РГР1 Вариант 30. Точка движется по окружности радиусом r 30 см с постоянным угловым ускорением

• Название: Точка движется по окружности радиусом r 30 см с постоянным угловым ускорением
• Дата: 22.03.2023
• Размер: 315.29 Kb.
• Имя файла: РГР1 Вариант 30.docx
• Тип: Документы; #1009230

110. Точка движется по окружности радиусом R = 30 см с постоянным угловым ускорением ε. Определить тангенциальное ускорение а_τточки, если известно, что за время T = 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение а_n=2,7 м/с².

R = 30 см aτ = const T= 4 с N(T) = 3 аn=2,7 м/с2

На рисунке показаны направления тангенциального aτ, нормального an ускорений и полного ускорений точки. П о определению нормальное ускорение , где ω – угловая скорость точки, R - радиус. Откуда . Угловая скорость с другой стороны равна ω=ω0+εt. Откуда . По определению тангенциальное ускорение , где ε – угловое ускорение точки. Зависимость угла поворота от времени: . Поэтому число оборотов равно . Подставляем сюда и получаем . Откуда . Подставляем в . Нам уже известно, что , поэтому через время T угловое ускорение . Тогда искомая величина . Подставляем числа. .

aτ = ?

128. Шар массой m = 5 кг движется со скоростью V0 = 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой M = 2 кг. Определить скорости V1 и V2 шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, цент­ральным.

m = 5кг V0 = 1 м/с M = 2 кг

Шарики должны отскочить в разные стороны так как удар упругий, поэтому из закона сохранения импульса находим: . Из закона сохранения энергии получаем: . Из первого уравнения находим скорость второго шара . Подставляем во второе уравнение: . Упрощаем: . Далее , откуда получаем . И, наконец, находим скорость первого шара после удара: . Подставляем в . Подставляем числа (переводя одновременно все величины в систему СИ). . Эта величина отрицательная, следовательно, вектор V1 должен быть направлен в противоположную сторону. Находим скорость второго шара: .

V1 = ? V2 = ?

140. Какая работа А должна быть совершена при поднятии с земли материалов для постройки цилиндри­ческой дымоходной трубы высотой H = 40 м, наружным диаметром D=3,0 м и внутренним диаметром d = 2,0 м? Плотность материала ρ принять равной 2,8×10³кг/м³.

H = 40 м D=3,0 м d = 2,0 м ρ= 2,8×103кг/м3

Найдем потенциальную энергию тонкого слоя dx, находящегося на высоте x. Для этого нам нужно узнать массу этого слоя. Она равна dm=ρ×dV, где ρ – плотность материала, dV=S×dx – объем этого слоя. Тогда dm=ρ×S×dx. Откуда потенциальная энергия равна . Проинтегрируем правую и левую части: . Площадь кольца равна (см. рис) . Поэтому потенциальная энергия установки, равная совершенной работе: . Подставляем числа (переводя одновременно все величины в систему СИ). =86МДж.

A = ?

142. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 75 см и массой m = 40 кг приложена сила F = 1 кН. Определить угловое ускорение ε и час­тоту вращения ν маховика через время t= 10 с после начала действия силы, если радиус R шкива равен 12 см. Силой трения пренебречь.

D = 75 см m = 40 кг F = 1 кН t= 10 с R = 12 см

Из второго закона Ньютона, применяемого к вращающимся телам находим , где M – вращающий момент, ε – угловое ускорение, J – момент инерции диска. Момент инерции однородного диска массой m и диаметром D равен . Так как сила приложена к краю шкива, то вращающий момент этой силы равен M=F×R. Откуда угловое ускорение . Подставляем числа (переводя одновременно все величины в систему СИ). . Если диск вращается равноускоренно, то уравнение вращения . Примем начальные условия и - так как начальная частота вращения равна нулю. Тогда . По определению угловая скорость это производная угла поворота от времени . Поэтому через время t=T угловая скорость равна . Подставляем сюда и получаем . Частота вращения равна по определению , поэтому Подставляем числа. .

ν = ? ε = ?

155. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью ω = 25 рад/с. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью ω1 станет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на угол φ=90°? Момент инерции человека и скамьи J равен 2,5 кг×м², момент инерции колеса J0=0,5кг×м².

ω = 25 рад/с J = 2,5 кг×м2 J0=0,5кг×м2	Из закона сохранения момента импульса имеем: в изолированной системе сумма моментов импульса всех тел – величина постоянная. Так как диск повернули на угол 90º, то проекция его момента импульса на ось OO’ равна нулю, поэтому , где J0 - момент инерции диска, J – момент инерции скамьи с человеком относительно оси OO’. Поэтому искомая величина .
ω1 = ?

162. Какая работа А будет совершена силами грави­тационного поля при падении на Землю тела массой m = 2 кг: 1) с высоты h = 1000 км; 2) из бесконечности?

h1=R=1000км h2 = ∞ m=2кг M=6×1024 кг

На тело действует сила всемирного тяготения со стороны Земли, равная , где - гравитационная постоянная, M – масса Земли, R – это радиус Земли, h – расстояние от тела до поверхности Земли. Рассмотрим первый случай: h=1000км. Работа по определению равна , где x1 – начальное положение тела (x1=R), x2 – конечное (x2=0), , а x – это положение (высота) тела. Тогда . Подставляем числа. . Рассмотрим второй случай: h=∞. . Подставляем числа. .

A1 = ? A2 = ?

172. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х=A1×sinω1×t и у=А2×cosω2×t, где A1 = 8 см, A2=4 см, ω1 = ω2=2с^-1. Написать уравнение траектории и постро­ить ее. Показать направление движения точки.

x=8sin2t см y=4cos2t см

Видно, что . Уравнение - это эллипс. По другому его записывают в виде . Из этого уравнения видно, что радиус эллипса вдоль x равен 8см, а вдоль y равен 4см. Итак, траектория – эллипс. Теперь найдем направление движения. В момент t=0 получаем: x(t=0)=0см, а y(t=0)=4см. То есть точка находится на оси Y. В момент t=π/2 получаем: x(t= π/4)=8см, а y(t= π/4)=0см. То есть точка находится на оси X. Из этого делаем вывод, что точка движется от оси Y к оси X, то есть по часовой стрелке.

Траектория - ?

180. Шарик массой m=60 г колеблется с периодом T=2с. В начальный момент времени смещение шарика х₀=4,0 см и он обладает энергией E=0,02 Дж. Записать уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.

m=60 г х0=4 см Т=2 с E=0,02 Дж

Уравнение гармонических колебаний , где x – смещение колеблющейся величины, A – амплитуда колебаний, - фаза колебаний, - циклическая частота, φ0 – начальная фаза. Скорость равна . В начальный момент t=0 имеем и . Тогда начальная энергия равна . Отношение . Циклическая частота равна по определению , где T – период. Поэтому . Начальная фаза равна . Подставляем числа. . Теперь найдем амплитуду. Умножим на , возведем все в квадрат и сложим с . Получим следующее: . Так как sin2φ+cos2φ=1, то . Откуда амплитуда равна . Подставляем числа. . Поэтому уравнение гармонических колебаний . Ускорение равно . Тогда сила равна .