Теория нелинейной теплопроводности
 Скачать 1.22 Mb.
|
 Вводя новое независимое переменное (преобразованное время) по правилу  (3.4)получаем для функции  задачу (3.5)С точностью до обозначения временного переменного задача (3.5) соответствует задаче о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглощения. Единственное отличие состоит в том, что задача (3.5) сформулирована на конечном "временном" интервале. Поэтому, проведя обратное преобразование переменных, можно записать решение исходной задачи (3.1) в виде  (3.6) (3.7)Зависимости U(τ) и x0(τ) в (7.7) определены формулами в которых время t следует заменить на τ, понимая под τ = τ (t) преобразованное по закону  (3.8)временное переменное. При этом существенно, что преобразование  отображает полубесконечный интервал [0, +∞) по переменному t в ограниченный отрезок [0, τm) по переменному τ . Финитное решение (3.6) задачи (3.1) представляет собой фронтовое решение, описывающее распространение тепловой волны от мгновенного сосредоточенного источника с конечной скоростью перемещения фронтов x=±x0( ). Но главную особенность этого решения можно обнаружить, если проанализировать законы движения фронтов тепловой волны. Из этого анализа следует, что функция  в любой момент времени t > 0 равна нулю вне области  , где   Так как при  , то  тепловые возмущения от источника проникают в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину даже за бесконечный промежуток времени. Тепловые возмущения оказываются локализованными в ограниченной пространственной области.Как видно на рисунке 1, на плоскости состояний  заштрихованная область возмущений, где  , заключена в полуполосе, конечная ширина которой 2Lm. При этом величина Lm, определяющая размер области локализации тепловых возмущений, зависит от определяющих параметров задачи в соответствии с выражением (3.10).В частности, размер области пространственной локализации увеличивается с ростом мощности теплового источника Q и уменьшается с увеличением коэффициента поглощения ρ.  Рисунок 1 Рисунок 1 описывает тепловые возмущения которые оказываются локализованными в ограниченной пространственной области так как тепловые возмущения от источника проникают в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину даже за бесконечный промежуток времени. Эффект пространственной локализации тепловых возмущений в рассмотренной задаче обусловлен объемным поглощением тепловой энергии. Действительно, если  То  и, как следует из выражения (3.10),  , т.е. в среду без объемного поглощения тепловые возмущения проникают неограниченно далеко. Возможность создания условий, когда удержание разогретой среды в ограниченной области пространства можно осуществить за счет внутренних механизмов нелинейного процесса теплопроводности, является принципиально новым выводом, вытекающим из анализа математической модели (3.1) нелинейного процесса теплопроводности. Реализация таких условий является, в частности, одной из практически важных задач в проблеме управляемого термоядерного синтеза. Отметим, что своеобразный режим метастабильной локализации тепловых возмущений может наблюдаться и в отсутствие в среде объемного поглощения теплоты. В этом режиме локализации фронт тепловой волны остается неподвижным в течение некоторого конечного промежутка времени. Такая локализация тепловых возмущений наблюдается при нагреве нелинейной среды в режиме с "обострением", когда температура граничной поверхности растет неограниченно за конечный промежуток времени. Такую локализацию теплового воздействия в режиме с обострением иллюстрирует следующая краевая задача нелинейной теплопроводности в полупространстве:  (3.11)Здесь A0=const˃0;  Параметр Т в задаче (3.11) назовем временем обострения процесса разогрева нелинейной среды, учитывая, что  при  Задача (3.11) имеет простое по форме решение в разделяющихся переменных: (3.12)Так как  при всех  для любого  , то фронт теплового возмущения х = х0, на котором равны нулю температура и тепловой поток, отделяет нагретую среду от холодной. Фронт неподвижен, несмотря на неограниченный  Рисунок 2 Рисунок 2 описывает качественный вид локализованных температурных профилей остановившейся на время тепловой волны в различные моменты времени интервала [0,T). рост температуры в области тепловых возмущений при  . В течение промежутка времени [0,T) тепловые возмущения от нагретой стенки локализованы в пространственной области  конечных размеров.Решение (3.12) можно назвать остановившейся на конечное время тепловой волной. Качественный вид локализованных температурных профилей такой тепловой структуры в различные моменты времени интервала [0, Т) для среды с показателем нелинейности δ= 2 представлен на рисунке 2. 4. Задача нелинейной теплопроводности с объемным поглощением Рассмотрим еще одну задачу нелинейной теплопроводности, имеющую точное решение в аналитической форме. Пусть в нелинейной среде происходят эндотермические процессы, удельная мощность которых зависит от температуры степенным образом. Нестационарный процесс теплопроводности в такой среде с объемным поглощением теплоты описывается квазилинейным уравнением  (4.1)Здесь u(М, t) - температура; р = const > 0 - параметр поглощения, а значение N = 1, 2, 3 определяет размерность пространства, в котором происходит исследуемый процесс. Запишем модель задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в среде с поглощением, если δ< 1, а показатель степени  . Учитывая симметрию такой задачи (плоскую для N = 1, осевую для N = 2 и центральную для N = 3), сформулируем соответствующую задачу Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности: (4.2)где радиальная пространственная координата r≥0 для случаев N = 2 и N = З и  для N = 1. Параметр а2 в уравнении мы положили равным единице, что всегда можно сделать соответствующим выбором масштабов времени или пространственного переменного.С учетом конечной скорости распространения тепловых возмущений в нелинейной среде будем искать решение задачи (4.2) в виде фронтового решения  (4.3)где A(t) и l(t) - функции, подлежащие определению. Подставив предполагаемую форму решения (4.3) в уравнение (4.2), получим  (4.4)Можно заметить, что это соотношение приводится к виду  (4.5)если предположить, что  т.е.  (4.6)Тогда  (4.7)Так как условие (4.5) должно выполняться для любых r и t, то это возможно лишь при S(t) = 0. С учетом формулы (4.7) это условие приводит к дифференциальному уравнению для определения функции А(t):  (4.8)Для обеспечения слабой сходимости решения в форме (4.3) при  к дельтаобразному начальному распределению необходимо, чтобы  , а  при . Разделяя переменные в уравнении (4.8), интегрируя и полагая константу интегрирования равной нулю, находим решение. (4.9)неограниченно возрастающее при  .Теперь, используя соотношение (4.6), для функции l(t) приходим к следующему дифференциальному уравнению:  (4.10)Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения первого порядка находим как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В результате получаем  (4.11)Таким образом, с учетом уравнений (4.3), (4.9) и (4.11) решение исходной задачи (4.2) можно записать в форме фронтового решения  (4.12)где  (4.13) (4.14)Значение константы С в формуле (4.14) можно найти из соотношения   (4.15)являющегося следствием начального условия задачи Коши (4.2). С учетом выражений (4.12) - (4.14) соотношение (4.15) преобразуется к виду  (4.16)Учитывая, что  а значение интеграла  выражается через бета функцию  из выражения (4.16) находим значение константы  (4.17)Таким образом, точное решение задачи (4.2) имеет вид (4.12), где u(t) и r+(t) определены соотношениями (4.13) и (4.14) с константой С, которая находится по формуле (4.17). Найденное решение допускает предельный переход р  0. Полагая в уравнении (4.14) р = 0, получаем решение задачи о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглощения. Для N = 1 это решение было построено нами ранее.Дадим физическую интерпретацию решения (4.12). Оно описывает эволюцию тепловой структуры конечных пространственных размеров, которую мы будем называть тепловым импульсом. В любой момент времени t > 0 существует фронт теплового импульса r = r+(t), отделяющий область тепловых возмущений от невозмущенной области, куда тепловые возмущения еще не дошли и где u = 0. Проанализируем характер движения фронта теплового импульса. Для этого запишем уравнение (4.14) в виде  (4.18)Где  Качественный вид зависимости (4.18) представлен на рисунке.  Рисунок 3 описывает качественный вид зависимости движения фронта теплового импульса На начальной стадии эволюции теплового импульса механизм тепловой диффузии является определяющим и пространственный размер теплового импульса увеличивается с течением времени. В среде распространяется волна разогрева. Затем скорость движения фронта теплового импульса уменьшается, и при t = t*, где  фронт останавливается, проникнув в нелинейную среду с объемным поглощением лишь на конечную глубину. При t > t* объемное поглощение тепловой энергии становится доминирующим фактором в балансе энергии, и волна разогрева сменяется волной охлаждения, когда ширина теплового импульса уменьшается. Фронт теплового импульса изменяет направление движения, и в момент времени t = tm тепловой импульс стягивается в точку, прекращая свое существование. Тепловой импульс в среде с объемным поглощением тепловой энергии существует конечное время, т.е. для t > tm в любой точке пространства u = 0. Такую локализацию тепловых возмущений с конечным временем их существования в нелинейной среде с поглощением естественно назвать пространственно-временной локализацией. При р = 0, т.е. в отсутствие объемного поглощения теплоты, из уравнения (4.14) следует монотонный степенной рост ширины теплового импульса (штриховая линия на рисунке 2). Тепловые возмущения в этом случае проникают в среду неограниченно далеко. Полученные соотношения можно рассматривать и при р < 0, когда в объеме среды протекают экзотермические процессы, приводящие к выделению тепловой энергии. В такой нелинейной среде с объемными тепловыми источниками фронт теплового импульса распространяется с конечной скоростью, однако ширина теплового импульса в соответствии с соотношением (4.14) при р < 0 увеличивается. 5. Решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой Начнем с рассмотрения задачи |