Учёт погрешностей. Учет погрешностей при выполнении работ в лабораториях физического практикума
 Скачать 0.52 Mb.
|
УЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ РАБОТ В ЛАБОРАТОРИЯХ ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Составители: Колосов С.И., Некипелов С.В. Оглавление Введение ...................................................................................... 2 1. Измерения и их погрешности ................................................ 2 2. Вычисление случайных погрешностей ................................. 3 3. Вычисление систематических погрешностей ...................... 5 4. Погрешности косвенных измерений ..................................... 7 5. Запись результатов измерений .............................................. 9 6. Изображение экспериментальных результатов на графиках на примере MS Excel ................................................................ 10 7. Требования, предъявляемые к студентам в лабораториях физического практикума. ......................................................... 13 8. Правила выполнения работ. ................................................. 14 9. Требования, предъявляемые к отчету. ................................ 14 Введение Одной из основных задач физики как науки является адекватное описание физических явлений в природе, т.е. выяснение сути этих явлений и построение определенных моделей для их описания. При этом основой для построения данных моделей и критерием их правильности является физический эксперимент. Работы, выполняемые в лабораториях физического практикума, являются первым шагом на пути овладения основами экспериментальной физики. При выполнении лабораторных работ студенты должны научиться проводить измерения физических величин, оценивать точность этих измерений (находить погрешность измерений), проверять и находить связь между различными физическими величинами, сопоставлять полученные результаты с выводами теории. Задача данных методических указаний познакомить студентов с методами измерения физических величин и нахождения погрешности этих измерений из совокупности экспериментальных данных на примере работ физического практикума по механике. 1. Измерения и их погрешности При выполнении любой лабораторной работы физического практикума необходимо провести одно или несколько измерений одной или нескольких физических величин. В дальнейшем полученные экспериментальные данные обрабатываются с целью нахождения искомых величин и их погрешностей. Измерение - это сравнение измеряемой величины с другой величиной, принимаемой за единицу измерения. Любая физическая величина обладает истинным значением, т.е. таким значением, которое идеальным образом отражает свойства объекта. Измерения делятся на прямые и косвенные.. Прямые .измерения проводятся с помощью приборов, которые измеряют саму исследуемую величину (линейные размеры тела измеряются линейкой, масса с помощью весов, отградуированных на единицу массы, и т.д.). При косвенных измерениях искомая величина вычисляется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с ней известной зависимостью (измерение объема тела по измеренным линейным размерам, плотности тела и т.д.). Качество измерений определяется их точностью. Точность измерений характеризуются их погрешностью. Погрешность измерений ( X ). называется разность между найденным на опыте и истинным значением физической величины ИСТ ИЗМ X X X (1) Кроме абсолютной погрешности X важно знать относительную погрешность X , которая равна отношению абсолютной погрешности к значению измеряемой величины ИСТ ИСТ ИЗМ ИСТ X X Х Х X X (2) Качество измерений обычно определяется именно относительной, а не абсолютной погрешностью. Погрешности измерений вызываются разными причинами, и их принято делить на систематические, случайные и "грубые" (промахи). "Грубые" погрешности (промахи) возникаю вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Если установлено, что произошла "грубая" ошибка (промах) в измерениях, то эти измерения нужно отбрасывать. Несвязанные с "грубыми" ошибками погрешностями опыта делятся на случайные и систематические. 2. Вычисление случайных погрешностей Многократно повторяя одни и те же измерения можно заметить, что довольно часто результаты не равны друг другу, а располагаются вокруг некоторого среднего. Погрешности, меняющие значение и знак от опыта к опыту называются случайными. Случайные погрешности могут быть связаны как с несовершенством объекта измерений, так и с особенностями метода измерений и самого экспериментатора. Так, рассмотрим для примера работу №24, в которой изучаются процессы упругого взаимодействия стального шарика с мраморной плитой. Из-за неоднородности шарика и плиты при бросании шарика с одной и той же высоты h, он, ударяясь о плиту, каждый раз подпрыгивает на разную высоту h', измеренную по вертикально поставленной масштабной линейке. Возникающие при этом погрешности измерений величины h' являются случайными и обусловлены несовершенством объекта измерений. Если при этом студент, выполняющий опыты, следит В теории вероятностей показано, что при достаточно больших n величина X будет стремиться к ист X , а величина 2 x будет называться дисперсией. При этом формула (5) означает, что примерно 2/3 (точнее 68.3%) измерений i X будут лежать в интервале x i x X X X Из сказанного выше можно сделать вывод, что, увеличивая число измерений, можно существенно уменьшить случайную погрешность. Но увеличение числа измерений не вносит никаких изменений в систематическую погрешность. 3. Вычисление систематических погрешностей Систематическая погрешность, в отличие от случайной, сохраняет свою величину (и знак) во время эксперимента. Систематические погрешности появляются вследствие ограниченной точности приборов, неучета внешних факторов и т.д. Обычно основной вклад в систематическую погрешность сист дает погрешность, определяемая точность приборов, которыми производят измерения. Т.е. сколько бы раз мы не повторяли измерения, точность полученного нами результата не превысит точности, обеспеченной характеристиками данного прибора. Для обычных измерительных инструментов (линейка, пружинные весы, секундомер) в качестве абсолютной систематической погрешности берется половина шкалы деления прибора. Так в рассматриваемом нами случае работы N 24 величина h' может измеряться с точностью сист =0.05 см, если линейка имеет миллиметровые деления, и сист =0.5 см, если только сантиметровые. Систематические погрешности электроизмерительных приборов, выпускаемых промышленностью, определяется их классом точности, который обычно выражается в процентах. Электроизмерительные приборы по степени точности подразделяются на 8 основных классов точности:0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 1.5, 2.5, 4. Класс точности есть величина, показывающая максимально допустимую относительную погрешность в процентах. Если например прибор имеет класс точности 2, то это означает, что его максимальная относительная погрешность при измерении, например тока, равна 2 %, т.е. % 2 % 100 ) ( max I I K В случае рассматриваемой нами работы N 24 случ =0.26 см, а сист равна либо 0.05 см, либо 0.5 см. В этом случае см полн 56 0 ) 5 0 ( ) 26 0 ( 2 2 см полн 26 0 ) 05 0 ( ) 26 0 ( 2 2 Как видно, в первом случае можно пренебречь случ , а во втором сист 4. Погрешности косвенных измерений Очень часто величину, необходимую получить в работе, нельзя определить прямыми измерениями, а только косвенными. Т.е. искомая величина вычисляется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с ней известной зависимостью. Пусть величина A связана с прямоизмеряемыми величинами x, y, z ... соотношением A=f(x,y,z..), а x x x , y y y , z z z …, тогда ) , , ( z y x f A A ср (8) 2 2 2 z y x A z f y f x f (9) и A A A (10) В формуле (9) выражение x f означает частная производная функции f по переменной x, т.е. берется производная dx df когда все остальные переменные y, z,...считаются параметрами (константами). Значения соответствующих частных производных в формуле (9) находится при подстановке вместо переменных x, y ,z... значений , , z y x В таблице 1 представлены выражения для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений. f A A A A z y x 2 2 2 z y x 2 2 2 z y x z y x y x 2 2 y x y x y x 2 2 z y x 2 2 2 ) ( ) ( ) ( z y x y x z x z y 2 2 2 z y x z y x y x 2 2 2 y x y x y 2 2 y x y x n x x n x n 1 ) ( x n x n x X n n x n 1 ) ( 1 x n x 1 ) sin(x x x cos x x ctg ) cos(x x x sin x x tg ) ln( x x x x x x ln Как видно из таб. 1, для некоторых косвенных измерений удобно пользоваться формулами для абсолютных погрешностей (сумма, разность, тригонометрические функции), а для некоторых - формулами для относительных погрешностей (произведение, частное, выражения, содержащие степень). Если величина A имеет более сложную зависимость, чем представленную в табл.1, то нужно либо пользоваться общим правилом (9), либо компоновать выражения из табл.1. Продолжим рассмотрение работы N 24. Следующим этапом в данной работе является нахождение коэффициента восстановления, который ищется по формуле h h , 2) При записи измеренного значения X последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности. При этом нужно пользоваться стандартным правилом округления: если следующая за последней значащей цифрой меньше 5, то значащая цифра остается неизменной; если же первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя значащая цифра увеличивается на единицу. В соответствии с этими правилами окончательно результаты (10)запишутся в виде =0.512 0.010 или = 0.512 0.005 Если полученные результаты являются промежуточными для дальнейших расчетов (косвенные измерения), и их нахождение не является целью лабораторной работы, то в этом случае в записи результатов в виде (5) можно оставлять две значащие цифры, что мы и проделали при записи результатов для h'. 6. Изображение экспериментальных результатов на графиках на примере MS Excel Результаты экспериментальных исследований для дальнейшего анализа удобно представить в графическом виде. Часто функциональные зависимости между переменными линейны, либо определенной заменой переменных зависимость удается привести к линейному виду. Например, изучая закон Ома в работе №1, мы можем определить величину напряжения в цепи при разных значениях силы тока: )... ( ), ( ), ( 3 3 2 2 1 1 I U I U I U I, мА 120 150 180 210 240 270 300 U, В 16.3 21.0 24.5 28.3 32.2 36.8 40.7 Напряжения и соответствующие им значения силы тока связаны функциональной зависимостью: i i I K U Нанесем экспериментальные точки на график и проведем через них прямую (рис.1). Экспериментальные точки, как правило, не лежат в точности на прямой. Возникает естественный вопрос: как наилучшим образом провести прямую через эти точки? Если проводить прямую "на глазок", то при большом разбросе экспериментальных точек прямые, проведенные разными людьми, могут значительно отличаться друг от друга наклоном этих прямых и величиной отрезка, отсекаемого на оси ординат. То есть, такой При построении графиков следует руководствоваться следующими правилами. 1) Масштаб и начало координат выбираются таким образом, чтобы измеренные точки располагались по всей площади листа. 2) Точки, наносимые на графики, должны изображаться точно и ясно. Никаких линий и отметок, поясняющих построение точек, на график наносить нельзя, так как они загромождают рисунок и мешают анализировать результаты. 3) На координатных осях также нельзя указывать координаты наносимых на график точек. 4) На осях делаются отметки в выбранном масштабе и возле них проставляются цифры, позволяющие установить значения, соответствующие делениям шкалы. 5) На осях также указываются наименования измеряемых величин и единицы измерения. 6) Если известна случайная погрешность экспериментальных точек, то на графике они изображаются крестами. Полуразмер креста по горизонтали должен быть равен стандартной погрешности по оси абсцисс, а его вертикальный полуразмер - погрешности по оси ординат. Для иллюстрации приведенных правил на рис.2 представлено графическое изображение результатов, которые обсчитывались нами методом МНК. Рис.2 7. Требования, предъявляемые к студентам в лабораториях физического практикума. Каждая лабораторная работа представляет собой небольшой физический эксперимент, к которому допускаются студенты, успешно прошедшие собеседование с преподавателем (сдавшие допуск к работе). Поэтому в процессе подготовки к лабораторной работе необходимо изучить описание данной работы и, если это необходимо, прочитать соответствующий раздел учебника или дополнительной литературы, указанных в описании работы. Особенное внимание необходимо уделить на физический смысл вводимых понятий и измеряемых величин. Уже в процессе подготовки необходимо самостоятельно вывести формулы погрешностей, для измеряемых в работе величин. К работе допускаются студенты, успешно сдавшие допуск и отчет по предыдущей работе (на третье занятие сдается отчет по первой работе, на четвертое - по второй и т.д.). При сдаче допуска к студенту предъявляются следующие требования: - ясное понимание сущности процесса измерений и явлений, которые исследуются в работе, умение дать четкое определение всех физических понятий; - знание экспериментальной установки, принципа действия используемых приборов и правил работы с ними, методики проведения экспериментов; - умение вывести формулы, описывающие изучаемые явления, и формулы погрешностей; оценить их численное значение, указать, что является основным источником ошибок. Обычно в описаниях лабораторных работ имеется список наиболее употребляемых контрольных вопросов к работе. Ознакомьтесь с ними заранее, что даст вам возможность проверить свои знания самостоятельно до сдачи допуска. Получив допуск к работе, и после проверки преподавателем правильности выбранной схемы, студенты приступают к работе. Полученные результаты аккуратно, желательно в виде таблицы, записываются на отдельных листках и после выполнения все измерений даются на подпись преподавателю. Обработка результатов измерений, вычисление погрешностей и написание отчета выполняются дома. 8. Правила выполнения работ. 1. Лабораторные работы выполняются строго по графику, составленному преподавателем. 2. К работе допускаются студенты, успешно сдавшие допуск и отчет по предыдущей работе (на третье занятие сдается отчет по первой работе, на четвертое - по второй и т.д.). 3. Студенты, недопущенные к выполнению работы, удаляются с занятий и будут выполнять пропущенную работу в конце семестра. 4. Студенты, допущенные к выполнению работы, приступают к самостоятельному ее выполнению. 5. В ходе выполнения лабораторной работы студент должен соблюдать правила техники безопасности. Студент, нарушивший правила техники безопасности или правила проведения лабораторных работ, может быть отстранены от проведения лабораторной работы и выполняет ее в сроки, указанные в п.3. 6. После выполнения работы результаты измерений (черновики) должны быть подписаны у преподавателя. 7. Окончательная оценка по работе выставляется при предъявлении отчета с обработанными результатами. 8. Зачет ставится при условии выполнения и сдачи студентом всех лабораторных работ, предусмотренных программой. 9. Требования, предъявляемые к отчету. Отчет по лабораторной работе является основным документом, отражающим работу студента. Он должен содержать все результаты измерений, формулы вычисляемых величин и их погрешностей и результаты измерений. К отчету должен быть приложен черновик с записями, сделанными во время измерений, и подписанный преподавателем, без чего отчет признается недействительным. Отчет выполняется с использованием компьютера или вручную. При написании отчета в ручную, отчет выполняется чернилами, а рисунки карандашом; необходимые графики выполняются только карандашом на миллиметровке и подклеивается к отчету. Отчет выполняется на отдельных листках и должен содержать: 1. Номер и название работы, дату выполнения работы, дату сдачи работы преподавателю, фамилию и инициалы студента, курс, группу. 2. Краткую формулировку задачи (цель работы). 3. Схему установки или схематический рисунок. 4. Рабочие формулы и формулы погрешностей. 5. Результаты измерений, по возможности в виде таблиц. 6. Результаты вычислений измеряемых величин и их погрешностей. При наличии табличных значений измеряемой (вычисляемой) физической величины необходимо привести ее значения. 7. Окончательные результаты в виде таблиц и графиков. 8. Краткие выводы из проведенных исследований. |
Случайны погрешности определяются по законам теории ошибок, основанной на теории вероятностей. Здесь мы разберем только основные свойства и правила их вычисления без использования доказательств.
Продолжим рассмотрение работы N 24, начатое выше. При бросании шарика с высоты
h=30 см, шарик при ударе о мраморную доску подпрыгнул на высоту h':
№ опыта
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
h' (см)
15,5 15,0 16,0 14,5 14,0 16,0 16,0 14,5 16,5 15,5
В качестве наилучшего значения для измеряемой величины обычно принимают среднее арифметическое значение из всех полученных результатов:
n
i
i
ср
X
n
Х
Х
1 1
(3)
Этому результату следуют принимать погрешность, определяемую формулой:
n
i
i
x
X
X
n
n
1 2
)
(
}
1
(
1
(4)
Результат опыта записывается в виде:
x
X
X
(5)
В нашем случае
см
h
h
i
i
35 15 10 1
10 1
см
h
i
i
h
26 0
)
35 15
(
90 1
10 1
2
Как видно из формул (3) и (4) величина
X
при увеличении числа опытов n будет мало изменяться, т.к. величины
i
X
имеют примерно одинаковое значение и их сумма будет увеличиваться пропорционально числу слагаемых, т.е. n. В то время как
x
будет с ростом
n уменьшаться
n
x
1
(число членов суммы в (4) растет как n, а все подкоренное выражение как 1/(n-1)).
I
- верхний предел шкалы измерений амперметра. При этом величина
I
(абсолютная погрешность в измерении силы тока) будет равна
100
/
max
K
I
I
(6) для любых измерений силы тока на данном амперметре. Так как
I
, вычисленное по формуле (6), это максимально допустимая данным прибором погрешность, то обычно считают, что для определения
сист
, погрешность, определяемую классом точности прибора, нужно разделить на два. Т.е.
2
/
I
сист
и при этом
сист
будет так же одинакова для всех измерений на данном приборе.
Однако, относительная погрешность (в нашем случае
I
сист
сист
где I- показания прибора) будет тем меньше, чем ближе значение измеряемой величины к максимально возможному на данном приборе. Следовательно, лучше выбирать прибор так, чтобы стрелка прибора при измерениях заходила за середину шкалы.
В реальных опытах присутствуют как систематические, так и случайные ошибки. Пусть они характеризуются абсолютными погрешностями
сист
и
случ
. Тогда суммарная погрешность опыта находится по формуле
2 2
случ
сист
полн
(7)
Из формулы (7) видно, что если одна из этих погрешностей мала, то ей можно пренебречь. Например, пусть сист
в 2 раза больше
случ
, тогда
случ
случ
сист
полн
12 1
4
/
5
)
2
/
(
2 2
т.е. с точностью до 12%
полн
=
случ
. Таким образом, меньшая погрешность почти ничего не добавляет к большей, даже если она составляет половину от нее. В том случае, если случайная ошибка опытов хотя бы вдвое меньше систематической, нет смысла производить многократные измерения, так как полная погрешность опыта при этом практически не уменьшается. Достаточно произвести 2 - 3 измерения, чтобы убедиться, что случайная ошибка действительно мала.
h'=(15.35
0.56)см или h'=(15.35
0.26)см, а
h=(30.0
0.5)см или h= (30.00
0.05)см, для измерения линейкой с сантиметровыми и миллиметровыми делениями соответственно. По формуле (8) находим
5123 0
0 30 36 15
h
h
Для нахождения
воспользуемся табл.1. Обозначим h'/h = x, тогда
x
и
x
x
n
2 1
1
Так как x = h'/h, из таблицы 1 находим
2 2
h
h
x
h
h
x
x
Окончательно имеем
2 2
2 1
h
h
h
h
Подставляя соответствующие значения, получим
=0.0203 или
=0.0093
Отсюда
=0.5123
0.0203=0.0104 или
=0.5123
0.0093=0.0048
Тогда в окончательном виде результат запишется
=0.5123
0.0104 или
= 0.5123
0.0048 (10) для случая с сантиметровыми и миллиметровыми делениями соответственно.
5. Запись результатов измерений
При окончательной записи результатов в виде (5) нужно пользоваться следующими правилами:
1) При записи погрешности следует округлять ее до первой значащей цифры или до двух значащих цифр, если это 10, 11, 12, 13, 14.
Рис.1
Excel: при построении графика используете «точечную с маркерами» диаграмму (если
метод МКН не применяется, то удобней пользоваться «точечной с гладкими кривыми и
маркерами» диаграммой). Далее добавляем на график линию тренда линейной
аппроксимации (щелчок правой кнопки мыши на любой точке графика и «добавить линию
тренда…»), в свойствах линии тренда обязательно выставляются галочки у пунктов
«показывать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмме величину
достоверности аппроксимации (R^2)».
В полученном уравнении прямой y=kx+b, коэффициент k есть тангенс угла наклона данной прямой к оси oX равный сопротивлению в цепи в В/мА:
)
(
1 141
)
/
(
1411 0
Ом
мА
В
k
R
Для вычисления погрешности полученного сопротивления используем величину достоверности аппроксимации R^2:
)
(
20
)
/
(
02 0
)
/
(
019398 0
9811 0
1 1411 0
1 2
Ом
мА
В
мА
В
R
k
k
R
Окончательный результат запишется в виде:
Ом
R
)
20 140
(