КУРСОВАЯ. Тическое моделирование и решение прикладных задач
![]()
|
Курсовая работа по теме: «Математическое моделирование и решение прикладных задач» Выполнил курсант группы 1-91 _____________________________ Проверил г.п. доцент Корыпаева Ю.В. Оценка___________________________ (подпись) Теоретическая часть Вероятностью события A называют отношение числа m исходов, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу: ![]() ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: ![]() Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий: ![]() Событие А называется независимым от события В , если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается ![]() Условие независимости события А от события В можно записать в виде ![]() ![]() ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: ![]() ![]() Если событие А не зависит от события В , то и событие В не зависит от события A; тогда ![]() Условная вероятность события ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В случае независимых событий справедлива формула ![]() ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из событий ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() или ![]() Эта формула называется формулой полной вероятности. ФОРМУЛА БЕЙЕСА Условная вероятность события ![]() ![]() Вероятности ![]() ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ Если производится ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ФОРМУЛА ПУАССОНА Если вероятность наступления случайного события в каждом испытании равна ![]() ![]() ![]() ![]() Закон распределения случайной величины ![]() ![]() ![]() Закон распределения случайной величины ![]() ![]() ![]() носит название закона Пуассона. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА Теорема. Если вероятность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() при ![]() Имеются таблицы, в которых помещены значения функции ![]() ![]() ![]() ![]() Итак вероятность того, что событие А появится в ![]() ![]() ![]() ![]() ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА Теорема. Если вероятность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл ![]() Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа. Итак, вероятность того, что событие А появится в ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Случайные величины, принимающие отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями называются прерывными или дискретными величинами. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток, называются непрерывными случайными величинами. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ЕЁ СВОЙСТВА. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Для количественной характеристики распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сформулируем свойства функции распределения. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]: ![]() Функция распределения ![]() ![]() Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то 1) ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() Эта функция называется плотностью распределения (иначе «плотностью вероятности») непрерывной случайной величины ![]() МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ЕГО СВОЙСТВА. Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений. Рассмотрим дискретную случайную величину ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() или учитывая, что ![]() ![]() Это среднее взвешенное и называется математическим ожиданием случайной величины. Понятие математического ожидания распространяется и на непрерывную случайную величину. Пусть ![]() ![]() (при условии, что интеграл абсолютно сходится). Геометрически математическое ожидание как непрерывной, так и дискретной случайной величины равно абсциссе центра тяжести площади, ограниченной кривой (или полигоном) распределения и осью абсцисс. Поэтому при симметрии кривой (или полигона) распределения относительно некоторой прямой, параллельной оси ординат, математическое ожидание совпадаете абсциссой точки пересечения этой оси симметрии с осью абсцисс. Точка оси Ох, имеющая абсциссу, равную математическому ожиданию случайной величины, часто называется центром распределения этой случайной величины. Свойства математического ожидания: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: ![]() Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: ![]() Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: ![]() Математическое ожидание суммы двух независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий слагаемых: ![]() ДИСПЕРСИЯ, ЕЁ СВОЙСТВА. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины ![]() ![]() Для дисперсии случайной величины справедлива формула ![]() где а — произвольное число. Этой формулой часто пользуются для вычисления дисперсии случайной величины, так как вычисление по этой формуле обычно проще. Свойства дисперсии: Дисперсия постоянной величины ![]() ![]() Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: ![]() Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: ![]() Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: ![]() НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью ![]() ![]() ![]() ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент (ковариация) и коэффициент корреляции. Корреляционным моментом ![]() ![]() Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу ![]() а для непрерывных величин – формулу ![]() Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю. Коэффициентом корреляции ![]() ![]() Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий: ![]() Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы: ![]() Практическая часть Вариант 5 Какова вероятность того, что сумма очков на двух брошенных игральных костях будет делиться на 4? Общее количество исходов при бросании двух кубиков ![]() Количество благоприятных исходов, когда сумма очков делится на 4: m = 9: (1 + 3); (2 + 2); (3 + 1); (2 + 6); (3 + 5); (4 + 4); (5 + 3); (6 + 2); (6 + 6); Вероятность того, что при броске двух кубиков сумма очков будет делиться на 4: ![]() Ответ: 0,25. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат со стороной 4 см, окажется в круге диаметра 2 см, касающегося двух сторон квадрата. По формуле геометрического определения вероятности мерой пространства элементарных событий Ω является площадь квадрата ![]() Площадь круга – мера события А. ![]() Искомая вероятность определяется по формуле: ![]() Ответ: ![]() 3. Для некоторой местности число дождливых дней в августе равно 11. Чему равна вероятность того, что первые три дня будут или все солнечные или все дождливые? ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() 4. Имеется две урны. В первой урне 2 красных и 3 синих шара, во второй- 4 красных и 2 синих. Вероятность выбора урн одинакова. Из наудачу выбранной урны вынимают шар. Какова вероятность того, что вынутый шар синий? Пусть А — событие, означающее, что извлечен синий шар. Рассмотрим две гипотезы. Гипотезы: ![]() ![]() ![]() Условные вероятности события ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда, вероятность события ![]() ![]() Ответ: ![]() Для разрушения моста достаточно попадания одной авиабомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 Для определения вероятности воспользуемся формулой вероятности появления хотя бы одного из n событий: ![]() Обозначим события: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ОТВЕТ: Вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с заданными вероятностями попадания, равна ![]() ЗАДАЧА: ДДСВ(Х,Y) задана таблицей:
Найти: 1)параметр β, 2)математическое ожидание составляющих Mx,My, 3)среднеквадратическое отклонение составляющих ![]() 4)условное математическое ожидание ![]() 5)момент и коэффициент корреляции Mxy, Kxy, Rxy. Решение: Чтобы найти неизвестный параметр β воспользуемся свойством нормировки для распределения ДДСВ: ![]() ![]() Найдем ряды распределения X и Y, мат. ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем математическое ожидание появления обоих событий: ![]() Значение корреляционного момента вычисляем по формуле: ![]() Поскольку корреляционный момент отличен от нуля, то между соответствующими величинами X и Y существует корреляционная связь. Для измерения тесноты корреляционной связи вычислим коэффициент корреляции: ![]() Задача: ![]() ![]() Найти 1) a, f(x), Mx, Dx 2) построить графики f(x), F(x) 3) вычислить P( ![]() Решение: Найдем плотность распределения случайной величины X как производную от функции распределения: ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда: ![]() ![]() ![]() ![]() График функции f(x): ![]() График функции F(x): ![]() P( ![]() ![]() Задача: В ящике 12 деталей, из них 4 бракованных. Наудачу извлекают 3 детали. Найти закон распределения и найти числовые характеристики СВ – числа годных деталей в выборке. Выписать функцию распределения F(x) и построить ее график. Всего исправных деталей: 12-4 = 8 Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей нет годных. Всего бракованных деталей: 4 1. Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей одна исправная. Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 12: Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию: а) одну деталь среди 8 годных можно выбрать способами, количество которых равно: б) Остальные 2 бракованные детали можно выбрать из 4 бракованных: Аналогично: 2. Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей 2 исправных. 3. Найдем вероятность того, что все выбранные детали годные.
Математическое ожидание находим по формуле ![]() Математическое ожидание Mx: Mx = 0⋅0,0182 + 1⋅0,218 + 2⋅0,509 + 3⋅0,255 = 2 Дисперсию находим по формуле Dx= ∑x2ipi – (Mx)2 Дисперсия Dx: Dx= 02⋅0,0182 + 12⋅0,218 + 22⋅0,509 + 32⋅0,255 - 22 = 0,546 Среднее квадратическое отклонение σ(x): ![]() График функции F(x): ![]() Задача: Найти все числовые характеристики этой ДВС.
Найдем характеристики случайных величин X и Y (выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение): Выборочная средняя: ![]() ![]() Выборочная дисперсия: ![]() ![]() Выборочное квадратическое отклонение: ![]() ![]() Определим коэффициент корреляции: ![]() Ковариация: ![]() Коэффициент корреляции близок к единице, связь очень сильная (близка к функциональной), прямая. Запишем уравнение линейной регрессии по формуле: ![]() ![]() ![]() По уравнению регрессии построим прямую в системе координат и на ту же систему координат нанесем точки ( x,y ) из таблицы. Получим: ![]() Список литературы 1. ДАНКО П.Е. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ Ч.2/ДАНКО П. Е., ПОПОВ А. Г., КОЖЕВНИКОВА Т. Я. – М.: ОНИКС 21век, Мир и образование, 2009. – 416 с. 2. Гмуран В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2013. – 479 с. |