не два на огэ. Учебнометодическое пособие предназначено для учителей матема тики cтарших классов средних общеобразовательных учреждений, стре мящихся предотвратить двойки на огэ.
 Скачать 1.41 Mb.
|
|
77. Какая это точка? - 8 9 10 A r B r C r D r 1) точка A 1) точка B 1) точка C 1) точка D. Решение. 1. Возведём все числа на рисунке в квадрат получим следующий рисунок. - 64 81 100 A 2 r B 2 r C 2 r D 2 r 2. Вычислим расстояние от числа ( √ 77) 2 = 77 до числа 81 равно 4 ( |81 − 77| = 4). 3. Вычислим расстояние от числа 77 до числа 64 равно 3 ( |64−77| = 3). 4. Числу 77 соответствует A 2 . Числу √ 77 соответствует A. 5. Запишем ответ в бланк ответов 3.2.2 Раздаточный материал Вычислить расстояние между числами. 1) 64 и 32, 2) 92 и 121, 3) 49 и 37, 4) 81 и 79, 5) 25 и 38, 6) 49 и 22, 7) 67 и 49, 8) 64 и 57, 9) 61 и 25, 10) 49 и 56, 11) 35 и 25, 12) 72 и 64. 29 3.2.3 Варианты задачи №2 (укажите число) Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу x. Какая это точка? - 5 6 7 A r B r C r D r 1) точка A 1) точка B 1) точка C 1) точка D. 1) x = √ 45, 2) x = √ 28, 3) x = √ 34, 4) x = √ 38, 5) x = √ 40, 6) x = √ 31, 7) x = √ 42, 8) x = √ 36, 9) x = √ 44, 10) x = √ 46, 11) x = √ 30, 12) x = √ 27. Пример 3.4 На координатной прямой отмечены числа x и y. - x 0 y Какое из приведённых утверждений неверно? 1) y − x < 0 2) x 2 y > 0 3) xy < 0 4) x + y > 0 Решение. 1. Число x отрицательно, а число y положительно, следовательно число y − x положительно. Утверждение 1) неверно. 2. Число x 2 положительно, число y положительно, следовательно число x 2 y положительно. Утверждение 2) верно. 3. Число x отрицательно, число y положительно, следовательно чис- ло xy отрицательно. Утверждение 3) верно. 4. Число x отрицательно, число y положительно и находится дальше чем x от 0, следовательно число x + y положительно. Утверждение 4) верно. 5. Записать ответ в бланк ответов 30 3.2.4 Раздаточный материал На координатной прямой отмечены числа x и y. Определить знак выражения. - 0 x y 1) x − y, 2) y − x, 3) x + y, 4) −x − y, 5) x · y, 6) y 2 · x, 7) x 2 · y, 8) −x · y. - 0 y x 9) x − y, 10) y − x, 11) x + y, 12) −x − y, 13) x · y, 14) y 2 · x, 15) x 2 · y, 16) −x · y. - y 0 x 17) x − y, 18) y − x, 19) x + y, 20) −x − y, 21) x · y, 22) y 2 · x, 23) x 2 · y, 24) −x · y. - y 0 x 25) x − y, 26) y − x, 27) x + y, 28) −x − y, 29) x · y, 30) y 2 · x, 31) x 2 · y, 32) −x · y. - y 0 x 33) x − y, 34) y − x, 35) x + y, 36) −x − y, 37) x · y, 38) y 2 · x, 39) x 2 · y, 40) −x · y. 31 3.2.5 Варианты задачи №2 (верное утверждение) 1) На координатной прямой отмечены числа x и y. - 0 x y Какое из приведённых утверждений неверно? 1) x − y > 0, 2) −x − y < 0, 3) x · y > 0, 4) ( −x) 2 · y > 0. 2) На координатной прямой отмечены числа x и y. - 0 y x Какое из приведённых утверждений верно? 1) x − y > 0, 2) x + y < 0, 3) x · y < 0, 4) −x · y > 0. 3) На координатной прямой отмечены числа x и y. - y 0 x Какое из приведённых утверждений неверно? 1) x − y > 0, 2) x + y > 0, 3) y 2 · x > 0, 4) −x · y > 0. 4) На координатной прямой отмечены числа x и y. - y 0 x Какое из приведённых утверждений верно? 1) x − y < 0, 2) x · y < 0, 3) y 2 · x < 0, 4) −x · y > 0. 5) На координатной прямой отмечены числа x и y. - y 0 x Какое из приведённых утверждений неверно? 1) −x − y > 0, 2) y 2 · x > 0, 3) x 2 · y < 0, 4) −x · y < 0. 6) На координатной прямой отмечены числа x и y. - 0 y x Какое из приведённых утверждений верно? 1) x · y < 0, 2) y 2 · x < 0, 3) x − y < 0, 4) −x · y < 0. 32 7) На координатной прямой отмечены числа x и y. - 0 x y Какое из приведённых утверждений неверно? 5) x · y > 0, 6) y 2 · x < 0, 8) −x · y < 0, 4) −x − y < 0. 3.3 Задание №4 Пример 3.5 Решите уравнение 13 + x 4 = x + 1 Решение. 1. Умножим все уравнение на общий знаменатель 52 + x = 4x + 4. 2. Перенесем все члены содержащие неизвестные влево все извест- ные вправо x − 4x = 4 − 52. 3. Выполним действия −3x = −48. 4. Разделим на коэффициент перед x ( −3): x = −48 −3 = 16. 5. Запишем ответ в бланк ответов 3.3.1 Раздаточный материал Умножить всё уравнение на общий знаменатель. 1) 3 + x 5 = x + 1 2 , 2) 1 3 + x 4 = 4x, 3) 1 4 + 5x = 2x + 1 5 , 4) 5 + 1 5 x = 2 3 x + 1 1 2 , 5) 2 3 + 2 1 4 x = 1 2 x + 5, 6) 3 2 + 1 3 4 x = 2x + 1 2 , 7) 2 15 + 4 3 x = x + 5 1 5 , 8) 1 1 6 + 8 3 x = 1 1 2 x + 6, 9) 3 4 + 3 1 2 x = 2 5 x + 4, 10) 3 5 + 1 1 2 x = 3x + 1 6 , 11) 5 + 2 3 x = 3x + 1 3 5 , 12) 3 4 5 + 1 1 6 x = 5x + 1. Перенести все члены содержащие неизвестные влево, а все извест- ные — вправо. 33 1) 3x − 5 = 2x + 1, 2) 51x + 11 = −3x + 4, 3) −3x − 6 = −x + 82, 4) 12x − 8 = −21x + 4, 5) 6x + 4 = 3x − 18, 6) −3x − 6 = −8x + 1, 7) 5 − 4x = −x + 8, 8) 33 − 11x = 22 − 8x, 9) x + 24 = 38 − 21x, 10) 65+11x = 98 −16x, 11) 3x + 21 = 12 + 4x, 12) 33 − 13x = 61 + 3x. Привести подобные. 1) 21x + 4x = 13 − 43, 2) 5x = 52 − 16, 3) 8x − 11x = −24, 4) 13x − 13x = 21 + 4, 5) −6x + 2x = 46 − 11, 6) 32x + 21x = 44 − 3, 7) x + 8x − 22x = 8 + 11, 8) 4x − 16x = 3 − 15 + 24. Разделить на коэффициент перед x. 1) 6x = 42, 2) −11x = 242, 3) −4x = −124, 4) 3x = −39, 5) 6x = 39, 6) −4x = 125, 7) 2x = −19, 8) −5x = −11. 3.3.2 Варианты задачи №4 Решите уравнение. 1) 3 + x 5 = x + 1 2 , 2) 2 3 + x 4 = x 3 , 3) 1 4 + 3x = 2x + 1 5 , 4) 5 + 1 5 x = 2 3 x + 1 1 2 , 5) 2 3 + 2 1 4 x = 1 2 x + 5, 6) 3 2 + 1 3 4 x = 2x + 1 2 , 7) 2 15 + 4 3 x = x + 5 1 5 , 8) 1 1 6 + 7 3 x = 1 1 2 x + 6, 9) 3 4 + 1 1 2 x = 1 5 x + 4, 10) 2 5 + 1 1 3 x = x + 1 6 , 11) 5 − x 3 = 3x + 1 3 5 , 12) 3 4 5 + 5x 6 = 5x + 1. 34 4 ГЕОМЕТРИЯ По геометрии выбор не так велик, как по алгебре: всего 5 задач, а не 8. Правда, и выбрать из них надо не 3 — 4, а всего 1 — 2. Вторым неприятным моментом является сертификация. По сути ко всем зада- ниям в сертификации стоят одни и те слова: «уметь выполнять дей- ствия с геометрическими фигурами, координатами и векторами». Ещё из сертификации следует, что будет по одной задаче на каждую из тем «геометрические фигуры и их свойства», «треугольник», «многоуголь- ник», «окружность и круг», «измерение геометрических величин». И это всё. Мы понимаем, что тема «окружность и круг» по умолчанию не самая простая, её брать не стоит. Также вряд ли правильно брать зада- ния, в которых требуется из нескольких утверждений выбрать верное: ведь по сути это надо проверить правильность нескольких утвержде- ний (обычно, четырёх), и ошибка хотя бы в одном пункте приводит к нулю баллов за всё задание. Статистика решения геометрии приведена на следующей диаграм- ме. 35 Решаемость задач по геометрии (статистика 2014 года) Хорошо видно, что более простыми задачами являются задания 9 и 11. Задача 9 — это задача на подсчёт углов. Для её выполнения нуж- но знать весьма немного фактов, но знать их твёрдо, безошибочно. Ну и не ошибиться в счёте. Задача 11 — это задача на тему «много- угольник». Опять же под многоугольником понимается либо паралле- лограмм (возможно, его частные случаи — ромб или прямоугольник), либо трапеция, либо правильный многоугольник с небольшим числом сторон (5, 6 или 8). Кроме того, в этой задаче почти всегда задейство- вано понятие площади и предполагается нахождение этой площади по известным формулам. Общая картина приведена в следующей таблице. 36 номер раздел геометрии процент задания выполняемости 13 Геометрические фигуры и их свойства 51% 9 Треугольник 76% 11 Многоугольники 73% 10 Окружность и круг 33% 12 Измерение геометрических величин 29% В целом модуль «Геометрия» 65% Как уже отмечалось, элементы требований из спецификации, ввиду краткости, мало отражают необходимые навыки и умения. Эти умения формируются, начиная с 5 класса. Проблемы с усвоением геометрии, что в Свердловской области, что во всей России, отмечаются далеко не первый год. Хотя, надо признать, ситуация со временем улучшает- ся, но крайне медленно. Характерны задачи, по которым набрано ми- нимальное количество баллов. Эти задачи связанные с окружностью, вписанными в них фигурами, они решаются плохо. Весьма трудной, по мнению авторов наиболее трудной для девятиклассников, является и тема «тригонометрия», поскольку на неё отводится мало времени (11 часов в некоторых школах). Трудность последней темы связана также и с «непривычностью» материала. Кроме того, с понятием «соотноше- ния» и «доли», многие школьники испытывают трудности, а в прило- жении к геометрическим величинам эти трудности и вовсе становятся непреодолимыми. Итак, делаем вывод, что в качестве «обязательных» надо выбирать темы «треугольник» и «площадь многоугольника», т. e. задачи 9 и 11. 37 4.1 Задание №9 При подготовке к решению геометрических задач, даже самых про- стых, нужно добиться, чтобы школьник выучил назубок определённые геометрические факты, определения, теоремы. Об этом приходится го- ворить, поскольку в реальной жизни современные дети мало общаются с геометрией (с алгеброй больше, с числами ещё больше), геометриче- ская интуиция у них развита меньше, поэтому не приходится надеяться на то, что на экзамене она им поможет. Чаще всего, если нужный факт забыт (тем более, если школьник его просто никогда не знал), задача решена не будет, и верный ответ тоже не будет получен. Поскольку контингент, с которым мы сейчас работаем, никогда не будет помнить много геометрических фактов, следует выделить тот необходимый ми- нимум, который школьник должен знать. Так, для решения задачи №9 школьник должен запомнить следую- щие простые факты. 1) Сумма углов любого треугольни- A C B O ∠BOA = ∠BOC + ∠AOC ка равна 180 ◦ . 2) Сумма смежных углов равна 180 ◦ 3) Биссектриса угла делит его попо- лам. 4) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 5) Если луч OC лежит внутри уг- ла BOA (см. рисунок), то ∠BOA = ∠BOC + ∠AOC. 6) При пересечении двух параллельных прямых третьей соответ- ственные углы равны; накрестлежащие углы тоже равны. Само собой разумеется, что эти факты ученик должен знать не «по формулировке», а «по сути», т. е. видеть нужные равные углы на ри- 38 сунке, понимать, что такое биссектриса, что такое развёрнутый угол и пр. Конечно, это осложняет подготовку к геометрическим задачам, но без этого никак. Пример 4.1 На прямой AB взята точка M . Луч M D — биссектриса угла CM B. Известно, что ∠DMC = 40 ◦ . Найдите угол CM A. Ответ дайте в градусах. A M D C B Решение. 1. Отметим на рисунке равные углы (по определению биссектрисы ∠DMC = ∠BMD). A M D 40 40 o o C B 2. Расставим на рисунке данные в задаче углы и отметим угол, ко- торый надо найти (обозначив его переменной x). A M D 40 x 40 o o o C B 3. Составим уравнение x + 40 ◦ + 40 ◦ = 180 ◦ . 4. Решим уравнение; получим x = 100 ◦ 5. Запишем ответ (число 100) в бланк ответов 39 Пример 4.2 Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45 ◦ и 40 ◦ . Найдите больший угол параллело- грамма (в градусах). D A 45 40 o o C B Решение. 1. Отметим на рисунке заданные углы и угол, который надо найти (обозначив его через x). 2. Отметим равные углы (внутренние накрест лежащие при парал- лельных AB и CD и секущей BD, а также внутренние накрест лежа- щие при параллельных AD и BC и секущей BD). 3. Найдём угол D параллелограмма, как сумму углов ADB и CDB ( ∠D = ∠CDB + ∠ADB = 40 ◦ + 45 ◦ = 85 ◦ ). 4. Найдём угол A параллелограмма из треугольника ABD (x+40 ◦ + ∠45 ◦ = 180 ◦ , откуда ∠A = x = 180 ◦ − 40 ◦ − 45 ◦ = 95 ◦ ). 5. Из двух значений ∠A и ∠D выберем наибольшее (max {85 ◦ , 95 ◦ } = 95 ◦ ). A A A D D D C C C x x 45 45 85 40 40 95 40 o o o o o o o o o B B B К решению примера 7.2 40 6. Запишем ответ (число 95) в бланк ответов Пример 4.3 В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вер- шине B равен 125 ◦ . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. B C A Решение. 1. Отметим на рисунке равные углы при основании равнобедренного треугольника и отметим заданный угол. B 125 O C A 2. Обозначим угол, который надо найти, через x и найдём угол при основании равнобедренного треугольника ( ∠CBA = 180 ◦ −125 ◦ = 55 ◦ ). B 125 55 O O C x A 3. Запишем сумму углов треугольника ABC (x + 55 ◦ + 55 ◦ = 180 ◦ ) и решим полученное уравнение (x = 50 ◦ ). 4. Запишем ответ (число 50) в бланк ответов 41 4.1.1 Раздаточный материал Отметьте (и обозначьте переменной x) углы на рисунке M N P Q O 1) P OQ; 2) M OP ; 3) P ON ; 4) N OQ. A D C B E 5) BED; 6) CED; 7) CEA; 8) AEC. A D C B 9) ADC; 10) ACD; 11) ACB; 12) BDA; 13) BAC. A C M B 42 14) ACB; 15) AM B; 16) BM C; 17) CBM ; 18) BAC. Отметьте на рисунке все пары равных углов 1) 2) 3) 4) 6) 5) 8) 7) 9) 10) 11) 12) 13) 15) 16) 17) 14) 19) 20) 21) 18) На рисунке укажите численные значения всех углов, которые можно определить по данным задачи. B A D C 43 1) ∠ACB = 80 ◦ , ∠ABD = 38 ◦ ; 2) ∠CAD = 13 ◦ , ∠CAB = 73 ◦ ; 3) ∠ACB = 76 ◦ , ∠CAB = 67 ◦ ; 4) ∠CAD = 12 ◦ , CB = CD. B A D C 5) ∠DAB = 70 ◦ , ∠ABD = 43 ◦ ; 6) ∠ADB = 74 ◦ , ∠BDC = 27 ◦ ; 7) ∠ABC = 122 ◦ , ∠CDB = 56 ◦ ; 8) ∠CBD = 40 ◦ , AD = BD. B A D C O 9) ∠AOD = 78 ◦ , ∠ACD = 22 ◦ ; 10) ∠ADB = 74 ◦ , ∠DBA = 32 ◦ ; 11) ∠COD = 99 ◦ , ∠OBA = 37 ◦ ; 12) ∠ABC = 84 ◦ , AD = BC. K O L M N F 13) ∠LOM = 25 ◦ ; 14) ∠KOF = 64 ◦ ; 15) ∠NOF = 102 ◦ ; 16) ∠KOM = 163 ◦ 44 B A M N F C 17) ∠CBF = 132 ◦ ; 18) ∠MCN = 74 ◦ , ∠CAB = 64 ◦ ; 19) ∠ABC = 22 ◦ , ∠NMA = 98 ◦ ; 20) ∠NBF = 140 ◦ , CN = M N . 4.2 Задание №11 Задачи на нахождение площади фигур подразумевают знание фор- мул, по которым эти площади считаются. Таких формул в геометрии немало, только для одного треугольника (общего вида) их по крайней мере пять: половина произведения основания на высоту, половина произведения двух сторон на синус угла между ними, формула Герона, полупериметр умноженный на радиус вписанной окружности, произведение трёх сторон делённое на учетверённый радиус описанной окружности). Если же брать всякие частные случаи получится ещё больше. Также нужны формулы для трапеций, параллелограммов и прочее. Авторы исходят из того, что математически слабый школьник не в состоянии выучить все эти формулы. Поэтому предлагается обойтись следующим минимумом. 1) Площадь треугольника всегда считается как половина произве- дения основания на высоту. 2) Площадь параллелограмма (в частности, ромба и прямоугольни- ка) всегда считается как произведение основания на высоту. 45 3) Площадь трапеции всегда считается как полусумма оснований, умноженная на высоту. 4) Площадь любого многоугольника (трапеции и параллелограмма в частности) равна сумме площадей треугольников, на которые он разбивается. Последний пункт следует применять в тех случаях, когда либо вид многоугольника не определён, либо найти нужные для нахождения площади величины затруднительно. Типичный пример — произволь- ный четырёхугольник на клетчатой бумаге с вершинами в узлах сетки. Его разумно разбить на треугольники (обычно диагональю). Кстати, для таких фигур рекомендуем использовать ещё одну формулу — фор- мулу Пика. Эта формула не изучается в стандартном курсе средней школы, но она очень проста и позволяет столь же просто и быстро искать площадь многоугольника любого вида. Формула такова. S = a + b 2 − 1. Здесь a — количество узлов сетки, лежащих строго внутри много- угольника, b — количество узлов сетки, лежащих на его границе. Подчеркнём, что формула справедлива только для многоугольника, все вершины которого лежат в вершинах клеток, причём сторона клетки должна быть равна 1. Но других ситуаций в задачах базового уровня не бывает: если нарисована клетчатая бумага, то всегда сторона клетки 1, а вершины многоугольника в узлах сетки. Поэтому мы в дальнейшем не будем обращать внимание на указанные ограничения. Также мы не будем приводить её доказательство — всё равно слабый школьник его не выучит, а скорее всего, просто не поймёт. Желающие легко надут доказательство в специальной литературе или в интернете (достаточно ввести в поисковик слова 46 «формула Пика»). Сама же формула легко запоминается и применяет- ся даже очень слабыми учениками, поэтому показать её школьникам, заставить выучить и «натаскать» на использование при решении задач такого типа полезно и не занимает много времени. Пример 4.4 Найдите площадь треугольника, изображённого на ри- сунке. 10 24 40 26 32 Решение. 1. Вспомнить формулу площади треугольника (S = 1 2 · a · h). 2. Найти на рисунке a и h (a — нижняя сторона треугольника, h — высота) и заметить, что высота известна. 3. Найти a (a = 32 + 10 = 42) 4. Подставить значения a и h в формулу и произвести вычисления S = 1 2 · 42 · 24 = 504 5. Записать ответ в бланк ответов. Применительно к этой задаче обратим внимание на 2 момента. Мо- мент первый. В условии задачи имеются данные, которые для решения не нужны (длины двух других сторон). Это ситуация достаточно ти- пичная для заданий ОГЭ и надо, чтобы школьники к ней были готовы. Это значит, что в процессе подготовки необходимо давать школьникам 47 такие задания с «лишними данными». Понятно, не сразу, а начиная где-то с середины подготовки по данной задаче. Момент второй. Ино- гда «лишние данные» на самом деле могут быть найдены из других условий задачи (в приведённом примере по теореме Пифагора из пря- моугольных треугольников, на которые высота разделила исходный). Поэтому если бы вместо этих значений стояли бы другие, то условие задачи было бы противоречивым, и сама задача решения не имела. На ОГЭ такая ситуация невозможна и говорить об ней слабым ученикам не надо. Но учитель всегда должен иметь её в виду, особенно, если он будет сам составлять подобные задания или их фрагменты. Пример 4.5 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника. Решение. 1. Вспомнить формулу площади треугольника (S = 1 2 · a · h). 2. Отметить на рисунке то, что дано. 34 34 60 3. Найти на рисунке a и h (a — нижняя сторона треугольника, h — высота, но высоты нет, поэтому её следует провести) и заметить, что основание a известнo, а высота — нет. 34 h 34 60 48 4. Из свойства равнобедренного треугольника найти половину ниж- него основания, а затем и высоту (h = √ 34 2 − ( 60 2 ) 2 = 16). 5. Подставить значения a и h в формулу и произвести вычисления S = 1 2 · 60 · 16 = 480. 6. Записать ответ в бланк ответов. Пример 4.6 Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на от- резки AH = 5 и HD = 8. Найдите площадь ромба. B C A H D Решение. 1. Вспомнить, что ромб является параллелограммом и что его площадь вычисляется по формуле S = a · h). 2. Отметить на рисунке данные задачи и понять, что для нахожде- ния площади нужно найти высоту h. B C A H h 5 8 D 3. Найти длину стороны ромба (a = AH + HD = 5 + 8 = 13). 4. По теореме Пифагора из треугольника ABH найти высоту (h = √ a 2 − AH 2 = √ 13 2 − 5 2 = 12). 49 4. Найти площадь ромба (S = 13 · 12 = 156.) 5. Записать ответ в бланк ответов. Пример 4.7 Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. 1 Решение. 1. Вспомнить формулу площади трапеции (S = a + b 2 · h). 2. Отметить на рисунке a, b и h (высоту h следует провести). 1 a h b 3. Подсчитав количество клеточек найти все нужные величины (a = 6, b = 11, h = 6) 4. Подставить значения величин в формулу и произвести вычисле- ния S = 6 + 11 2 · 6 = 51. 5. Записать ответ в бланк ответов. 50 Пример 4.8 Найдите площадь пятиугольника, изображённого на ри- сунке. 1 Решение. 1. Вспомнить формулу Пика (S = a + b 2 − 1). 2. Посчитать количество узлов сетки внутри пятиугольника (на ри- сунке — белые точки). a = 14. 1 3. Посчитать количество узлов сетки на границе пятиугольника (на рисунке — чёрные точки). b = 10. 51 1 4. Подставить значения a и b в формулу Пика и произвести вычис- ления S = 14 + 10 2 − 1 = 18. 5. Записать ответ в бланк ответов. Заметим, что эту задачу можно легко решать и без формулы Пика (это, видимо, и есть предполагаемое решение), а именно, можно пятиугольник разбить вертикальной диагональю на треугольник и трапеции и найти площади частей также, как это было сделано в предыдущем примере. Верно и обратное, что задачу из предыдущего примера можно легко решить с помощью формулы Пика. Какой метод предпочесть — дело вкуса. 52 4.2.1 Раздаточный материал Напишите формулу, по которой находится площадь многоугольника, изображённого на рисунке. 2) 1) a a l t b h c h m 3) 4) a n b c c d h m 6) 5) t p b a d b c s l 8) 7) a b m n a c 10) 9) b b a c h h c d 53 12) 11) d d h l c b b c a a Найдите величину отрезка. В заданиях 1 — 8 найдите высоту многоугольника. 2) 1) 8 5 11 9 41 40 4) 3) 11 4,1 14,2 10,4 3,8 3,9 1 18 1 1 6) 5) 1 1 7) 8) 54 В заданиях 9 — 16 найдите основание многоугольника (в случае трапеции найдите оба её основания). 10) 12,5 8,5 6 4 5 2 9) 25 20 17 2,3 3,6 3,4 5,1 11) 12) 1 1 14) 13) 1 1 15) 16) 55 Представьте многоугольник в виде объединения (или разности) нескольких многоугольников, площадь которых легко находится. 2) 1) 4) 3) 6) 5) 8) 7) 56 10) 9) 12) 11) Применяем формулу Пика. В задачах 1 — 6 подсчитайте количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника. 2) 1) 3) 4) 6) 5) 57 В задачах 7 — 12 подсчитайте количество узлов сетки, лежащих на границе многоугольника. 8) 9) 7) 10) 12) 11) 5 РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Задачи этого типа следует отнести к наиболее простым. Перед Вами статистика их решения. 58 Решаемость задач по реальной математике (статистика 2014 года) Как видно из приведённой диаграммы, задачи модуля «реальная математика» решаются практически одинаково, нет большой разни- цы в проценте их решаемости. Исключение составляет задача 15. Это задание надо взять обязательно. Какое задание выбрать вторым, в зна- чительной мере дело вкуса. Мы предлагаем задание 18 — это тот же график, но на круговой диаграмме. Нам кажется, что такой выбор бо- лее естественен. А вот разделы «Элементы теории вероятностей» (за- дание 18) и «Геометрия» (задание 17) являются несколько более про- блемными, выбирать эти задачи надо с известной долей осторожности. Распределение по темам и их решаемости можно увидеть из следующей таблицы: 59 номера раздел реальной процент заданий математики выполняемости 16, 19 Числа и вычисления 58% 20 Алгебраические выражения 65% 15 Функции и графики 94% 17 Геометрия 54% 14, 18 Статистика и теория вероятности 29% Последняя таблица не вполне показательна, так как в ней «склее- ны» результаты выполнения заданий 16 и 19, а также заданий 14 и 18. Поэтому для правильного выбора лучше пользоваться не ей, а приве- дённой выше гистограммой. Мы выбрали в качестве «обязательных» задания 15 и 18. Поговорим о них подробнее. 5.1 Задание №15 Пример 5.1 На рисунке изображен график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни неде- ли, по вертикали — значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение атмосферного давле- ния в среду. 60 Решение. 1. Определить о каких осях идет речь. Среда — по горизонтали (ось x), давление по вертикали (ось y). 2. Определить цену деления. По оси y цена деления 1мм ртутного столба, по оси x цена деления не нужна, поскольку среда явно выде- лена. 3. Дать ответ 753. 4. Записать ответ в бланк ответов 5.1.1 Раздаточный материал Написать на осях цену деления 1. 2. 3. 4. 61 Отметить промежуток на оси 1. Обвести промежуток от 62 до 132 на горизонтальной оси 3. Обвести промежуток от 74 до 90 на вертикальной оси 2. Обвести промежуток от 77 до 112 на горизонтальной оси 4. Обвести промежуток от 72 до 110 на вертикальной оси Найти значение на оси 1. Найти максимальное значение на промежутке от 35 до 70. 2. Найти минимальное значение на промежутке от 50 до 90. 3. Найти на промежутке от 50 до 90 точку в которой значение мини- мальное. 62 4. Найти на промежутке от 65 до 100 точку в которой значение макси- мальное. 5.1.2 Варианты задачи №15 1. На рисунке жирными точками показан курс доллара, установлен- ный Центробанком РФ, на все рабочие дни в феврале 2006 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена долла- ра в рублях. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьший курс доллара за период с 8 по 17 февраля 2006 года. Ответ дайте в рублях. 1 28,08 28,22 28,12 28,18 28,26 28,10 28,16 28,24 28,14 28,20 28,28 17 9 21 3 11 27 7 23 15 2 18 10 22 14 4 28 8 16 2. На рисунке жирными точками показан курс доллара, установлен- ный Центробанком РФ, на все рабочие дни в феврале 2006 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена доллара в рублях. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Опре- делите по рисунку наибольший курс доллара за вторую половину (т. е. за период с 15 по 28) февраля 2006 года. Ответ дайте в рублях. 1 28,08 28,22 28,12 28,18 28,26 28,10 28,16 28,24 28,14 28,20 28,28 17 9 21 3 11 27 7 23 15 2 18 10 22 14 4 28 8 16 3. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по 63 вертикали –— значения атмосферного давления в миллиметрах ртут- ного столба. Укажите наибольшее значение атмосферного давления во вторник. 4. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вер- тикали –— значения атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наибольшее значение атмосферного давления в среду. 5.2 Задание №18 Пример 5.2 На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользователей. |