КУРСОВАЯ. Тическое моделирование и решение прикладных задач
 Скачать 80.21 Kb.
|
|
Курсовая работа по теме: «Математическое моделирование и решение прикладных задач» Выполнил курсант группы 1-91 _____________________________ Проверил г.п. доцент Корыпаева Ю.В. Оценка___________________________ (подпись) Теоретическая часть Вероятностью события A называют отношение числа m исходов, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:  (классическое определение вероятности).ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:  Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий:  Событие А называется независимым от события В , если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается  Условие независимости события А от события В можно записать в виде  , а условие зависимости - в виде  .ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:  или  .Если событие А не зависит от события В , то и событие В не зависит от события A; тогда  Условная вероятность события  , определенная в предположении, что осуществились события  ,  ,...,  , обозначается  . Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место: В случае независимых событий справедлива формула  ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из событий  ,  ,...,  (гипотез), образующими полную группу попарно несовместных событий, то событие А можно представить как объединение событий  ,  ,...,  , т. е.   ...  . Вероятность события А можно определить по формуле или  Эта формула называется формулой полной вероятности. ФОРМУЛА БЕЙЕСА Условная вероятность события  в предположении, что событие А уже имеет место, определяется по формуле Бейеса: (i=1,2,…,n).Вероятности  , вычисленные по формуле Бейеса, часто называют вероятностями гипотез.ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ Если производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A одна и таже и равна  , то вероятность того, что событие A появится в этих испытаниях  раз, выражается формулой Бернулли: где  . Таким образом, , ,  .ФОРМУЛА ПУАССОНА Если вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна , то как известно, вероятность того, что при испытаниях, событие осуществится раз, определяется формулой: Закон распределения случайной величины  которая может принимать  значение  , описываемый формулой Бернулли, называется биномиальным.Закон распределения случайной величины  , которая может принимать любые целые неотрицательные значения  описываемый формулой  носит название закона Пуассона. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА Теорема. Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие А появится в испытаниях ровно  раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции  при  .Имеются таблицы, в которых помещены значения функции  , соответствующие положительным значениям аргумента  . Для отрицательных значений аргумента пользуются тем и же таблицами, так как функция  четна, т.е.  .Итак вероятность того, что событие А появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна  где  ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА Теорема. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие А появится в испытаниях от  раз, приближенно равна определенному интегралу  где  ,  .При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл  не выражается через элементарные функции. Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа. Итак, вероятность того, что событие А появится в независимых испытаниях от раз  ,где , .ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Случайные величины, принимающие отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями называются прерывными или дискретными величинами. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток, называются непрерывными случайными величинами. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ЕЁ СВОЙСТВА. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Для количественной характеристики распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события  , а вероятностью события  , где – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно зависит от , есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией распределения непрерывной случайной величины и обозначается  : Сформулируем свойства функции распределения. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:  .Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента т.е. при  Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то 1)  при  2)  при  Функция  – первая производная от функции распределения . Эта функция называется плотностью распределения (иначе «плотностью вероятности») непрерывной случайной величины . МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ЕГО СВОЙСТВА. Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений. Рассмотрим дискретную случайную величину , имеющую возможные значения  с вероятностями  . Нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться так называемым «средним взвешенным» из значений  , причем каждое значение при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, мы вычислим среднее значение случайной величины , которое мы обозначим   или учитывая, что   Это среднее взвешенное и называется математическим ожиданием случайной величины. Понятие математического ожидания распространяется и на непрерывную случайную величину. Пусть — плотность вероятности случайной величины X . Тогда математическое ожидание непрерывной случайной величины X определяется равенством (при условии, что интеграл абсолютно сходится). Геометрически математическое ожидание как непрерывной, так и дискретной случайной величины равно абсциссе центра тяжести площади, ограниченной кривой (или полигоном) распределения и осью абсцисс. Поэтому при симметрии кривой (или полигона) распределения относительно некоторой прямой, параллельной оси ординат, математическое ожидание совпадаете абсциссой точки пересечения этой оси симметрии с осью абсцисс. Точка оси Ох, имеющая абсциссу, равную математическому ожиданию случайной величины, часто называется центром распределения этой случайной величины. Свойства математического ожидания: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:  .Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:  .Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:  .Математическое ожидание суммы двух независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий слагаемых:  .ДИСПЕРСИЯ, ЕЁ СВОЙСТВА. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Для дисперсии случайной величины справедлива формула  где а — произвольное число. Этой формулой часто пользуются для вычисления дисперсии случайной величины, так как вычисление по этой формуле обычно проще. Свойства дисперсии: Дисперсия постоянной величины  равна нулю:  .Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:  Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:  .Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:  .НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью  где  - математическое ожидание,  - среднее квадратическое отклонение нормального распределения.ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент (ковариация) и коэффициент корреляции. Корреляционным моментом  случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин: Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу  а для непрерывных величин – формулу  Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю. Коэффициентом корреляции  величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин: Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:  Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:  Практическая часть Вариант 5 Какова вероятность того, что сумма очков на двух брошенных игральных костях будет делиться на 4? Общее количество исходов при бросании двух кубиков  .Количество благоприятных исходов, когда сумма очков делится на 4: m = 9: (1 + 3); (2 + 2); (3 + 1); (2 + 6); (3 + 5); (4 + 4); (5 + 3); (6 + 2); (6 + 6); Вероятность того, что при броске двух кубиков сумма очков будет делиться на 4:  Ответ: 0,25. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат со стороной 4 см, окажется в круге диаметра 2 см, касающегося двух сторон квадрата. По формуле геометрического определения вероятности мерой пространства элементарных событий Ω является площадь квадрата  Площадь круга – мера события А.  Искомая вероятность определяется по формуле:  Ответ:  3. Для некоторой местности число дождливых дней в августе равно 11. Чему равна вероятность того, что первые три дня будут или все солнечные или все дождливые?  = {вероятность того, что первые три дня августа будут дождливыми}  = {вероятность того, что первые три дня августа будут солнечными}  Ответ:  4. Имеется две урны. В первой урне 2 красных и 3 синих шара, во второй- 4 красных и 2 синих. Вероятность выбора урн одинакова. Из наудачу выбранной урны вынимают шар. Какова вероятность того, что вынутый шар синий? Пусть А — событие, означающее, что извлечен синий шар. Рассмотрим две гипотезы. Гипотезы: - выбрана первая урна; - выбрана вторая урна. Так как урны одинаковы, то вероятности гипотез  Условные вероятности события  при исполнении гипотез, то есть вероятности извлечь синий шар из первой и второй урн соответственно равны:   ;   Тогда, вероятность события найдем по формуле полной вероятности:  Ответ:  Для разрушения моста достаточно попадания одной авиабомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 Для определения вероятности воспользуемся формулой вероятности появления хотя бы одного из n событий:  Обозначим события: = «Первая бомба попала на мост», = «Вторая бомба попала на мост»,  = «Третья бомба попала на мост»,  = «Четвертая бомба попала на мост» В нашем случае:        Тогда  ОТВЕТ: Вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с заданными вероятностями попадания, равна  .ЗАДАЧА: ДДСВ(Х,Y) задана таблицей:
Найти: 1)параметр β, 2)математическое ожидание составляющих Mx,My, 3)среднеквадратическое отклонение составляющих  ,4)условное математическое ожидание  5)момент и коэффициент корреляции Mxy, Kxy, Rxy. Решение: Чтобы найти неизвестный параметр β воспользуемся свойством нормировки для распределения ДДСВ:  ⇒  Найдем ряды распределения X и Y, мат. ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
  
        Найдем математическое ожидание появления обоих событий:  Значение корреляционного момента вычисляем по формуле:  Поскольку корреляционный момент отличен от нуля, то между соответствующими величинами X и Y существует корреляционная связь. Для измерения тесноты корреляционной связи вычислим коэффициент корреляции:  Задача:   Найти 1) a, f(x), Mx, Dx 2) построить графики f(x), F(x) 3) вычислить P(  )Решение: Найдем плотность распределения случайной величины X как производную от функции распределения:     Тогда:   |
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 |
| pi | 0,018 | 0,218 | 0,509 | 0,255 |
Математическое ожидание находим по формуле
Математическое ожидание Mx:
Mx = 0⋅0,0182 + 1⋅0,218 + 2⋅0,509 + 3⋅0,255 = 2
Дисперсию находим по формуле Dx= ∑x2ipi – (Mx)2
Дисперсия Dx:
Dx= 02⋅0,0182 + 12⋅0,218 + 22⋅0,509 + 32⋅0,255 - 22 = 0,546
Среднее квадратическое отклонение σ(x):
График функции F(x):
Задача:
Найти все числовые характеристики этой ДВС.
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | -16,945 | -13,5996 | -13,4942 | -8,1488 | -8,2634 | -5,488 | -2,2726 | -0,0472 | 0,5182 | 2,7436 | 5,309 |
Найдем характеристики случайных величин X и Y (выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение):
Выборочная средняя:
Выборочная дисперсия:
Выборочное квадратическое отклонение:
Определим коэффициент корреляции:
Ковариация:
Коэффициент корреляции близок к единице, связь очень сильная (близка к функциональной), прямая.
Запишем уравнение линейной регрессии по формуле:
По уравнению регрессии построим прямую в системе координат и на ту же систему координат нанесем точки ( x,y ) из таблицы. Получим:
Список литературы
1. ДАНКО П.Е. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ Ч.2/ДАНКО П. Е., ПОПОВ А. Г., КОЖЕВНИКОВА Т. Я. – М.: ОНИКС 21век, Мир и образование, 2009. – 416 с.
2. Гмуран В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2013. – 479 с.