Творческая работа по дисциплине Математические методы и модели в экономике на тему Модель ценообразования опционов БлэкаШоулза
 Скачать 72.35 Kb.
|
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова» Факультет экономики торговли и товароведения Базовая кафедра торговой политики ТВОРЧЕСКАЯ РАБОТА по дисциплине «Математические методы и модели в экономике» на тему «Модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза» Выполнила: Студент 2 курса Факультета экономики торговли и товароведения группы 15.04Д-ТД06/20Б Очной формы обучения Арутюнян Тигран Арутюнович Научный руководитель: Доктор социологических наук, Доцент кафедры математических методов в экономике Максимов Денис Алексеевич Москва – 2021 г. Опцион (лат. optio — выбор, желание, усмотрение) — договор, по которому покупатель опциона получает право, но не обязательство, совершить покупку или продажу данного актива по заранее оговорённой цене или по нефиксированной цене, но вычисляемой по заранее оговорённой формуле, в определённый договором момент в будущем или на протяжении определённого отрезка времени при условии наступления оговорённого события или без такового; количество платежей и периодичность тоже могут устанавливаться условиями договора. Что такое модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза? Модель Блэка-Шоулза, также известная как модель Блэка-Шоулза-Мертона (Black-Scholes Model), является одним из наиболее важных концепций в современной финансовой теории. Это математическое уравнение оценивает теоретическую стоимость производных других инвестиционных инструментов с учетом влияния времени и других факторов риска. Другими словами, опционная модель Блэка-Шоулза — это научная модель ценообразования, которая применяется для определения справедливой цены опционных контрактов. Разработанный в 1973 году, он по-прежнему считается одним из лучших способов ценообразования опционного контракта. Ключевые моменты: Модель Блэка-Шоулза, она же модель Блэка-Шоулза-Мертона, представляет собой дифференциальное уравнение, широко используемое для ценовых опционных контрактов. Модель Блэка-Шоулза требует пяти входных переменных: цена исполнения опциона, текущая цена акций, время истечения срока действия, безрисковая ставка и волатильность. Хотя обычно модель Блэка-Шоулза была точной, она делает определенные предположения, которые могут привести к ценам, отклонящимся от реальных результатов. Стандартная модель Блэка-Шоулза используется только для ценообразования европейских опционов, так как в ней не учитывается, что американские опционы могут быть реализованы до истечения срока действия. История создания модели Блэка-Шоулза Модель Блэка-Шоулза, разработанная в 1973 году Фишером Блэком, Робертом Мертоном и Майроном Шоулзом, была первым широко используемым математическим методом для расчета теоретической стоимости опционного контракта с использованием текущих цен на акции, ожидаемых дивидендов, ожидаемой цены исполнения опциона. процентные ставки, опционный период и ожидаемая волатильность. Первоначальное уравнение было введено в статью Блэка и Скоулза 1973 года «Цены на опционы и корпоративные обязательства». Роберт С. Мертон помог отредактировать эту статью. Позже в том же году он опубликовал свою собственную статью «Теория рационального ценообразования опционов», расширив математическое понимание и применение модели, а также ввёл термин «Теория ценообразования опционов Блэка-Шоулза». В 1997 году Шоулз и Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономическим наукам за их работу по поиску «нового метода определения стоимости производных финансовых инструментов». Блэк скончался двумя годами ранее, и поэтому не мог быть лауреатом, так как Нобелевские премии не присуждаются посмертно; однако Нобелевский комитет признал его роль в модели Блэка-Шоулза. Как работает модель ценообразования Блэка-Шоулза? Модель Блэка-Шоулза утверждает, что такие инструменты, как акции или фьючерсные контракты, будут иметь логарифмическое распределение цен после случайного блуждания с постоянным дрейфом и волатильностью. Используя это предположение и разлагая факторинг в других важных переменных, уравнение выводит цену колл-опциона в европейском стиле. Уравнение Блэка-Шоулза требует пяти переменных. Этими входными данными являются волатильность, цена базового актива, цена исполнения опциона, время до истечения срока действия опциона и без рисковая процентная ставка. С помощью этих переменных теоретически продавцы опционов могут устанавливать рациональные цены на продаваемые ими опционы. Кроме того, модель предсказывает, что цена активно торгуемых активов следует геометрическому броуновскому движению с постоянным дрейфом и волатильностью. При применении к опциону на акции модель включает в себя постоянное изменение цены акций, временную стоимость денег, страйк-цену опциона и время истечения срока действия опциона. Модель Блэка-Шоулза делает определенные предположения: В течение срока действия опциона дивиденды не выплачиваются. Рынки случайны (т.е. движения рынка невозможно предсказать). При покупке опциона нет операционных издержек. Безрисковая ставка и волатильность базового актива известны и постоянны. Доходность базового актива распределяется в журнале нормально. Опция является европейской и может быть реализована только по истечении срока действия. Хотя в оригинальной модели Блэка-Шоулза не учитывались последствия дивидендов, выплачиваемых в течение срока действия опциона, модель часто адаптируется для учета дивидендов путем определения стоимости эксдивидендной даты базовой акции. Модель также модифицирована многими маркет-мейкерами, продающим опционы, чтобы учесть эффект опционов, которые могут быть реализованы до истечения срока действия. Формула модели Блэка-Шоулза Математическая основа этой модели, довольна сложна, и требует не малой подготовленности, для её понимания. Формула колл-опциона Блэка-Шоулза рассчитывается путем умножения цены акций на кумулятивную стандартную функцию распределения нормальной вероятности. После этого чистая приведенная стоимость страйк-цены, умноженная на кумулятивное стандартное нормальное распределение, вычитается из итоговой стоимости предыдущего расчета.  Где:   C – текущая цена колл опциона в момент времени до истечения его срока. S– текущая стоимость базисной акции. K– стоимость исполнения опциона. r -краткосрочная без рисковая норма доходности. t -опционный период. N -вероятность уменьшения отклонения в условиях нормального стандартного распределения Перекос волатильности Блэка-Шоулза предполагает, что цены на акции следуют логарифмальному распределению, потому что цены на активы не могут быть отрицательными (они ограничены нулем). Часто наблюдается значительная асимметрия цен на активы и некоторая степень эксцесса (толстые хвосты). Это означает, что нисходящие движения с высоким риском часто происходят на рынке чаще, чем предсказывает нормальное распределение. Предположение о логарифмальных базовых ценах активов должно показать, что подразумеваемые волатильности одинаковы для каждой страйк-цены в соответствии с моделью Блэка-Шоулза. Однако после обвала рынка 1987 года подразумеваемые волатильности опционов на деньги были ниже, чем те, которые находятся дальше от денег или далеко в деньгах. Причина этого явления заключается в том, что рынок заключается в ценообразовании с большей вероятностью перехода высокой волатильности к снижению на рынках. Допущение логнормальных цен базовых активов должно показать, что подразумеваемая волатильность одинакова для каждой страйковой цены в соответствии с моделью Блэка-Шоулза. Однако после рыночного краха 1987 года подразумеваемая волатильность опционов при деньгах была ниже, чем волатильность опционов с более низкой или высокой доходностью. Причина этого явления заключается в том, что рынок оценивает цены с большей вероятностью, что высокая волатильность переместится в нисходящую сторону. Это привело к наличию перекоса волатильности. Когда предполагаемая волатильность для опционов с одинаковой датой истечения срока действия отображается на графике, можно увидеть улыбку или форму перекоса. Таким образом, модель Блэка-Шоулза неэффективна для расчета подразумеваемой волатильности. Недостатки модели Блэка-Шоулза Как указывалось ранее, модель Блэка-Шоулза используется только для определения цены европейских опционов и не принимает во внимание возможность исполнения опционов в США до истечения срока их действия. Более того, модель предполагает, что дивиденды и безрисковые ставки постоянны, но в действительности это может быть неверно. Модель также предполагает, что волатильность остается постоянной в течение срока действия опциона, что не так, поскольку волатильность колеблется в зависимости от уровня спроса и предложения. Кроме того, другие предположения - что нет транзакционных издержек или налогов; что безрисковая процентная ставка постоянна для всех сроков погашения; что короткие продажи ценных бумаг разрешены с использованием поступлений; и что нет никаких возможностей безрискового арбитража - это может привести к ценам, которые отклоняются от реального мира. Что делает модель Блэка-Шоулза? Модель Блэка-Шоулза, также известная как Блэк-Шоулз-Мертон (BSM), была первой широко используемой моделью ценообразования опционов. Исходя из предположения, что инструменты, такие как акции или фьючерсные контракты, будут иметь логнормальное распределение цен после случайного блуждания с постоянным дрейфом и волатильностью, а также с учетом других важных переменных, уравнение выводит цену колл опционов европейского типа. Это достигается путем вычитания чистой приведенной стоимости (ЧПС), цены исполнения, умноженной на кумулятивное стандартное нормальное распределение, из произведения цены акции и кумулятивной функции стандартного нормального распределения вероятностей. Список литературы Джон К. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты, 8-е издание = Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition. — М.: «Вильямс», 2013. — 1072 с. Майкл С. Томсетт. Торговля опционами = Getting Started in Options. — М.: «Альпина», 2001. — 360 с. Лоренс Дж. МакМиллан. МакМиллан об опционах = McMillan on Options. — М.: ИК «Аналитика», 2002. — 442 с Саймон Вайн. Опционы. Полный курс для профессионалов. — М.: Альпина Паблишер, 2008. — 466 с. |