учет погрешностей приблеженых значений. учет погрешностей приближенный значений. Учёт погрешностей приближённых вычислений

• Название: Учёт погрешностей приближённых вычислений
• Анкор: учет погрешностей приблеженых значений
• Дата: 28.03.2021
• Размер: 73.82 Kb.
• Имя файла: учет погрешностей приближенный значений.docx
• Тип: Самостоятельная работа; #188881

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации.

Институт ядерной энергетики (филиал) ФГАОУ ВО СПбПУ «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» в г. Сосновый Бор



Кафедра « Проектирование и эксплуатация атомных станций»

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №1

По дисциплине: “Математические методы моделирования физических процессов”

Тема: “Учёт погрешностей приближённых вычислений”

Выполнил студентка гр.1951402/80001 ______________ (Калинина Т.А.)

(подпись)

Проверил (преп.) ………………. _____________ (Крюков Ю.В.)

(подпись)

«___» ____________2021 г.

Г. Сосновый Бор
2 Вариант.

1. 
   Определить предельную абсолютную погрешность числа a=1.41,заменяющего иррациональное число
   

Решение:

Первый способ:



Воспользуемся неравенством : 2

Поскольку A= , то =0.01, т.е. следовательно, в качестве величины можно принять значение

Если воспользоваться более точным неравенством для числа A= , т.е. , то можно получить оценку величины

Второй способ:

Величину _a = 0.0042 можно получить, понимая, что число а = 1.41 может быть получено при округлении (в узком смысле) до трёх значащих цифр числа 1.414213562373095. Поэтому предельная погрешность округления (отличающая а от ) ≤ 0.0042, т.е. _a = 0.0042

Ответ:

2. 
   Дано приблеженное число a=10000, полученное при округлении по дополнению. Пользуясь формулой определить абсолютную погрешность данного числа.
   

Решение:

По алгоритму любое число может быть представлено виде десятичной дроби, поэтому для числа а=10000 справедлива запись

, где m=4,n=5

Ответ:

3. 
   Дано приближенное число а=23.825 и известно, что у этого числа четыре верных значащих цифры в широком смысле( в узком смысле). Оценить абсолютную и относительную погрешность числа а в обоих случаях.
   

Решение:

Оценка абсолютной погрешности:

Абсолютная погрешность данного числа не превосходит половины единицы десятичного разряда последней верной значащей цифры. Поэтому для числа а=23.825 имеем: ,01 где m=1-старший десятичный разряд числа а, n=4-число верных значащих цифр ( для широкого смысла).

,005 (для узкого смысла).

Оценка относительной погрешности:

Для n верных значащих цифр в широком смысле: .

Поэтому для данного примера ( =3- цифра, соответствующая старшему десятичному разряду числа а, n=4) соответственно имеем:



В узком смысле:


Ответ: -абсолютная погрешность (в широком смысле) ,005- абсолютная погрешность ( в узком смысле)

-относительная погрешность ( в широком смысле)

- относительная погрешность ( в узком смысле)

4. 
   Дано приближенное число а=1,182 и известно, что его абсолютная погрешность равна =0,003. Определить, какие значащие цифры приближенного числа будут верными в широком( в узком) смысле.
   

Решение:

По определению верных значащих цифр приближенного числа единица десятичного разряда, соответствующего верной значащей цифре числа должны быть не меньше его погрешности. То есть если числа а имеет n верных значащих цифр, то для него выполняется неравенство: , m=0- старший десятичный разряд числа а. Следовательно, - в широком смысле.

= - в узком смысле.

Ответ: При абсолютной погрешности =0,003 у приближенного числа 1,182 должно быть не более 3 значащих цифр.

5. 
   Со сколькими верными значащими цифрами в широком(узком) смысле следует вычислить cos32˚, чтобы:
   

1. 
   Абсолютная погрешность результата не превышала 0,001;
   
2. 
   Относительная погрешность результата не превышала 5%;
   

Решение:

А)При вычисление cos32˚получаем: cos32˚=0.85

Абсолютная погрешность полученного приближенного числа а будет удовлетворять соотношению:

Согласно условию задачи необходимо, чтобы:

Старший десятичный разряд m=-1,то

Для узкого смысла: =
Ответ: для того чтобы при округлении числа cos32˚ абсолютная погрешность полученного результата не превышала 0,001 при округлении по усечению необходимо сохранить 3 значащих цифры.

Б) воспользуемся формулой для n верных значащих цифр в широком смысле

Для числа а=cos0.32˚ первая цифра , поэтому окончательно получаем



-для узкого смысла


Ответ: для того чтобы при округлении числа cos32˚ относительная погрешность полученного результата не превышала 5% при округлении необходимо сохранить как минимум 2 цифры.

6. 
   Вычислить значение функции, округлив значения ее аргументов до четырех значащих цифр( в узком смысле). Оценить абсолютную погрешность вычисленного значения.
   

y=lg(cos(32◦)+√e·tg(5) ;

Решение:𝑦=lg(𝑐𝑜𝑠32°)+√𝑒∗𝑡𝑔5

Заменим cos32˚=x1; e=x2; tg5=x3

Тогда:𝑦(𝑥1,𝑥2,𝑥3)=𝑙𝑔𝑥1+√𝑥2∗𝑥3

Округлим значения аргументов до четырех значащих цифр в узком смысле:x1=0.8480, x2=2.718,x3=-3.381;∆x1=0.00005,∆x2=0.0005,∆x3=0.005

Получим y(x1,x2,x3)=-5.645642

∆𝑦≤𝑏1∗∆𝑥1+𝑏2∗∆𝑥2+𝑏3∗∆𝑥3

𝑏1= 0.512134

𝑏2 = 1.0254

𝑏2= 1.65

∆𝑦≤0.512134∗0.00005+1.0254∗0.0005+1.65∗0.005=0.0014

Ответ: абсолютная погрешность вычисленного значения функции равна

y=-5.646±0.0014

7.С каким количеством верных знаков следует взять значение аргументов функции (1), чтобы значение этой функции имело четыре верных знака (задачу решить в рамках предположения о равенстве абсолютных погрешностей аргументов).

Решение:

Погрешность определяется из соотношения:



Выясним значение ɛ для функции

Известно, что тогда m=0,n=4.

Тогда = y  0.510 ^{m n+1} ≥

Решим обратную задачу теории погрешностей.



Значения величин возьмем из 6 задания.



Δx₁= Δx₂= Δx₃≤ ≈1.6·10^-4

Следовательно , Δx_i≤1.6·10^-4

погрешности округления приближённых аргументов x_i всегда удовлетворяют неравенству Δx_i=0.5·10^m-n+1, определим количество верных десятичных знаков.

X₁= , X₂= , X₃=

Для этих чисел m=0, то 0.5·10^-n+1≤1.6·10^-4, следовательно n  5

Ответ: функция будет иметь 4 верных знака при условии, что приближенные значения мы округлим до 5 верных десятичных знаков.