Задание 9. Теоретические основы и примеры расчётов системы эконометрических уравнений. Проблема идентификации
 Скачать 393.77 Kb.
|
|
Задание 9. Рассмотрите предложенные примеры и выполните задания ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ПРИМЕРЫ РАСЧЁТОВ Системы эконометрических уравнений. Проблема идентификации При изучении сложных систем для их описания и объяснения механизмов их функционирования недостаточно построения изолированных уравнений регрессии. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов, в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако, это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменение во всей системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Этим объясняется необходимость использования не отдельных уравнений, а их систем. Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена различными способами: 1. Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная рассматривается как функция одного и того же набора факторов, модель (1): Примером такой модели может служить модель экономической эффективности сельскохозяйственного производства, где в качестве зависимых переменных выступают показатели эффективности производства (производительность, себестоимость продукции и т.д.), а в качестве факторов – характеристики самого хозяйства (количество голов скота, площадь пашни и т.д.). Для системы независимых уравнений каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются обычным образом по одношаговому методу наименьших квадратов (1МНК). 2. Также возможна система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении, модель (2). y 1 =a 11 *x 1 +a 12 *x 2 +…+a 1m *x m +e 1 y 1 =a 11 *x 1 +a 12 *x 2 +…+a 1m *x m +e 1 …….. y n =a n1 *x 1 +a n2 *x 2 +…+a nm *x m +e n (1) y 2 =b 21 *y 1 +a 21 *x 1 +a 22 *x 2 +…+a 2m *x m +e 2 y 3 =b 31 *y 1 +b 32 *y 2 +a 31 *x 1 +a 32 *x 2 +…+a 3m *x m +e 3 …... y n =b n1 *y 1 +b n2 *y 2 +…+b nn-1 *y n-1 +a n1 *x 1 +a n2 *x 2 +…+a nm *x m +e n Для решения этой системы и нахождения ее параметров также используется 1МНК. 3. Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимосвязанных (одновременных) уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные (y) в одних уравнениях входят в левую часть системы, а в других – в правую часть, модель (3). Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные (у) одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. Данная система уравнений называется структурной формой модели. Эндогенные переменные (у) – взаимосвязанные переменные, которые определяются внутри модели (системы). Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы. Предопределенные переменные (х) – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы. Коэффициенты a и b при переменных – структурные коэффициенты модели. Запишем данную модель в матричном виде, формула (4). BY + AX = E, (4) где В – матрица порядка n на n коэффициентов при n эндогенных переменных; А- матрица порядка n на m коэффициентов при m предопределѐнных переменных (в состав этих коэффициентов включѐн и свободный член); Y- вектор-столбец эндогенных переменных; X- вектор-столбец предопределѐнных переменных; E - вектор-столбец случайных последовательно некоррелированных ошибок с нулевыми средними. Система взаимосвязанных уравнений получила название системы одновременных (совместных) уравнений. Каждое уравнение такой системы не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный 1МНК неприменим. С этой целью используются его модификации: косвенный, двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов. Если матрица В невырожденная (существует обратная матрица В -1 ), тогда система (3,4) имеет приведѐнную форму (5). Система линейных функций y 1= b 12 *y 2 +b 13 *y 3 +…+b 1n *y n +a 11 *x 1 +a 12 *x 2 +…+a 1m *x m +e 1 y 2 =b 21 *y 1 +b 23 *y 3 +…+b 2n *y n +a 21 *x 1 +a 22 *x 2 +…+a 2m *x m +e 2 ... y n =b n1 *y 1 +b n2 *y 2 +…+b nn-1 *y n-1 +a n1 *x 1 +a n2 *x 2 +…+a nm *x m +e n (2) (3) эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы является приведенной формой модели. 1 1 2 12 1 11 1 m m x p x p x p y (5) 2 2 2 1 1 m nm n n n x p x p x p y , где p ij - коэффициенты приведенной формы модели. Идентификация модели Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила: D+1=H –уравнение точно идентифицируемо; D+1 Где Н – число эндогенных переменных в уравнении, D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе. Уравнение структурной формы называется: 1. Точно идентифицируемымD+1=H – если все участвующие в нем неизвестные коэффициенты однозначно восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы. Для решения системы точно идентифицируемых уравнений применяется косвенный МНК (КМНК) 2. Сверхидентифицируемым– если все участвующие в нем неизвестные коэффициенты восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы, причем некоторые из них могут принимать одновременно несколько значений. Для решения сверхидентифицируемых уравнений применяется двухшаговый МНК(2МНК) 3. Неидентифицируемым– если хотя бы один из участвующих в нем неизвестных коэффициентов не может быть восстановлен по коэффициентам приведенной формы. Эконометрическая модель называется точно идентифицируемой, если все уравнения ее структурной формы являются точно идентифицируемыми. Эконометрическая модель называется неидентифицируемой, если хотя бы одно уравнение ее структурной формы является неидентифицируемым. Запишем приведѐнную систему в матричной форме (6): Y = P*X + V, (6) где P- матрица коэффициентов порядка n на m приведѐнной формы; X- вектор-столбец предопределѐнных переменных; V- вектор случайных составляющих (ошибок) приведѐнной системы. Имеет место соотношение коэффициентов приведѐнной и структурной формы, формула (7). P=-В -1 A, (7) Все условия Гаусса-Маркова выполняются. Имеет место соотношение ошибок приведѐнной и структурной формы, формула (8). Е B V 1 . (8) 2.2. Методы решения систем одновременных уравнений: КМНК и 2МНК Косвенный МНК (КМНК) КМНК применяется в случае точно идентифицируемой модели для одновременного оценивания коэффициентов всех уравнений системы. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов: 1. Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров для каждого ее i-го уравнения обычным 1МНК: i T T i y X X X p ) ( ˆ , i pˆ - вектор оценок параметров i-го уравнения системы приведѐнной формы), i=1…n. Пример 1. Пусть дана система одновременных уравнений: 1 2 2 1 x y y ; 2 3 1 2 x y y Приведѐм еѐ к структурному виду, введя обозначения: 0 ; 1 ; 1 ; ; ; 13 11 1 12 12 11 a b x a b a 1 ; 0 ; ; ; 22 22 23 21 21 b a a b a 1 3 2 12 11 2 12 1 0 1 1 x x a a y b y ; 1 3 2 12 11 2 12 1 0 1 1 x x a a y b y ; 2 3 23 2 21 1 21 2 0 1 1 x a x a y b y 2 3 23 2 21 2 1 21 0 1 1 x a x a y y b тогда 1 1 B 21 12 b b 23 21 12 11 0 0 A a a a a 2 1 2 1 2 1 x x A y y B Отметим, что оба уравнения точно идентифицируемы : 1: D+1=H=2, 2: D+1=H=2. Следовательно, для решения системы применяем КМНК. Составим приведѐнную форму данной системы : 1 3 13 2 12 1 11 1 x p x p x p y ; 2 3 23 2 22 1 21 2 x p x p x p y Пусть методом 1МНК, формула (9), были получены оценки параметров приведѐнной формы системы, тогда она примет вид: 1 3 2 1 3 2 1 x x y ; 2 3 2 2 4 1 2 x x y 2. Путем алгебраических преобразований переходим от уравнений приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров. Воспользовавшись формулой (7), найдѐм структурные параметры через приведѐнные, P. 12 21 23 12 21 12 21 12 21 21 11 21 12 21 23 12 12 21 12 12 21 21 12 11 23 21 12 11 12 21 12 21 21 12 21 12 12 21 23 21 12 11 1 21 12 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 4 1 2 3 2 1 b b a b b a b b b a a b b b a b b b a b b a b a a a a a b b b b b b b b b b a a a a b b Подставим в приведѐнную форму модели полученные выражения: 1 3 12 21 23 12 2 12 21 12 12 21 21 12 11 1 1 1 1 x b b a b x b b a b b a b a y ; 2 3 12 21 23 2 12 21 12 21 12 21 21 11 21 2 1 1 1 x b b a x b b a b b b a a b y 1 1 12 21 21 12 11 b b a b a ; 2 1 12 21 12 b b a ; 3 1 12 21 23 12 b b a b ; ; 5 , 2 ; 25 , 1 ; 75 , 0 ; 5 , 2 ; 5 , 0 ; 5 , 2 23 12 12 21 21 11 a a b a b a 2 1 12 21 21 11 21 b b a a b ; 1 1 12 21 12 21 b b a b ; 4 1 12 21 23 b b a Тогда структурная форма примет вид: 1 2 2 1 25 , 1 5 , 2 75 , 0 x y y ; 2 3 1 2 5 , 2 5 , 2 5 , 0 x y y Воспользовавшись формулой (8), выразим ошибки структурной формы системы через ошибки приведѐнной: 12 21 2 1 21 12 21 2 12 1 2 1 12 21 12 21 21 12 21 12 12 21 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b b b b b b b b b b b b b b b 12 21 2 12 1 1 1 b b b ; 2 1 1 75 , 0 625 , 0 ; 1 2 2 5 , 0 ; 12 21 2 1 21 2 1 b b b 2 1 2 5 , 0 625 , 0 2 1 1 75 , 0 Тогда получим следующие параметры и ошибки системы структурной формы: 2 1 2 2 1 75 , 0 25 , 1 5 , 2 75 , 0 x y y ; 1 2 3 1 2 5 , 0 5 , 2 5 , 2 5 , 0 x y y Двухшаговый МНК (2МНК) Данный метод используется для оценивания коэффициентов отдельного уравнения системы. Основная идея 2МНК — на основе приведенной формы модели получить для отдельного уравнения сверхидентифицируемой системы теоретические значения (оценки) эндогенных переменных i , содержащихся в правой части уравнения. Запишем каждое уравнение сверхидентифицируемой системы структурной формы (3) в виде, представленном формулой (10). i i i i i i y , (10) i y – вектор значений одной эндогенной переменной в левой части уравнения; i - матрица значений оставшихся эндогенных переменных в правой части і-го уравнения; i - матрица значений предопределѐнных переменных і-го уравнения. Эндогенные регрессоры ( i в правой части уравнения) «очищаются» от влияния возмущений i , т.е. проводится регрессия каждого столбца матрицы i на все предопределѐнные переменные - методом 1МНК оцениваются параметры модели (11). i i i V P , (11) где i P – подматрица матрицы P параметров приведенной формы, соответствующих эндогенным переменным, включѐнным в правую часть i-го структурного уравнения; i V - подматрица матрицы V , соответствующая темже эндогенным переменным. - матрица значений всех предопределѐнных переменных системы. Затем рассчитываются значения i , формула (12). i i P ˆ (12) Далее, осуществляется регрессия (10) с заменой в правой части i на i , т.е. строятся 1МНК оценки структурных параметров i i , в регрессии (13). i i i i i i y ˆ (13) Метод получил название двухшагового МНК, поскольку дважды используется 1МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной m im i i i x p x p x p y 2 2 1 1 ˆ и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при опре- делении структурных параметров модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных. Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов: • все уравнения системы сверхидентифицируемы; • система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения. В обоих случаях для оценки структурных параметров к каждому уравнению системы может применяться 2МНК метод. Пример 2. Опустим свободный член в первом уравнении системы в примере 1, тогда первое уравнение станет сверхидентифицированным (D=2+1=3)>(H=2), а второе останется точно идентифицированным (D+1=H=2). Оценим методом 2МНК параметры первого уравнения (параметры второго могут быть найдены аналогичным образом). Также используем другие исходные данные по x 1 ,x 2 , x 3 , y 1, y 2 , представленные в таблице 1. Таблица 1 – Исходные данные для примера 2 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 2 ˆy 1 1 2 1 1 1,056574448 1 1 3 2 2 1,93472179 1 4 8 8 8 8,011967672 1 12 4 5 9 8,99673609 1 2 2 1 x y y ; 2 3 1 2 x y y Представим систему в структурном виде (3): 0 ; 1 ; 1 ; ; ; 0 13 11 1 12 12 11 a b x a b a 1 ; 0 ; ; ; 22 22 23 21 21 b a a b a 1 3 2 12 1 2 12 1 0 0 1 x x a x y b y ; 1 3 2 12 1 2 12 1 0 0 1 x x a x y b y ; 2 3 23 2 21 1 21 2 0 1 1 x a x a y b y 2 3 23 2 21 2 1 21 0 1 1 x a x a y y b Также представим систему в приведѐнной форме (5): 1 3 12 2 12 1 11 1 x p x p x p y ; 2 3 23 2 22 1 21 2 x p x p x p y Используя данные таблицы 1 и метод 1МНК для расчѐта параметров, формула (9), получим: 0,050357 0,00528 - 0,19024 - 0,00528 - 0,0129 0,03559 - 0,19024 - 0,03559 - 1,218682 ) ( 1 X X T , для первого уравнения: 92 95 16 1 y X T , для второго уравнения: 108 143 20 2 y X T , и следующую приведѐнную форму системы: 1 3 2 1 1,087038 0,169879 -1,38436 x x y ; 2 3 2 2 0,878147 0,56217 -1,26189 x x y Найдѐм оценки (модельные значения) 2 ˆy по второму уравнению приведѐнной формы и запишем их в таблицу 1. Представим первое уравнение структурной формы 1 2 2 1 x y y в виде (10) , заменим у 2 его модельными значениями 2 ˆy , формула (13), и применим 1МНК. 0,038961 0,03715 - 0,03715 - 0,04208 ) ( 1 * * X X T , 95 114,0054 1 * y X T Получим первое структурное уравнение: 1 2 2 1 0,53341 - 1,268618 x y y , где 0,53341 ; 0 1,268618; 12 11 12 a a b Параметры 23 21 21 ; ; a a b второго точно идентифицируемого уравнения 2 3 1 2 x y y структурной системы могут быть найдены аналогичным образом методом 2МНК. Получим 2 3 1 2 72 , 2 32 , 3 31 , 3 x y y Тогда структурная форма системы примет вид: 1 2 2 1 0,53341 - 1,268618 x y y ; 2 3 1 2 72 , 2 32 , 3 31 , 3 x y y 2МНК является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Задания для самостоятельного выполнения Задание 1. Ответьте на вопросы: А) Какие Вы знаете системы эконометрических уравнений? Б) Когда используется 2МНК и КМНК для оценки параметров одновременных эконометрических уравнений? В) Рассматривается следующая модель краткосрочного равновесия типа IS-LM t t t t t t t t t t t t t t t t t t t r a y a m r y a nx r a a i y a c nx g i c y 4 41 41 40 3 32 31 31 2 21 21 1 11 11 , где эндогенными переменными являются валовый доход y, объѐм личных потребительских расходов с, объѐм инвестиций I, чистый экспорт nx и m – предложение денег. Экзогенные переменные: g- совокупные государственные расходы и ставка процента r. Опишите процедуру оценивания модели с помощью двухшагового метода наименьших квадратов. Г) Приведите пример системы одновременных уравнений, к которой можно применить косвенный МНК (с объяснением обозначений). Д) Приведите пример сверхидентифицируемой системы одновременных уравнений(с объяснением обозначений). Е) Рассмотрите модель 2 4 24 3 23 2 22 1 21 1 21 2 1 4 14 3 13 2 12 1 11 2 12 1 x a x a x a x a y b y x a x a x a x a y b y , где X – экзогенные переменные, а вектор Е – случайные последовательно некоррелированные ошибки с нулевыми средними. Обращая в нуль некоторые коэффициенты, определите три альтернативные структуры, для которых простейшими состоятельными процедурами оценивания являются соответственно обычный 1МНК, косвенный МНК и двухшаговый МНК. Ж) Имеется следующая макроэкономическая модель: g i c y y y a i y a c t 2 1 22 21 20 1 11 10 , где с, i, y- объѐм потребления, инвестиции и доход, соответственно, а y t-1 - доход предыдущего периода, g- государственные расходы. 1. Классифицируйте типы переменных; 2. Определите типы структурных уравнений; 3. Запишите модель в приведѐнной форме; 4. Определите метод оценки параметров структурной формы модели. Задание 2. По исходным данным таблиц 2 и 3 оценить параметры структурной формы следующей системы одновременных уравнений: 1 2 2 1 x y y ; 2 3 1 2 x y y Таблица 2 – Исходные данные x1 x2 x3 y1 1 2 2 1 1 1 3 2 1 4 8 8 1 12 4 5 Таблица 3 – Значения y 2 по вариантам Вариант y2 1 1 2 8 9 2 1 1 8 9 3 1 3 8 9 4 1 2 9 9 5 1 2 18 9 6 1 4 8 9 7 2 2 8 9 8 3 2 8 9 9 1 6 8 9 10 1 1 8 19 11 1 2 18 9 12 2 3 8 9 13 1 3 9 9 14 3 2 9 9 15 1 3 8 10 16 2 2 9 9 17 10 20 80 90 18 11 21 80 90 19 2 3 9 10 20 1 7 8 9 21 5 8 8 9 22 5 9 8 9 23 4 3 8 10 24 11 21 30 40 25 12 12 18 19 26 1 2 9 16 |