Теория нелинейной теплопроводности
![]()
|
![]() ![]() с начальным/граничным условием для уравнения на полупрямой ![]() ![]() u(x,0)=u0(x) ∞˃ x≥0 (5.2) ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Введем преобразование годографа ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() условие совместности которого ![]() ![]() ![]() ![]() в области ![]() ![]() ![]() С помощью преобразования годографа мы свяжем с уравнением (4) начальные данные ![]() ![]() где z0 в силу уравнений (5.5) и (5.6) имеет вид ![]() ![]() а также граничные условия ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда задача с начальным /граничным условием для нелинейного диффузионного уравнения (5.1) с начальными данными (5.2) и граничными условиями (5.3), (5.4) отображается в линейное уравнение теплопроводности (5.7) в области с движущейся границей, характеризующейся начальным условием (5.9) и граничными условиями (5.11), (5.12). Чтобы решить линейную задачу, введем фундаментальное ядро теплопроводности ![]() ![]() и проинтегрируем тождество Грина для уравнения теплопроводности ![]() по области ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из уравнения (5.15) ясно, что можно определить ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнение (5.16) является линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода с сингулярным ядром ![]() ![]() Используя процесс Пикара последовательных приближений, решение уравнения (5.16) можно записать как ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4 Графическое представление решения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ниже мы численно исследуем четыре примера, соответствующие двум различным выборам функции ![]() ![]() ![]() ![]() а во втором – линейной функцией времени: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из (5.23) и (5.24) ясно, что с учетом соотношения (5.8) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 5 Графическое представление решения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() где W(x) – W-функция Ламбера, неявно определяемая соотношением ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда из выражения (5.27) мы получаем обратную функцию ![]() ![]() ![]() ![]() в соответствии с (5.4). ![]() Рис. 6 Графическое представление решения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ниже мы подробно анализируем примеры и интерпретируем численные результаты, представив ряд графиков. Подчеркнем, что на всех графиках каждая линия представляет собой функцию ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 5.1. Функция u0(x) задается уравнением (5.25), а f(t) – уравнением (5.23), где a=1 , ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 7 Графическое представление решения ![]() ![]() ![]() ![]() Результаты численного моделирования представлены на рис. 4. Видно, что при 0 ![]() ![]() ![]() Пример 5.2. Функция u0(x) задается уравнением (5.25), а f(t) – уравнением (5.24),где a=2,b=0, ![]() ![]() ![]() ![]() Результаты численного моделирования представлены на рис. 5. Сравнивая этот результат с предыдущим, мы видим, что выбор функции (5.24) (а именно квадратичной по времени функции F(t), по-видимому, приводит к более быстрому по времени приближению решения ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 5.3. Функция u0(x) задается уравнением (5.26), а f(t) – уравнением (5.23), где a=1,c=1,k= ![]() ![]() ![]() ![]() В этом случае полезно заметить, что из уравнения (5.2.1) с помощью уравнений (5.9) и (5.10) мы получаем ![]() ![]() Результаты численного моделирования представлены на рис. 6. Пример 5.4. Функция u0(x) задается формулой (5.26), а f(t) – формулой (5.24), где a=1,c=1,k= ![]() ![]() ![]() ![]() Результаты численного моделирования представлены на рис. 7. Сравнивая этот результат с предыдущим, мы видим, что выбор функции (5.24) (а именно квадратичной по времени функции F(t)), по-видимому, приводит к более быстрому по времени приближению решения ![]() ![]() ![]() ![]() Заключение нелинейный теплопроводность возмущение поглощение В своей работе я рассмотрел теплопроводность, некоторые ее свойства. Рассмотрел несколько видов математических уравнений описывающий этот процесс при различных условиях. А так же решая нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой показал что выбор функции F(t) квадратичной по времени приводит к более быстрому по времени приближению решения u(x, t) к постоянной функции ![]() ![]() Список используемой литературы Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. Издательство: МГТУ им. Н.Э. Баумана. Москва 2002 г. 368с. С. Де Лилло, Д. Лупо, М. Соммакал, Решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой, ТМФ,2007г. Агошков И.Н. Методы решения задач математической физики. Учебное пособие для студентов, Специализирующихся в области вычислительной математики. 2002 г. 320 с. http://cde.ncstu.ru/lms-ds/login.ds http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=tmf&paperid=6070&what=fullt&option_lang=rus http://bse.sci-lib.com/article109938.html http://www.lib.ua-ru.net/diss/cont/45405.html |