Теория матричных игр. Теория матричных игр
 Скачать 251 Kb.
|
Теория матричных игрОсновные понятия теории матричных игр Теория игр – математическая теория конфликтных ситуаций, целью которой является выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта. Конфликтная ситуация – это столкновение интересов двух или более сторон. Игра – это математическая модель конфликтных ситуаций, а также система предварительно оговоренных правил и условий. Партией называется частичная реализация правил и условий игры. Результатом игры всегда является число v, которое называется выигрышем, проигрышем или ничьей. если υ > 0 – выигрыш если υ < 0 – проигрыш если υ = 0 – ничья Партии состоят из ходов. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы бывают: личными – когда игрок сознательно выбирает и осуществляет тот или другой вариант действия (пример –– любой ход в шахматах); случайными – когда выбор осуществляется не волей игрока, а каким-то механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости). Игры бывают: парные – игра между двумя игроками; множественные – в них участники могут образовывать коалиции (постоянные или временные); кооперативные – играют более двух человек, которые образуют кооперации до конца игры; коалиционные – объединение, но не до конца игры; не коалиционные – с начала и до конца каждый играет сам за себя. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. В зависимости от стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется в распоряжении только конечное число стратегий (в противном случае игра называется бесконечной). Игра с нулевой суммой (один выиграл (υ), другой проиграл (- υ)) – это игра, в которой сумма выигрышей игроков равна нулю (υ+(- υ))=0 (т.е. каждый игрок выигрывает только за счет других). Самый простой случай – парная игра с нулевой суммой – антагонистическая игра, здесь два игрока четко играют друг против друга. Игры бывают с полной информацией, в этом случае игроки четко знают все правила игры и четко знают все шаги противника, и с неполной информацией. Результат игры записывается в платежную матрицу. Игра «орел - решка»
Нижней чистой ценой игры называется Верхней чистой ценой игры называется Элемент, стоящий на пересечении , называется седловым элементом матрицы. Задача теории игр – поиск оптимальных стратегий (решений). Решением игры называется пара оптимальных стратегий для игроков А и В, значение цены игры. Наличие седловой точки означает наличие равновесия в игре. Игра, для которой , называется игрой с седловой точкой, где называется ценой игры. Чистые и смешанные стратегии Чистой стратегией называют ход, выбранный с вероятностью 1. Смешанной стратегией игрока А называется вектор . Смешанной стратегией игрока В называется вектор платежная функция. чистая стратегия Пара стратегий называется оптимальной, если Теорема1 Средний выигрыш или проигрыш лежит между Теорема 2 (основная теорема теории игр). В терминах смешанных стратегий любая конечная игра имеет решение. Теорема 3 Для того, чтобы смешанные стратегии были оптимальными в матричной игре , необходимо и достаточно : Активной стратегией называется стратегия, входящая в оптимальную смешанную стратегию с ненулевой вероятностью. Теорема 4 Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его выигрыш остается неизменным и равен цене игры, не зависимо от того, какую стратегию принимает второй игрок, если только тот не выходит за пределы своих активных стратегий. Стратегия игрока А называется доминирующей над стратегией , если , а стратегия - доминируемой. - доминирующая над , если Пример: невыгодна Теорема 5 Оптимальные смешанные стратегии и в матричной игре (1) с ценой игры v будут оптимальными и в матричной игре (2) с ценой Доминируемые стратегии можно убирать из матрицы игры, от этого решение не изменится. Пример исследования матричной игры Решение матричной игры 22 аналитический метод решения |