Учебник для прикладного бакалавриата 2е издание, исправленное и дополненное
 Скачать 346.13 Kb.
|
|
35 всего за период dt количество диоксида углерода (м 3 ) в воздухе умень- шилось на dV = (0,01х – 0,01C 0 )adt. Обозначив через dx процентное уменьшение количества диоксида углерода в воздухе, это же количество можно подсчитать по другой формуле: 0,01 dV V dx = ⋅ Приравнивая между собой оба выражения для dV, составляем диф- ференциальное уравнение: 0 (0,01 0,01 ) 0,01 x C adt V dx − = ⋅ Разделяя переменные, находим 0 adt dx V x C = − Чтобы получить такое простое уравнение, пришлось допустить, что концентрация диоксида углерода во всех частях помещения в каждый момент времени одинаковая, т. е. чистый воздух смешивается с загряз- ненным практически мгновенно. Методы идентификации объекта. Известны два метода экспери- ментального определения (идентификации) характеристик объектов автоматизации — активный и пассивный. В первом методе испыта- тельное воздействие стандартной формы задают искусственно, во вто- ром — объект исследуют, сопоставляя выходные и входные величины в условиях его нормальной эксплуатации. Выбор метода идентификации объекта автоматизации определяется характером поставленной задачи, условиями опытов, характером экс- плуатационных возмущений и допустимыми по технологическим тре- бованиям отклонениями исследуемых величин. Метод активного эксперимента по исследованию статических характеристик проводят в следующем порядке. 1. Изучают ТП, оборудование и устанавливают взаимные связи между входными х и выходными у координатами. 2. Каждую входную величину изменяют ступенчато в пределах рабо- чего диапазона и спустя (2…3)Т у (здесь Т у — длительность переходного процесса) фиксируют значение выходной величины у. Например, для определения статических характеристик зимней теплицы с водяным обогревом следует установить ряд соотношений между расходом воды через регулирующий клапан и температурой воздуха в средней точке теплицы. При этом температуру следует измерять после стабилизации температурного режима сооружения. Опыт повторяют по каждому из каналов исследования многократно (обычно 6…10 раз). 3. Поскольку полученные зависимости 1 2 ( , ...) y f x x = могут быть искажены помехой, их следует сгладить, используя один из известных методов. Например, метод скользящего среднего или метод наимень- 36 ших квадратов. При подборе аппроксимирующей функции необходимо учитывать два требования: функция должна с максимальной точностью воспроизводить реаль- ную зависимость; функция должна быть простой и удобной для использования в каче- стве расчетной формулы. При выборе вида аппроксимирующей функции целесообразно обра- тить внимание на известную информацию об изучаемом процессе. Вполне вероятно, что идентифицируемое явление ранее уже исследова- лось и на сегодняшний день известны физические закономерности, определяющие взаимосвязь входных и выходных величин. В этих слу- чаях для математического описания процесса могут быть использованы такие распространенные зависимости, как экспоненциальные, триго- нометрические, а также двухпараметрические функции вида / y a b x = + ; 1/ y a bx = + ; 1/ ln y a b x = = ; / b x y ae = и т. д. Если физических предпосылок к выбору той или иной функции нет, то в качестве аппроксимирующего выражения можно использовать полином из ряда Тейлора: 0 2 1 2 n n y a a x a x a x = + + + + Для таких выражений процедура нахождения значений параме- тров а i хорошо разработана, а соответствующие программы написаны практически на всех алгоритмических языках и введены в большин- ство общематематических прикладных пакетов. Метод пассивного эксперимента по исследованию статических характеристик реализуют в такой последовательности. 1. Диапазон изменения входной величины х разбивают на рав- ные интервалы (6…12) Δх и все n i точки, попавшие в данный интер- вал, относят к середине интервала (рис. 1.10). Для каждого интервала находят среднее арифметическое значение ординат n i , точек, соединив которые, получают эмпирическую линию регрессии АВСDЕ. х Δ х y F B C D E L A Рис. 1.10. Эмпирическая линия регрессии при обработке результатов эксперимента 37 Период квантования Т (время между отдельными замерами входных и выходных величин) принимают не менее чем время корреляции τ кор Время корреляции входной и выходной координат оказывается обычно неодинаковым, и период квантования выбирают по большему из них: Т ≥ τ кор.max . При выборе момента измерений координат возможны два способа: синхронный — x(t) и y(t) измеряют одновременно в моменты вре- мени t = 0; 2T; …; jT. Недостаток этого способа — зависимость точно- сти измерений от инерционности объекта; асинхронный — величину x(t) измеряют на τ раньше, чем y(t), в этот момент y(jt) в наибольшей степени коррелирует с x(jt – τ). Время τ определяют по максимуму взаимно корреляционной функции. Длительность эксперимента зависит от периода квантования Т и числа дискрет d. Если входная и выходная координаты подчиняются нормальному закону распределения и уравнение регрессии линейно, то d ≥(20…30)k, где k — число неизвестных коэффициентов уравнения регрессии. Тогда длительность эксперимента T э ≥ Td. 2. Определяют параметры уравнения регрессии, описываю- щего теоретическую прямую. Теоретическая прямая — это линия (FL на рис. 1.10), к которой стремится эмпирическая линия регрессии при t → ∞. Как и при обработке результатов активного эксперимента, параметры уравнения регрессии лучше всего определять методом наи- меньших квадратов. 3. Оценивают меру тесноты связи исследуемых параметров. В слу- чае линейной зависимости у = f(x) используют коэффициент корреля- ции R xy , а в случае нелинейной — корреляционное отношение η xy . Оба названных показателя по модулю изменяются от 0 до 1. Если R xy или η ху равны нулю, то связи между у и х нет. Если же эти показатели равны какому-то числу между 0 и 1, то связь есть, но на выходную величину у помимо х влияют и другие факторы. И наконец, если R xy или η xy равны единице, то связь между у и х есть, причем она носит не вероятност- ный, а функциональный характер. Метод активного эксперимента по определению динамических характеристик объекта может быть осуществлен при использовании апериодических или периодических входных воздействий. В первом случае в результате эксперимента получают временные характери- стики (кривые разгона и т. д.), во втором — частотные характеристики. Апериодические входные воздействия типа ступенчатого возмущения (рис. 1.11, а) или прямоугольного импульса (рис. 1.11, б) реализуют, перемещая регулирующий орган на 5…15 % его полного хода. Экспе- римент желательно проводить при нагрузке объекта, соответствующей середине рабочего диапазона x р . Начало и конец эксперимента должны соответствовать установившемуся значению выходной величины, т. е. (0) ( ) (0) ( ) 0 y y y y T y y T = = = = ′ ′ ′′ ′′ , где Т у — время окончания переходного процесса: ориентировочно Т у = (2…3)T об ; T об — постоянная времени объекта. 38 х p y 0 T y 2T y 3T y а 0 t t х х y A A Рис. 1.11. Активный эксперимент по определению динамических характеристик: а — ступенчатое возмущение; б — прямоугольный импульс По результатам эксперимента находят единичные переходные харак- теристики ( ) ( )/ y t q t A ∗ = . Если они отличаются одна от другой при любом 0 < t < Т у не более чем на 15 %, то объект обладает линейной характеристикой. Для дальнейшей обработки принимают единичную усредненную переходную характеристику 1 0 1 1 ( ) ( ) i y t y t N = = ∗ ∑ Полученные в результате эксперимента временны´е характеристики подлежат аппроксимации дифференциальными уравнениями или пере- даточными функциями. Рассмотрим наиболее простые методы аппроксимации инерцион- ных объектов автоматизации. 1. С помощью одного апериодического звена первого порядка с запаздыванием об об об ( ) 1 p k W p e T p τ − = + , (1.10) где W об (р) — передаточная функция объекта; k об — коэффициент пере- дачи объекта; τ — запаздывание. Коэффициент k об рассчитывают как отношение установившегося зна- чения выходной величины у (∞) к величине входного воздействия А. Раз- мерность коэффициента передачи зависит от размерностей величин у и А. Значения постоянной времени T об и запаздывания τ определяют графически по кривой разгона (переходной характеристике) объекта, как показано на рис. 1.12. Дополнительно проведенная прямая линия касается кривой в точке ее перегиба Е (в этой точке угол между каса- тельной и осью абсцисс максимальный). 2. С помощью n апериодических звеньев первого порядка с запаз- дыванием об об об ( ) ( 1) p p n k W p e T p τ τ − − = + e . (1.11) |