Учебное пособие для студентов педагогичес ких вузов. М. Карпов Е. В., 2016. 152 с

• Название: Учебное пособие для студентов педагогичес ких вузов. М. Карпов Е. В., 2016. 152 с
• Дата: 13.02.2022
• Размер: 3.75 Mb.
• Имя файла: 40958_629a8142b77ee5d90a57935e839147e7 2.pdf
• Тип: Учебное пособие; #360641
• страница: 4 из 7

§ 5. Минимизация логических функций
Преобразование логических функций с целью упрощения их анали- тического представления называется минимизацией логических функ- ций. Существует два метода минимизации логических функций: анали- тический и графический.
5.1.
Аналитический метод
Преобразование логической функции производится непосредствен- но на основе законов и соотношений булевой алгебры.
Приведем несколько наиболее часто используемых методов алгеб- раической минимизации.
1. Приведение выражения в каноническую форму с последующим упрощением.
Пример.
1) Приведение к каноническому виду:
𝑥
1
𝑥̅
2
+ 𝑥
1
𝑥
2
𝑥̅
3
+ 𝑥̅
1
𝑥
2
𝑥̅
3
+ 𝑥̅
1
𝑥
2
𝑥
3
= 𝑥
1
𝑥̅
2
(𝒙
𝟑
+ 𝒙̅
𝟑
) + 𝑥
1
𝑥
2
𝑥̅
3
+ 𝑥̅
1
𝑥
2
𝑥̅
3
+ 𝑥̅
1
𝑥
2
𝑥
3
= 𝑥
1
𝑥̅
2
𝒙
𝟑
+ 𝑥
1
𝑥̅
2
𝒙̅
𝟑
+ 𝑥
1
𝑥
2
𝑥̅
3
+ 𝑥̅
1
𝑥
2
𝑥̅
3
+ 𝑥̅
1
𝑥
2
𝑥
3
(обратите внимание, что помимо приведения к каноническому виду, бы- ло использовано тождество
𝑥 + 𝑥 = 1).
2) Упрощение аналитического выражения:
𝑥
1
𝑥̅
2
𝒙
𝟑
+ 𝑥
1
𝑥̅
2
𝒙̅
𝟑
+ 𝑥
1
𝑥
2
𝑥̅
3
+ 𝑥̅
1
𝑥
2
𝑥̅
3
+ 𝑥̅
1
𝑥
2
𝑥
3
+ 𝒙
𝟏
𝒙̅
𝟐
𝒙̅
𝟑
= 𝑥
1
𝑥̅
2
(𝑥
3
+ 𝑥̅
3
)
+ 𝑥
1
𝑥̅
3
(𝑥
2
+ 𝑥̅
2
) + 𝑥̅
1
𝑥
2
(𝑥
3
+ 𝑥̅
3
) = 𝑥
1
𝑥̅
2
+ 𝑥
1
𝑥̅
3
+ 𝑥
̅
1
𝑥
2
(обратите внимание, что было использовано тождество
𝑥 + 𝑥 = 𝑥 и до- бавлено одно слагаемое из уже имеющихся в выражении).
2. Использование теоремы де Моргана.
Этот метод наиболее эффективен в тех случаях, когда приходится иметь дело со сложными функциями, включающими многоуровневые инверсии. Многократное применение теоремы де Моргана позволяет значительно уменьшить число уровней.
Пример.
(𝑥
1
+ 𝑥
2
)(𝑥
2
𝑥
3
̅̅̅̅̅̅ + 𝑥
2
𝑥̅
3
+ 𝑥
1
𝑥
2
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥
1
+ 𝑥
2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) + (𝑥
2
𝑥
3
̅̅̅̅̅̅ + 𝑥
2
𝑥̅
3
+ 𝑥
1
𝑥
2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
= 𝑥̅
1
𝑥̅
2
+ 𝑥
2
𝑥
3
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅ ∙ 𝑥
2
𝑥̅
3
̅̅̅̅̅̅ ∙ 𝑥
1
𝑥
2
̅̅̅̅̅̅
= 𝑥̅
1
𝑥̅
2
+ 𝑥
2
𝑥
3
∙ (𝑥̅
2
+ 𝑥
3
) ∙ (𝑥̅
1
+ 𝑥̅
2
) = 𝑥̅
1
𝑥̅
2
+ 𝑥̅
1
𝑥
2
𝑥
3
= 𝑥̅
1
(𝑥̅
2
+ 𝑥
2
𝑥
3
)
3. Группировка членов с последующим применением тождеств.

55
Метод заключается в применении закона ассоциативности для пра- вильной группировки членов, после чего к полученному выражению применяются известное тождество
𝑥 + 1 = 1.
Пример.
𝑥
1
+ 𝑥
1
𝑥̅
3
+ 𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
= 𝑥
1
(1 + 𝑥̅
3
+ 𝑥
2
𝑥
3
) = 𝑥
1
.
Существуют еще два тождества, которые могут быть очень полезны для задач алгебраической минимизации.
1)
𝑥
1
+ 𝑥̅
1
𝑥
2
= 𝑥
1
+ 𝑥
2
;
2)
𝑥
1
𝑥
2
+ 𝑥̅
1
𝑥
3
+ 𝑥
2
𝑥
3
= 𝑥
1
𝑥
2
+ 𝑥̅
1
𝑥
3
(так называемая теорема о не- противоречивости). Тождество может быть доказано с помощью табли- цы истинности.
Пример. Упростите выражение
𝑦 = 𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
+ 𝑥̅
1
𝑥
4
𝑥
5
+ 𝑥
2
𝑥
3
𝑥
4
𝑥
5
используя теорему о непротиворечивости
𝑦 = 𝑥
1
𝒙
𝟐
𝒙
𝟑
+ 𝑥̅
1
𝒙
𝟒
𝒙
𝟓
+ 𝒙
𝟐
𝒙
𝟑
𝒙
𝟒
𝒙
𝟓
= 𝑥
1
𝑥
2
𝑥
3
+ 𝑥̅
1
𝑥
4
𝑥
5
Задача 9. Пусть некоторая логическая задача задана таблицей ис- тинности:
3
x
2
x
1
x
y
0 0
0 1
0 0
1 1
0 1
0 1
0 1
1 1
1 0
0 0
1 0
1 0
1 1
0 0
1 1
1 0
Составим по таблице истинности логическую функцию и упростим ее:
СДНФ:


минтермов
y
– при
1
y







3 2
2 3
1 1
3 2
1 1
3 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y












СКНФ:


макстермов
y
– при
0

y
)
(
)
(
)
(
)
(
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y












3 2
1 2
1 2
1 2
1 3
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y










56
5.2.
Графический метод

карты Карно (1953)
Преобразование логической функции производится на основе гра- фического представления таблиц истинности, т.е. с помощью карты
Карно. Она имеет ячейки для всех возможных минтермов функции.
Правила построения карты Карно:
1) логическую функцию
 
i
x
f
y

необходимо представить в СДНФ;
2) в карте Карно содержится
n
2 квадратов, где n – число переменных в данной функции;
3) в каждом квадрате карты Карно переменные (
i
x
) соединены опе- рацией конъюнкции, а квадраты соединены операцией дизъюнк- ции;
4) каждый квадрат отличается от любого соседнего только на одну переменную;
5) соседние квадраты можно сгруппировать для исключения одной переменной;
6) с целью исключения 1, 2, 3-х, … переменных одна и та же единица может участвовать в нескольких объединениях;
7) допускается иметь несколько объединений, при этом необходимо охватить наибольшее число квадратов (
n
2 ); в перекрывающихся объединениях хотя бы один квадрат должен быть новым;
8) карта Карно заполняется единицами «1», соответствующими каж- дому слагаемому в заданной логической функции;
9) карта Карно изображается на плоскости, но в действительности она имеет тороидальную форму, и это необходимо учитывать при объединении квадратов;
10) чтобы записать минимизированную функцию, необходимо сгруп- пировать все возможные квадраты (
n
2 ), содержащие «1», исклю- чить соответствующие переменные и объединить группы операци- ей дизъюнкции.
Задача 10. Дана функция
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y




Необходимо минимизировать функцию с помощью карты Карно.
3
2
x
x
1
x
3
2
x
x
3
2
x
x
3
2
x
x
3
2
x
x
1
x
1 0
0 1

57
1
x
1 1
0 0
2 1
3 1
x
x
x
x
y


Задача 11. Постройте логическую схему для сравнения двух двух- разрядных двоичных слов:
)
x
(x
А
2
1
,

и
)
x
(x
B
4
3
,

(цифровой компара- тор) и проверьте ее действие по таблице истинности.
Решение
1) зададим кодирование: если
B
A

(слова одинаковые), то
0
y

, если
B
A

(слова разные), то
1
y

;
2) построим таблицу истинности:
4
x
3
x
2
x
1
x
y
0 0
0 0
0 0
0 0
1 1
0 0
1 0
1 0
0 1
1 1
0 1
0 0
1 0
1 0
1 0
0 1
1 0
1 0
1 1
1 1
1 0
0 0
1 1
0 0
1 1
1 0
1 0
0 1
0 1
1 1
1 1
0 0
1 1
1 0
1 1
1 1
1 0
1 1
1 1
1 0
Составим логическую функцию:

y
4 3
2 1
x
x
x
x
+
4
3
2
1
x
x
x
x
+
4 3
2 1
x
x
x
x
+
4
3
2
1
x
x
x
x
+
4 3
2 1
x
x
x
x
+
4
3
2
1
x
x
x
x
+
+
4
3
2
1
x
x
x
x
+
4
3
2
1
x
x
x
x
+
4
3
2
1
x
x
x
x
+
4
3
2
1
x
x
x
x
+
4
3
2
1
x
x
x
x
+
4 3
2 1
x
x
x
x
3) составим карту Карно
4
3
x
x
2
1
x
x
4
3
x
x
4
3
x
x
4
3
x
x
4
3
x
x
2
1
x
x
0 1
1 1
2
1
x
x
1 0
1 1
2
1
x
x
1 1
0 1
2
1
x
x
1 1
1 0

58
Используя правила построения карт Карно, объединим единицы, стоящие рядом (по четыре).
4) запишем минимизированную функцию:

 

4 2
3 1
3 1
3 1
4 2
4 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y








5) построим логическую схему:
X
1
X
2
=1
y
=1
1
X
3
X
4
Изменим кодирование, т.е. если
B
A

(слова одинаковые), то
1
y

, если
B
A

(слова разные), то
0
y

Карта Карно при данном кодировании имеет вид:
4
3
x
x
2
1
x
x
4
3
x
x
4
3
x
x
4
3
x
x
4
3
x
x
2
1
x
x
1
2
1
x
x
1
2
1
x
x
1
2
1
x
x
1

 


 

3 1
4 2
3 1
4 2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y













Задача 12. Реализуйте логические операции: а) мажоритарность: выходной сигнал равен 1, тогда и только тогда, когда большинство входных сигналов равны единице (n = 3; 4); б) логический порог: выходной сигнал равен 1 тогда и только тогда, когда 2 или более входных сигналов равны единице (n = 3; 4); в) контроль четности: выходной сигнал равен 1, если на входе не- четное число единиц (n = 3; 4).

59
Примечание. Карта Карно, как правило, применяется для решения задач с количеством переменных не более четырех. При большем числе переменных построение карты Карно сильно усложняется.
Приведем пример ее построения для n = 5.
5
x
4
x
3
x
3
x
5
4
3
x
x
x
2
1
x
x
5
4
3
x
x
x
5
4
3
x
x
x
5
4
3
x
x
x
5
4
3
x
x
x
5
4
3
x
x
x
5
4
3
x
x
x
5
4
3
x
x
x
5
4
3
x
x
x
2
1
x
x
1
x
2
1
x
x
2
x
2
1
x
x
2
1
x
x
Задача 13. В коридоре при освещении используется три выключа- теля, каждый из которых может включать и выключать свет при любом положении остальных.
Спроектируйте данное устройство включения и выключения осве- щения.
Решение
а) n=3
Составим таблицу истинности и запишем логическую функцию
3
x
2
x
1
x
y
0 0
0 0
0 0
1 1
0 1
0 1
0 1
1 0
1 0
0 1
1 0
1 0
1 1
0 0
1 1
1 1
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y




Минимизируем функцию с помощью карты Карно
3
2
x
x
1
x
3
2
x
x
3 2
x x
3 2
x x
3
2
x
x
1
x
0 1
0 1
1
x
1 0
1 0

60 3
2 1
3 2
1 3
2 1
)
(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y







Построим логическую схему
X
1
X
2
=1
y
=1
X
3
б)
Спроектируйте аналогичное устройство на четырех выключате- лях
Ответ:
4
3
x
x
2
1
x
x
4
3
x
x
4
3
x
x
4
3
x
x
4
3
x
x
2
1
x
x
1 1
2
1
x
x
1 1
2
1
x
x
1 1
2
1
x
x
1 1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
x
x
x
x
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
(
x
x
)
x
x
(
x
x
)
x
x
(
x
x
)
x
x
(
x
x
y



















Задача 14. Спроектируйте устройство включения и выключения звукового сигнала переключением одного из двух ключей, независимо от состояния другого ключа.
Ответ: а)
2
1
x
x
y


б)
2
1
x
x
y


2
x
1
x
y
0 0
0 0
1 1
1 0
1 1
1 0
2
x
1
x
y
0 0
1 0
1 0
1 0
0 1
1 1

61
Задачи для самостоятельного решения
Задача 15. Комитет состоит из трех человек и принимает решения простым большинством голосов.
Постройте схему машины голосования для этого комитета так, что- бы в случае принятия решения загоралась лампочка.
Задача 16. В точках 1, 2, 3, 4 некоторой конструкции установлены термодатчики
4 3
2 1
x
x
x
x
,
,
,
, фиксирующие превышение температуры над установленными уровнями. Деформация ее может наступить при одно- временном перегреве в точках: а) 4, 3; б) 3, 2, 1. Другие сочетания пере- грева не опасны. При наступлении опасной ситуации должен быть подан сигнал тревоги.
Постройте схему устройства, включающего сигнал тревоги.
Задача 17. Производственный цикл автомата по выдавливанию пластмассы может быть включен только при выполнении следующих условий:
1) режим выдавливания включен;
2) датчик уровня показывает достаточное количество пластмассы в баке;
3) термодатчик показывает температуру достаточную для плавления пластмассы;
4) режим цикла очистки не запущен;
5) аварийные датчики не показывают состояния аварии.
Для запуска цикла очистки необходимо выполнение следующих условий:
1) режим цикла очистки запущен;
2) режим выдавливания выключен;
3) датчик уровня показывает отсутствие пластмассы в баке;
4) состояние термодатчика несущественно;
5) аварийные датчики не показывают состояния аварии.
Проверка названных условий должна происходить с помощью ло- гической схемы. Искомая схема имеет входные переменные
𝑥
1
,
𝑥
2
,
𝑥
3
,
𝑥
4
,
𝑥
5
и выходные переменные
𝑦
1
,
𝑦
2
Схема работает по принципу блокировки, т.е. определенные рабо- чие режимы становятся допустимыми только при выполнении опреде- ленных условий (перечисленных выше).

62
Предложите максимально простую схему, удовлетворяющую опи- санному выше техническому заданию. Схема должна быть реализована на элементах «И-НЕ».
Задача 18. Четыре радара передают в цифровую схему логические сигналы
𝑥
1
,
𝑥
2
,
𝑥
3
,
𝑥
4
, которые могут быть равны 1 или 0.
Перечислим функции каждой из переменных:
1) x
1
= 1, если радар фиксирует самолет;
2) x
2
= 1, если самолет летит по направлению к радарам на высо- те не менее 2000 м;
3) x
3
= 0, если курс самолета меняется в течение интервала вре- мени
∆t (радар фиксирует изменение курса);
4) x
4
= 1, если еще один самолет влетает в воздушное простран- ство.
Схема должна работать таким образом, чтобы на ее выходе появ- лялся сигнал равный 1 в следующих случаях.
1) зафиксирован самолет, который летит к радарам на высоте ме- нее 2000 м с неизменным курсом, а в зоне действия радаров больше самолетов не наблюдается;
2) радар фиксирует самолет, летящий на высоте более 2000 м, с неизменным в течение
∆t курсом, но в зоне действия этот самолет неединственный.
Предложите максимально простую схему, удовлетворяющую опи- санному выше техническому заданию. Схема должна быть реализована на элементах «ИЛИ-НЕ».
Задача 19. Необходимо разработать схему работы трех светофоров на T-образном перекрестке.
Схема должна работать таким образом, чтобы выполнялись следу- ющие условия:
1) светофор 1 зеленый, когда машины движутся прямо и налево;
2) светофор 2 зеленый, когда машины движутся налево и напра- во;
3) светофор 3 зеленый, когда машины движутся прямо и направо.
Светофоры не могут давать зеленый свет одновременно.
Предложите максимально простую схему, удовлетворяющую опи- санному выше техническому заданию.

63
Г
ЛАВА
3.
Э
ЛЕМЕНТНАЯ БАЗА ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ
§ 7. Арифметические устройства
Одной из основных операций в двоичной системе счисления явля- ется операция сложения, любая арифметическая операция в вычисли- тельной машине реализуется на основе сложения.
7.1.
Сумматоры
7.1.1. Полусумматор
Полусумматор (half adder). Сложение двух двоичных разрядов осу- ществляется в полусумматоре, который имеет два входа
1
x
и
2
x
и два выхода

сумма

и перенос в старший разряд
P . а) Условное обозначение
HS
S
P
Σ
P
X
1
X
2
б) Таблица истинности
Входы
Выходы
2
x
1
x

P
0 0
0 0
0 1
1 0
1 0
1 0
1 1
0 1
Сумматор
Одноразрядный
Многоразрядный
Параллельный
Последовательный

64 в) Логические функции для полусумматора имеют вид:
2 1
2 1
2 1
x
x
x
x
x
x





,
2
1
x
x
P

X
1
X
2
=1
&
Σ
Р
Задача 20. Докажите равенство
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
)
x
x
(
x
x
x
x





Решение
Добавим к левой части уравнения два слагаемых
1 1
x
x
и
2 2
x
x
. Тогда имеем
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
)
x
x
(
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
x
(
x
)
x
x
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

















Построим эту логическую функцию с использованием операций
«И», «ИЛИ», «НЕ»
1
X
1
X
2
&
&
Σ

65
7.1.2. Полный сумматор
Полный сумматор обычно строится на двух полусумматорах. При этом в каждом разряде требуется выполнить сложение трех двоичных цифр: цифры данного разряда первого слагаемого
1
x
, цифры этого же разряда второго слагаемого
2
x
и цифры переноса
i
P
из соседнего млад- шего разряда. а) Условное обозначение полного сумматора
SM S
P
Σ
P
i+1
P
1
X
2
X
1
б) Таблица истинности полного сумматора
Входы
Выходы
i
P
2
x
1
x

1
i
P

0 0
0 0
0 0
0 1
1 0
0 1
0 1
0 0
1 1
0 1
1 0
0 1
0 1
0 1
0 1
1 1
0 0
1 1
1 1
1 1 в) Логические функции для сумматора имеют вид:
)
(
)
(
)
(
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
x
x
P
x
x
P
x
x
P
x
x
P
x
x
P
x
x
P
x
x
P
i
i
i
i
i
i
i













i
1
i
2
2
1
2
1
i
2
1
2
1
i
i
i
2
1
2
1
i
2
1
i
2
1
i
2
1
i
1
i
P
x
P
x
x
x
)
x
x
(
P
x
x
)
x
x
(
P
)
P
P
(
x
x
x
x
P
x
x
P
x
x
P
x
x
P
P
















(*)
Построим логическую схему полного сумматора с использованием операции «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ»

66
X
1
X
2
=1 1
&
&
=1
Р
i
Р
Σ
i+1
Задача 21. Задана логическая схема полного сумматора на базовых элементах.
По данной схеме запишите логические функции для суммы и пере- носа и приведите их к виду (*, с. 66).
&
&
X
1
X
2
&
P
&
1 1
&
1
P
i+1
Σ

67
7.1.3. Последовательный сумматор
Сложение многоразрядных чисел осуществляется с помощью одно- разрядных сумматоров. При этом в зависимости от ввода-вывода чисел и организации переносов различают сумматоры параллельного и последо- вательного принципа действия.
Сложение двух трехразрядных двоичных чисел в последовательном сумматоре
0
1
2
0
1
2
B
B
B
A
A
A

SM S
P
Σ
P
i+1
P
1
A
B
SM S
P
Σ
P
i+1
P
1
A
B
SM S
P
Σ
P
i+1
P
1
A
B
A
0
B
0
A
1
A
2
B
1
B
2 4
2 1
8
Сумматоры могут использоваться для вычитания двоичных чисел: операция вычитания заменяется сложением уменьшаемого с вычитае- мым, представленным в дополнительном коде:
)
1
(






обр
пр
доп
пр
пр
пр
В
А
В
А
В
А
Представление отрицательного числа в дополнительном коде полу- чается инвертированием всех его битов и добавлением единицы.

68
Рассмотрим пример:
1) процедура вычитания в десятичной системе
5
5
0
1
2) процедура вычитания в двоичной системе
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
В доп.
7.2
. Вычитатели
7.2.1. Полувычитатель
Вычитание двух двоичных разрядов осуществляется в полувычита- теле, который имеет два входа и
2
x
, и два выхода – разность
i
D
и за- ем из старшего разряда
0
B
X
1
X
2
=1
&
D
B
0
На рисунке изображен полувычитатель для случая
2 1
x
x

2
1
2
1
x
x
D
D



2
1
1
0
x
x
B


2
x
x
B
1
2
0


1
x
Входы
Выходы
2
x
1
D
1 0
B
2
D
2 0
B
0 0
0 0
0 0
0 1
1 0
1 1
1 0
1 1
1 0
1 1
0 0
0 0
1 2
x
x

2 1
x
x

1
x

69
Задача 22. Постройте полувычитатель на базовых элементах.
1
X
1
X
2
&
D
B
i
&
7.2.2. Вычитатель
Полный вычитатель строится на двух полувычитателях.
Входы
Выходы
2
x
i
B
i
D
0
B
0 0
0 0
0 0
0 1
1 1
0 1
0 1
1 0
1 1
0 1
1 0
0 1
0 1
0 1
0 0
1 1
0 0
0 1
1 1
1 1
0 2
1
B
x
x


разн.
заем
))
(
(
)
(
0 2
1 0
2 1
0 2
1 0
2 1
0 2
1 0
2
B
x
x
B
x
x
B
x
x
B
x
x
B
x
x
B
x
x
D
i
i











0
2
0
1
2
1
2
1
2
1
0
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
i
B
x
B
x
x
x
x
x
)
x
x
(
B
B
x
x
B
x
x
B
x
x
B
x
x
B











1
x

70
=1
&
&
1
D
i
B
i
B
0
x
2
x
1
=1

71
§ 8. Узлы цифровой электроники
8.1.
Шифратор
Шифратор (кодер CD) преобразует одиночный сигнал в n- разрядный двоичный код (8421).
На пульте 10 клавишей (
9 0

); при нажатии любой из них на вход шифратора подается единичный сигнал (
9 0
x
x

). При этом на выходе появляется двоичный код
)
,
,
,
(
4 3
1
y
y
y
y
2
этого десятичного числа.
x
4
y
3
y
2
y
1
y
0 0
0 0
0 1
0 0
0 1
2 0
0 1
0 3
0 0
1 1
4 0
1 0
0 5
0 1
0 1
6 0
1 1
0 7
0 1
1 1
8 1
0 0
0 9
1 0
0 1
9 7
5 3
1 9
7 5
3 1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y










7 6
3 2
7 6
3 2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
y








7 6
5 4
7 6
5 4
3
x
x
x
x
x
x
x
x
y








9 8
9 8
4
x
x
x
x
y




Построим схему шифратора на базовом элементе «ИЛИ».
0 1
2 1 3 5 4 6 8 7 9
y
1 1
y
2 1
y
3 1
y
4

72
Задача 23.
Постройте шифратор на элементах «ИЛИ

НЕ». Шифратор имеет инверсные выходы.
Задача 24. Постройте шифратор на элементах «И

НЕ». Шифратор имеет инверсные входы.
8.2.
Дешифратор
Дешифратор (декодер DC)

преобразу- ет поступающий на входы код в сигнал только на одном из ее выходов (переводит двоичный код в унитарный). Для каждой возможной двоичной комбинации на входе
DC активизирует всего один выход. Исполь- зуется, например, для определения «адре- сов» модулей памяти.
Если количество разрядов дешифруемого кода n , то число выходов

n
2 (
n
m
2

).
Рассмотрим полный дешифратор с
3

n
(
8

m
) с прямыми выхо- дами, т.е. на активируемом выходе уровень логической единицы

де- шифратор по единицам. На трех входах может быть восемь комбинаций сигналов. Такой дешифратор называют «дешифратор из 3 линий в 8».
Выходы дешифратора работают обычно в режиме с активным низким уровнем.
Входы
Выходы
2
x
1
x
0
x
0
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
0 0
0 1
0 0
1 1
0 1
0 1
0 1
1 1
1 0
0 1
1 0
1 1
1 1
0 1
1 1
1 1
DC
0 1
2 3
4 5
6 7
x
0
x
2
x
1
y
0
y
1
y
7

73 0
1 2
0
x
x
x
y



0 1
2 1
x
x
x
y



0 1
2 2
x
x
x
y



0 1
2 3
x
x
x
y



0 1
2 4
x
x
x
y



0 1
2 5
x
x
x
y



0 1
2 6
x
x
x
y



0 1
2 7
x
x
x
y



y
0
&
y
1
&
x
0
x
0
x
1
x
1
x
2
x
2
x
2
x
1
x
0
Задачи для самостоятельного решения
Задача 25. Одним из распространенных применений дешифратора является управление работой семисегментного индкатора (табло часов в метро, табло на стадионах и т.п.). Семисегментный индикатор использу- ется, как правило, для отображения десятичных цифр. Изображение се- мисегментного индикатора и название его сегмен- тов приведено на рисунке.
Для изображения на таком индикаторе цифры
«0» достаточно зажечь сегменты a, b, c, d, e, f. Для изображения цифры «1» зажигают сегменты b и c.
Точно таким же образом можно получить изобра- жения всех остальных десятичных цифр. Все ком- бинации таких изображений получили название семисегментного кода.
1) Составьте таблицу истинности дешифратора, который позволит преобразовывать двоичный код в семисегментный. Пусть сегменты за- жигаются нулевым потенциалом. Конкретное значение сигналов на вы- ходе дешифратора зависит от схемы подключения сегментов индикатора к выходу микросхемы.

74
Постройте принципиальную схему семисегментного дешифратора.
2) Измените кодирование, и решите задачу для этого случая.
Задача 26. Предположим, необходимо активировать модуль памя- ти, адрес которого 100. Какой в этом случае будет использован выход?
Задача 27. Предположим, необходимо реализовать следующую ло- гическую функцию:
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y



. Реализуйте функцию с использованием дешифратора.
Задача 28. Составьте схему фрагмента 4-входного дешифратора, на выходе которого должен устанавливаться логический «0» при входном коде 1011.
Задача 29. На базе дешифратора реализуйте логическую функцию:
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y




Задача 30. Составьте фрагмент шифратора, на выходах которого должен устанавливаться код 1001 при активации заданного входа.
Задача 31. Составьте схему, в которой выход № 4 3-входового де- шифратора активируется входным кодом.
8.3
. Мультиплексор
Мультиплексор (цифровой коммутатор)

устройство, которое осуществляет выборку одного из нескольких входов и подключает его к своему выходу, т.е. это функциональный узел, обеспечивающий передачу цифровой информации, которая поступает по несколь- ким вход- ным линиям связи, на одну вы- ходную линию. Выбор входной линии, информация с которой поступает на выход, осуществ- ляется при помощи сигналов, поступающих на адресные вхо- ды.
)
(
0
n
x
x

информационные сиг- налы,
)
(
0
m
a
a

адресные вхо-
MX
x
0
x
1
x
2
Xn a
0
a
1
n m
y
...
К
ом м
ут ат ор
В
хо д
на я л
ог и
ка
MUX
x
0
x n
a
0
a m
E
y

75 ды, E

защитный сигнал (стабилизирующий вход, дополнительный управляющий вход): информация (
y
x
i

) передается только при нали- чии единичного сигнала E .
Условная запись мультиплексора:
)
1
(

n
, где n

число информа- ционных входов, m

число адресных входов. В полном мультиплексоре
m
n
2

Мультиплексор, имеющий восемь входов и один выход данных, называется селектором данных, или мультиплексором «из 8 линий в 1».
1) Построим мультиплексор на два входа
)
1 2
(

Рассмотрим мультиплексор с
1
m

Таблица истинности
Аналитическое выра- жение
)
(
1 0
ax
x
a
y


2) Построим мультиплексор на 4 входа
)
1 4
(

Рассмотрим мультиплексор с
2

m
Таблица истинности и аналитическое выражение:
0
a
1
a
y
0 0
0
x
0 1
1
x
1 0
2
x
1 1
3
x
3
0
1
2
0
1
1
0
1
0
0
1
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
y




Дешифратор является составной частью мультиплексора.
a
y
0 0
x
1 1
x
&
&
y
MUX (2
1
)
x
0
x
1
a

76
&
&
x
0
x
1
&
&
x
2
x
3
y a
0
a
1 3) Для реализации выходной функции
)
1 16
(

используется пира- мидальное каскадирование мультиплексоров
)
1 4
(


77
M
U
X
0
M
U
X
1
M
U
X
2
M
U
X
3
M
U
X
4
y a
2
a
3
a
0
a
1
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
7
x
8
x
11
x
12
x
15
8.4
. Демультиплексор
Демультиплексор

функциональный узел, обеспечивающий пере- дачу цифровой информации, поступающей на единичный вход (или по одной линии), на несколько выходных линий. Выбор выходной линии, на которую поступает информация, осуществляется при помощи сигна- лов, поступающих на адресные входы.
Демультиплексор

устройство, в котором сигналы с одного ин- формационного входа поступают в желаемой последовательности по не- скольким выходам в зависимости от кода на адресных шинах (ДМХ)
m
n
2


полный демультиплексор, где
m

входы.
Условная запись:
)
1
(
n

,
n

число выходов.
Условное обозначение

78
Рассмотрим простейший демультиплексор
)
2 1
(

. В этом случае
1

m

один адресный вход и n = 2.
Таблица истинности
Аналитическое выражение
x
a
y
0
0

;
x
a
y
0
1

Логическая схема устройства.
&
&
x y
0
y
1
a
0
1
a
0
a
3
y
2
y
1
y
0
y
0 0
0 0
0
x
0 1
0 0
x
0 1
0 0
x
0 0
1 1
x
0 0
0


1
0
1
0
0
a
a
x
a
a
x
y








1
0
1
0
1
a
a
x
a
a
x
y








1
0
1
0
2
a
a
x
a
a
x
y








1
0
1
0
3
a
a
x
a
a
x
y






a
1
y
0
y
0 0
x
1
x
0
К
ом м
ут ат ор
В
хо д
на я л
ог и
ка
DMX
x a
0
a m
E
y
0
y
1

79
Задача 32. Постройте демультиплексор на четыре выхода (
4

n
,
2

m
) на элементах «И».
Решение.
&
&
x
0
&
&
a
0
a
1
y
0
y
1
y
2
y
3
Задача 33. Постройте демультиплексор на четыре выхода (
4

n
,
2

m
) на элементах «ИЛИ».
Задача 34. На базе мультиплексора составьте схему устройства, ко- личество адресных входов которого равно трем.
Среди схем коммутации можно особо выделить схемы, которые способны пропускать сигналы в обоих направлениях: мультиплексоры

демультиплексоры
)
1
(
n

, т. е. узлы, которые могут одновременно вы- полнять функцию мультиплексора и демультиплексора.

80
§ 9. Элементы последовательной логики. Триггеры
Все логические схемы принято разбивать на два класса. С первым из них − комбинационными логическими схемами, в которых использу- ются логические элементы И, ИЛИ, НЕ, мы познакомились выше. Дру- гой класс таких схем − последовательные схемы.
Основой создания последовательных комбинационных логических схем является триггер. Здесь будут рассмотрены некоторые типы триг- геров. Соединяя триггеры друг с другом, можно получить счетчики, сдвиговые регистры и различные запоминающие устройства.
Триггер является одним из наиболее распространенных элементов
ЦВМ. Это электронная схема, имеющая два устойчивых состояния. Од- но состояние принимается за логическую единицу «1», другое – за логи- ческий ноль «0». Под действием управляющих сигналов, подаваемых на входы, триггер скачкообразно переходит из одного устойчивого состоя- ния в другое (опрокидывается). Простейший триггер может быть выпол- нен на двух логических элементах «ИЛИ−НЕ» (или на элементах
«И−НЕ»).
Классификация триггеров.
Рис. 17. Классификация триггеров
9
.1. Триггеры с раздельным запуском (RS−триггеры)
Триггеры с раздельным запуском делятся на: а) асинхронные триггеры, которые изменяют свое состояние непосредственно в момент появления соответствующего информацион- ного сигнала; б) синхронные триггеры, которые реагируют на информацион- ные сигналы только при наличии соответствующего сигнала на входе синхронизации C (clock).
Триггеры
RS−триггер
Асинхронный
Синхронный
D-триггер
T−триггер
JK−триггер

81
Условное обозначение
S
R
Q
T
Q
S
R
C
Q
T
Q
а) б)
Схема асинхронного RS−триггера на элементах «И−НЕ»
&
1 2
3
&
4 5
6
S
R
Q
Q
В таблице представлены все возможные состояния асинхронного
RS-триггера
Исходное состояние
S
R
Q
Q
Режим
𝑄
и
𝑄̅
и
1 0
0 1
1 0
Хранение «1»
0 1
0 1
1 0
Запись «1»
1 0
1 0
0 1
Запись «0»
0 1
1 0
0 1
Хранение «0»
1 0
0 0
1 0
Хранение «1»
0 1
0 0
0 1
Хранение «0»
1 0
1 1
0 0
Запрещен, неопределенность
0 1
1 1
0 0

82
Характеристическое уравнение асинхронного триггера
Работу триггера можно описать с помощью, так называемого харак- теристического уравнения, устанавливающего взаимосвязь между сиг- налом на выходе Q и входными сигналами триггера. Характеристиче- ское уравнение асинхронного RS-триггера составляется с помощью ло- гической схемы и выглядит следующим образом:
S
R
Q
S
R
Q
S
Q
Q
и
и




.
Задача 35. Исследуйте схему асинхронного триггера, построенного на элементах «ИЛИ-НЕ». Постройте схему, составьте таблицу истинно- сти, выведите характеристическое уравнение.
Схема синхронного RS-триггера
&
1 2
3
&
4 5
6
S
R
Q
Q
&
1 2
3
&
1 2
3
С
y
1
y
2
Если на вход С подан сигнал «0», то триггер не реагирует на вход- ные сигналы и сохраняет записанную в нем информацию.
Если на входе С сигнал «1», то триггер реагирует на входные сиг- налы и работает по схеме асинхронного.
Задача 36. Составьте характеристическое уравнение синхронного
RS-триггера и покажите, что будет, если на вход С последовательно бу- дут поданы сигналы «0» или «1».
Проверьте справедливость полученных уравнений с помощью таб- лицы истинности.

83
9.2.
Триггер с приемом информации по одному входу
(D−триггер)
Условное обозначение
D
C
Q
T
Q
Схема D-триггера
D-триггер осуществляет прием информации по одному входу. Если на вход синхронизации C подан нулевой сигнал, то триггер не реагирует на сигналы, подаваемые на вход D. Если на вход синхронизации подан сигнал «1», то триггер опрокидывается в противоположное состояние, при этом сигнал с входа D передается на выход Q .
&
1 2
3
&
4 5
6
D
Q
Q
&
1 2
3
&
1 2
3
y
1
y
2
R
С
Исходное состояние
C
D
1
y
2
y
Q
Q
и
Q
и
Q
0 1
0
0
1 1
0
1 1
0 0
1
1 1
1
0 0
1 1
0
1 0
0
1 1
0 1
0
1 0
0
1 0
1 1
1
0 1
1
0 1
0 1
1
0 1
1
0

84
В таблице для примера показаны две строки, где на вход С подан
«0». Видно, что триггер при этом на входной сигнал не реагирует.
Задача 37. Составьте характеристическое уравнение для D-триггера и проверьте соответствие его таблице истинности.
9.3.
Триггер со счетным входом (Т-триггер)
Условное обозначение
T
Q
T
Q
Схема T-триггера
Т-триггер (счетный) может быть построен на основе D-триггера, ес- ли выход Q соединить с входом D. Вход C D-триггера становится вхо- дом Т Т-триггера.
Если на вход синхронизации C подан нулевой сигнал, то триггер не реагирует на сигналы, подаваемые на вход D. Если на вход синхрониза- ции подан сигнал «1», то триггер опрокидывается в противоположное состояние, при этом сигнал с входа D передается на выход Q . При каж- дом последующем импульсе на входе D T-триггер переключается в про- тивоположное состояние.
&
1 2
3
&
4 5
6
D
Q
Q
&
1 2
3
&
1 2
3
y
1
y
2
R
С

85
C
D
1
y
1
y
и
Q
и
Q
Q
Q
0 1
1 1
0 1
0 1
1
1
0 1
0
1
1
0 0
0 1
1 1
0 1
0 1
0
1 0
1
0
0
1 0
1 1
1 0
1 0
1 1
1
0 1
0
1
1
0 0
0 1
1 1
0 1
0 1
0
1 0
1
0
0
1
Триггеры используются при построении элементов последователь- ной логики, таких как счетчики и регистры, а также элементы памяти.
§ 10. Счетчики
Рассмотрим один из примеров использования триггеров при по- строении счетчиков.
Счетчиком называется цифровое устройство, которое осуществля- ет счет числа импульсов, поступающих на его вход, и фиксирует это число в каком-либо коде.
Последовательный (асинхронный) двоичный счетчик образован це- почкой последовательно включенных счетных Т-триггеров. Результат счета фиксируется на выходах счетчика Q . Поскольку число выходных переменных равно числу триггеров n, а каждая переменная может при- нимать два значения, то число возможных состояний (коэффициент сче- та) равно 2
𝑛
. Вследствие того, что одно состояние приходится на нуле- вое, то максимальное число, при котором счетчик полностью заполняет- ся 2 4
− 1. По срезу 16-го импульса все триггеры опрокидываются в ис- ходное состояние.

86
Шина установки нуля
2
0
2
1
2
2
2
3
T
Q
T
R
T
Q
T
R
T
Q
T
R
T
Q
T
R
Если на вход каждого следующего триггера подается импульс с ин- версного выхода Q , то получим вычитающий счетчик.
2
0
2
1
2
2
2
3
Т

87
§ 11. Регистры
Цифровое устройство, состоящее из триггеров и предназначенное для приема и хранения чисел в двоичном коде, называется регистром.
Регистры собираются на различных триггерах, в частности, на D- триггерах.
Параллельный регистр на D-триггерах
Двоичный код запоминаемого числа подается на входы приема ин- формации (D-входы) всех триггеров и записывается в регистр, т.е. с D- входа переписывается на Q-выход соответствующего триггера. С прихо- дом импульса записи, поступающего на С-входы, информация хранится на выходах до прихода следующего тактового импульса на С-вход (так- товый импульс опрокидывает каждый триггер). Число триггеров равня- ется разряду хранимого числа (слова). Если до прихода тактового им- пульса информация на входах D изменилась, то с приходом тактового импульса записывается новое кодовое слово.
Q
D
Q
T
R
D
Q
T
R
D
Q
T
R
D
Q
T
R
Q
Q
Q
C
C
C
C
R
T
&
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
Q
4
Q
3
Q
2
Q
1
x
1
x
2
x
3
x
4
Для сброса регистра в нулевое состояние на вход R регистра пода- ется положительный импульс, следовательно «0» на выходе «НЕ» сбра- сывает все триггеры в нулевое состояние и одновременно блокирует возможность записи информации по входу Т регистра с помощью эле- мента «И». Запись входного слова
 
x возможна при
0

R
в момент действия импульса на входе Т.
Запоминание информации в регистрах необходимо при выполнении арифметических и логических операций над числами.

88