фортран, СИ, а также численные методы расчётов Второй подход заключается в использовании готовых программ и сводится к созданию блочной компьютерной модели. Для облегчения расчетов были созданы специализированные программные комплексы для автоматизации математических и инженерно-технических рас- чётов: Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive и другие. Система MathCAD занимает особое место среди множества таких систем и по праву мо- жет называться самой современной, универсальной и массовой физико - математической сис- темой. Название системы представляет собой аббревиатуру выражения Mathematical Com- puter Aided Design (математическое автоматизированное проектирование), что говорит о на- значении системы – решение различных вычислительных задач. Отличительной чертой Mathcad от большинства других современных математических приложений является его по- строение по принципу WYSIWYG ("What You See Is What You Get" — "что вы видите, то и получите"). Она позволяет выполнить как численные, так и аналитические (символьные) вы- числения, имеет удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства графики. Система MathCAD изначально создавалась для численного решения математических за- дач (1988), и только начиная с 1994 г. в нее интегрированы инструменты символьной матема- тики системы Maple фирмы Waterloo Maple (www.maplesoft.com), что постепенно превратило Mathcad в универсальный инструмент решения математических задач. В 2006 году систему и торговую марку Mathcad приобрела фирма РТС (www.pts-russia.com/about/about_ptc.htm), ос- новным «фирменным» продуктом которой является программа Pro/ENGINEER. В связи с этим сейчас ведется работа по интеграции системы Mathcad и программы Pro/ ENGINEER. Сменился также и разработчик ядра символьных преобразований. Им стала фир- ма SciFace Software (www.mupad.de/). На рис. приведена архитектура СКМ MathCad. Центральным блоком являются два ядра: собственно ядро СКМ и ядро символьных вычислений. В состав Mathcad входят несколько интегрированных между собой компонентов: мощный текстовый редактор, позволяющий вводить, редактировать и форматировать как текст, так и математические выражения; вычислительный процессор, умеющий проводить расчеты по введенным формулам, ис- пользуя встроенные численные методы; символьный процессор, позволяющий проводить аналитические вычисления и являю- щийся, фактически, системой искусственного интеллекта; огромное хранилище справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в качестве интерактивной электронной книги. ОСНОВНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ СКМ MATHCAD 1. Численные вычисления 1. Решение уравнений и систем уравнений, как линейных, так и нелинейных. Нахождение корней многочлена. 2. Решение неравенств. 3. Вычисление определенного интеграла. 4. Вычисление несобственных интегралов. 5. Вычисление кратных интегралов. 6. Численные методы дифференцирования. 7. Вычисление суммы и произведения членов ряда. 8. Решение оптимизационной задачи методом линейного программирования. 2. Символьные вычисления 1. Символьные преобразования математических выражений целиком или их фрагментов: 2. Аналитическое решение уравнений и систем уравнений. 3. Дифференцирование в символьной форме определение производных любых порядков. 4. Аналитическое определение первообразной. 5. Аналитическое вычисление определенного интеграла. 6. Символьное вычисление кратных интегралов. 7. Решение неравенств. 8. Аналитическое вычисление предела. 9. Аналитическое вычисление суммы ряда конечного или бесконечного. 10. Аналитическое вычисление произведения членов ряда конечного или бесконечного. 11. Разложение в ряд Тейлора и Фурье. 12. Символьное преобразование Фурье и Лапласа – прямое и обратное. 13. Операции с матрицами в символьной форме: умножение и сложение матриц, поиск об- ратной матрицы, вычисление определителя, поиск собственных значений и собственных век- торов. 3. Работа с матрицами и матричные вычисления 1. Элементарные матричные действия: создание, импорт, заполнение матриц, задание мат- риц специального вида, умножение, сложение, транспонирование и сортировка матрицы в целом или ее фрагмента. Выполнение векторизации – однотипных действий над всеми эле- ментами матрицы. 2. Вычисление определителя, размерности, ранга и следа матрицы, скалярное и векторное умножение векторов, вычисление якобиана, например, для перехода к другим системам коор- динат в тройном интеграле. Вычисление собственных значений и собственных векторов, по- иск максимального и минимального элемента матрицы. 3. Матричные преобразования: скалярное и векторное умножение векторов, поиск обрат- ной матрицы и решение системы алгебраических линейных уравнений, всевозможные разло- жения матрицы на произведение матриц специального вида: двух треугольных – верхней и нижней (LU-преобразование), треугольной и ее же транспонированной (разложение Холецко- го), ортогональной и верхней треугольной (QR-разложение), сингулярное разложение. 4. Интегрирование среды MathCad с матричной математической системой MATLAB и воз- можность использования ее аппарата открывает удивительные возможности эффективного решения матричных задач неограниченной сложности. 4. Решение дифференциальных уравнений 1 Численное решение ОДУ – задача Коши. 2 Численное решение ОДУ – решение краевой задачи. 3 Решение дифференциальных уравнений в частных производных. 5.Программирование Составление программ и выполнение расчетов на упрощенном процедурном алгоритми- ческом языке с возможностью использования всех процедурных конструкций: условных опе- раторов, циклов, массивов, модуль-функций, модуль-процедур. 6. Обработка данных и финансовые расчеты 7. Теория вероятностей и математическая статистика 8. Математическое моделирование 9. Специальные возможности по прикладным инженерным и научным расчетам 1. Обработка электрических сигналов и расчет электронных устройств. 2. Виртуальная генерация электрических сигналов и их обработка. ИНТЕРФЕЙС СКМ MATHCAD ГРАФИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА СКМ МATHCAD Для создания графиков в среде MathCad имеется встроенный программный инструмент – графический процессор СПРАВОЧНАЯ СИСТЕМА И ПАКЕТЫ РАСШИРЕНИЯ СКМ MATHCAD |