Лекция. Тема 1. Система координат. Теория множеств, действительные числа, системы координат
 Скачать 4.61 Mb.
|
Теория множеств, действительные числа, системы координат. Определение Это совокупность объектов, называемых его элементами. Выражение a Î A означает, что элемент a принадлежит множеству A. В противном случае обозначают a Ï A Определение Множество, не содержащее элементов. Æ. Определение Множество B, состоящее из каких – либо элементов множества A Подмножество обозначается B Ì A , т.е. B содержится в A. Определение Множества A и B называются равными (A=B), если они состоят из одних и тех же элементов. Определение Множества A и B называются эквивалентными (A B ), если они состоят вообще говоря из разных элементов, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие. Определение Множество A называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел N={1,2,3,…} Множество чётных чисел {2,4,6,8…} является счётным множеством. Определение Множество, эквивалентное множеству точек на прямой линии. Множество точек окружности является континуальным. Операции над множествами 1. Объединением (суммой) множеств A и B называют множество 2. Пересечением (произведением) множеств A и B называют множество 3. Разностью множеств A и B называют множество { } B a A a|a B A Î Î = È или { } B a A a|a B A Î Î = Ç , { } B a A a|a A\B Ï Î = , Определение Символ $ называется квантором существования. Запись $x Î A: S(x) означает: существует (найдётся, можно указать) такой элемент x Î A , для которого выполняется утверждение S(x). Определение Символ " называется квантор всеобщности. Запись "x Î A: S(x) означает: для любого (для всех, для каждого) элемента x Î A имеет место утверждение S(x). Определение Совокупность всех целых положительных чисел (N={1, 2, 3,…}) Определение Совокупность, содержащую все положительные, отрицтальные целые числа и ноль, т.е. P={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} Определение Совокупность чисел, которые могут быть представлены в виде отношения целого числа к натуральному, т.е. в виде простых дробей, положительных и отрицательных { } N n P, p n, p q|q Q Î Î = = Действия с дробями 1. Деление на ноль невозможно; 2. Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, 3. Для сравнения, сложения или вычитания дробей их приводят к общему знаменателю, после чего действия выполняют над числителями, 4. Чтобы умножить дробь на дробь, умножают числитель на числитель и знаменатель на знаменатель, 5. Обратная дробь получается из данной, если числитель и знаменатель поменять местами. Чтобы разделить дробь на дробь, необходимо, умножить первую дробь (делимое) на дробь, обратную делителю, bc ac b a = db cb bd ad + bd ac d c b a = * bc ad d c : b a = Определение Числа , p , e, а также многие значения показательных, логарифмических, тригонометрических и иных функций, которые не являются рациональными, однако находят геометрическое место на числовой прямой (рис. 1). 2 1 2 Рис. 1. Изображение иррационального числа на числовой прямой 2 Определение Все рациональные и иррациональные числа. Определение Каждое действительное число имеет геометрическое место на числовой прямой. Такую прямую называют осью. Каждая точка числовой оси имеет действительную координату относительно некоторого начала, условно принимаемого за 0. Если a=M(x a ) и b=M(x b ) точки на прямой с координатами x a и x b соответственно, то расстояние |ab| между ними определяется как модуль (абсолютная величина) разности их координат, (рис.2). b a x x ab - = 0 M x a x a b a x Рис. 2. Координаты точек на плоскости Определение Число C=max(A) называется максимумом (наибольшим элементом) некоторого подмножества действительных чисел A, если C Î A и "x Î A: x £ C Определение Число C=min(A) называется минимумом (наименьшим элементом) A, если C Î A и "x Î A: C £ x Пример 1 Найти наибольшее и наименьшее значение отрезка Наибольшее значение - верхняя граница: Наименьшее значение – нижняя граница: [ ] b a ,x x A = A x b max = A x a min = Определение Число x b называют точной верхней гранью интервала и обозначают B x b sup = Определение Число x a называют точной нижней гранью интервала и обозначают B x a inf = Определение Это проекции (x a , y a ) заданной точки на две взаимно перпендикулярные числовые оси Ox и Oy: • точка пересечения Ox и Oy принимается за начало координат. • Проекции берутся с учётом знака Расстояние |ab| между точками a=M(x a , y a ) и b=M(x b , y b ) определяется как длина отрезка ab по теореме Пифагора (рис. 3) ( ) ( ) 2 2 a b a b y y x x ab - + - = Декартовы прямоугольные координаты точек на плоскости Рис. 3. Декартовы прямоугольные координаты точек на плоскости и расстояние между точками a Y X 0 b y a x a x b y b Определение 1. Расстояние r от точки M до начала координат O (полюса) 2. полярный угол j - угол между заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью), и прямой OM. Y M j 0 X r Рис. 4. Полярные координаты точки на плоскости Измерение углов 1. Углы измеряются в градусах, минутах, секундах. полный угол - 360 ° 2. Углы измеряются в радианах, т.е. величина угла – это количество радиусов, содержащихся в соответствующей дуге. p - число, равное отношению длины окружности к диаметру. Это число не зависит от величины диаметра и примерно равно p =3,1416… полный угол - 2 p В тригонометрии, как правило, применяют радианную меру угла. Основные тригонометрические функции угла При этом выполняется: A B C AB BC = j sin AB AC = j cos AC BC tg = j BC AC ctg = j j j j cos sin = tg j j tg ctg 1 = j Формулы тригонометрических функций суммы углов ( ) β α β α β α sin cos cos sin sin × + × = + ( ) β α β α β α sin sin cos cos cos × - × = + ( ) ( ) ( ) 2 , 1 , 0 , 2 , 1 = ± - ¹ + × - + = + k k tg tg tg tg tg p p b a b a b a b a где Связь декартовых прямоугольных координат и полярных координат точки Если принять начало координат за полюс, а ось Ox за полярную ось, взаимная связь декартовых координат и полярных координат точки может быть выражена следующими формулами j cos × = r x j sin × = r y 2 2 y x r + = x y tg = j Нахождение угла j Угол j может быть найден по значениям основных тригонометрических функций с помощью обратных тригонометрических (круговых) функций в виде ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = 2 2 sin y x y Arc j ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + = 2 2 cos y x x Arc j ÷ ø ö ç è æ = x y Arctg j ÷÷ ø ö çç è æ = y x Arcctg j Определение Декартова прямоугольная система координат состоит из трех взаимно перпендикулярных числовых осей (Ox, Oy , Oz), пересекающихся в начале координат. Координаты точки в этой системе - проекции точки на оси с учётом знака (x a , y a , z a ) Расстояние |ab| между точками a=M(x a , y a , z a ) и b=M(x b , y b , z b ) определяется как длина отрезка ab . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b a b a b z z y y x x ab - + - + - = Декартовы прямоугольные координаты точек в пространстве z y x z b z a 0 x a x b y b y a a b Рис. 5. Декартовы прямоугольные координаты точек в пространстве и расстояние между точками Определение Цилиндрические координаты точки M характеризуются: 1. проекцией на плоскость xOy в полярных координатах (r и j ) 2. параметром z – расстоянием от точки M до этой плоскости Цилиндрические координаты точки в пространстве z x y 0 r j Рис. 6. Цилиндрические координаты точки в пространстве M Выражение декартовых координат через цилиндрические Выражение цилиндрических координат через декартовы Связь декартовых прямоугольных и цилиндрических координат точки в пространстве j cos × = r x j sin × = r y z z = 2 2 y x r + = x y tg = j |