доклад. Тригонометрическими суммами назывются суммы вида

• Название: Тригонометрическими суммами назывются суммы вида
• Анкор: доклад
• Дата: 02.04.2023
• Размер: 119.34 Kb.
• Имя файла: Sabrina_1-1.docx
• Тип: Документы; #1031811
• страница: 2 из 2

Лемма 1.






Пусть (a, D)=1. Тогда:




Доказательство:




По свойству модуля комплексного числа :
Имеем:




Сделаем замену x = x + t . Когда х и х пробегают полную систему вычетов по модулю D , от х и t пробегают независимо полные системы вычетов по модулю D.

Действительно, пусть х и х пробегают полную систему вычетов по модулю D . Тогда х = qD + k k=0, 1, …, D-1 , q є Z

х = pD + i i=0, 1, …, D-1 , p є Z

Следовательно, t = x – x = (q – p)D + (k – i) = l D + m , где m=0, 1, …, D-1 , l є Z




а) Пусть D – нечетное, т.е. (2а, D)=1




если D делит t.







Если же D не делит t, то последнюю сумму можно записать в виде :




Получили :

Тогда




Отсюда




б) Пусть D делится на 4, т.е. возможно представление : D = 2D , где D – четное и ( a, D )=1 .







Получим :







Так как D четное, то




Следовательно

в) Пусть D = 2 (mod 4) , т.е. D = 4q + 2 , q є Z




Тогда из предыдущего случая имеем : D = 2 (2q+1)= 2D , D - нечетное. Имеем :







Что и требовалось.

Лемма 2.

Если D и D взаимно простые числа, то




S ( aD₁ , D₂ ) S ( aD₂ , D₁ ) = S ( a , D₁ D₂ )



Доказательство:

В этих суммах t₁ пробегает полную систему вычетов по модулю D₂ , а t₂ пробегает полную систему вычетов по модулю D_2. При этом D₁t₁ + D₂t₂ пробегает полную систему вычетов по модулю D₁D₂ . Действительно , всего членов в сумме D₁D₂ и никакие два несравнимы между собой. Действительно, предположим противное : пусть D₁t₁ + D₂t₂ = D₁t₁ + D₂t₂ ( mod D₁D₂ )

Отсюда D₁ (t₁ – t₁) = D₂ (t₂ – t₂ ) (mod D₁D₂) Тогда

D₁ (t₁ – t₁) = D₂ (t₂ – t₂ ) (mod D₂) А так как D₂ (t₂ – t₂ ) = 0 (mod D₂)

То по свойству сравнений имеем D₁ (t₁ – t₁) = 0 (mod D₂) Отсюда так как (D₁, D₂)=1 , то t₁ – t₁ = 0 (mod D₂) Аналогично получим t₂ – t₂ = 0 (mod D₁)

Т.е. имеем t₁ = t₁ (mod D₂) и t₂ = t₂ (mod D₁) . Но это противоречит тому, что t₁ пробегает полную систему вычетов по модулю D₂ , а t₂ пробегает полную систему вычетов по модулю D₂, так как в полной системе вычетов любые два числа не сравнимы. Следовательно наше предположение было неверным и действительно D₁t₁ + D₂t₂ пробегает полную систему вычетов по модулю D₁D₂ .