Удк 007, 336. 76 Метод выбора показателей оптимальности системы
 Скачать 112.83 Kb.
|
|
52 УДК 007, 336.76 МЕТОД ВЫБОРА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, ОРИЕНТИРОВАННЫЙ НА ПРЕДПОЧТЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ В.Г. Саркисов � Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244 E-mail: vigen.sarkisov@mail.ru Рассматривается вопрос выбора показателей, адекватно характеризующих результат работы системы управления с точки зрения потребителя. Выбранные показатели ранжируются по степени соответствия предпочтениям потребителя. Исследуется стабильность предпочтений. Ключевые слова: оптимизация, целевая функция, показатель, критерий, предпочтение, оценка, потребитель. Введение. В данной работе рассматриваются системы управления, качество ре- зультата работы которых апостериори оценивается потребителем, причем предпоч- тения потребителя не формализованы. Как правило, при построении системы управления показатели качества работы системы выбраны заранее, и регулятор строится из соображений оптимизации целе- вой функции, построенной на основе выбранных показателей. Часто имеют место ситуации, когда количество возможных показателей достаточно велико и потреби- тель не может определить, какие из показателей реально описывают его предпочте- ния. Общепринятые показатели качества работы системы удобны с точки зрения ма- тематического описания и анализа, но зачастую непонятны конечному потребителю, отражают его предпочтения лишь косвенно, не отражают их вообще или даже про- тиворечат им [1]. В настоящей работе решается задача выбора и ранжирования пока- зателей по степени их соответствия неформализованным предпочтениям потребите- ля. Существенной проблемой является взаимозависимость показателей. Показатели, призванные разносторонне описывать качество результата работы системы, зачас- тую связаны корреляционной зависимостью с очень высоким коэффициентом кор- реляции (более 0,9). Результаты оптимизации системы по таким показателям прак- тически идентичны. Следовательно, учет нескольких взаимозависимых показателей при оптимизации приводит лишь к усложнению самой процедуры оптимизации, не влияя на результат. В данной работе решается задача выявления взаимозависимых показателей. Целью работы является формирование обоснованного подхода к выбору сово- купности показателей, характеризующих некоторый класс систем с точки зрения полезности потребителю. Формирование матрицы предпочтений потребителя. Пусть A – множество возможных результатов работы системы, представленных в некотором стандартизи- рованном, понятном потребителю виде; A i – i-тый эталонный результат работы сис- � Виген Геннадьевич Саркисов – к.т.н., доцент. 53 темы, A A i � Для каждой пары результатов A i и A j из множества A потребитель определяет бинарное отношение (предпочтения или неразличимости) одного из трех видов: 1) j i A A � – результат A i более предпочтителен для потребителя, чем A j ; 2) j i A A � – результат A i менее предпочтителен для потребителя, чем A j ; 3) j i A A � – результат A i не более и не менее предпочтителен, чем A j На основе выбора потребителя формируется матрица отношений предпочтения, например вида �� � � � � � �� � � � � � � � � N N N N N N A A A A A A A A A A A A A A A A A A 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 � � � � � � (1) Анализ матрицы (1) должен в дальнейшем позволить проранжировать все ре- зультаты A i по степени полезности потребителю. Общий подход к оценке показателей. Показателем P k качества результата A i будем называть функционал P k , ставящий в соответствие результату A A i � действи- тельное число � � R A P i k � , где N k , 1 � Далее будем полагать, что все показатели построены таким образом, что боль- шему значению показателя P k (A i ) соответствует более высокое качество результата A i (если большему значению соответствует худший результат, то достаточно умно- жить значение показателя на -1). Для оценки каждого показателя оптимальности системы по степени его соответ- ствия предпочтениям потребителя рассмотрим две величины, характеризующие свойства показателя: 1) R k – средний уровень соответствия показателя P k предпочтениям потребителя; 2) S k – стабильность уровня соответствия показателя P k предпочтениям потребителя. Данные величины будут далее рассчитаны на основе матриц предпочтений, сформированных по аналогии с (1) для каждого из показателей. Формирование матриц и цепочек предпочтений по рассматриваемым пока- зателям. Так как показатель ставит в соответствие каждому результату действи- тельное число, то формирование отношений предпочтения по каждому показателю производится однозначно: � � � � j P i j k i k A A A P A P k � � � – по показателю P k результат A i более предпочтителен, чем A j ; � � � � j P i j k i k A A A P A P k � � � – по показателю P k результат A i не более и не менее предпочтителен, чем A j ; � � � � j P i j k i k A A A P A P k � � � – по показателю P k результат A i менее предпочтителен, чем A j 54 Отсортировав результаты A i в порядке убывания значения P k (A i ), получим це- почку отношений предпочтения вида � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � N k k k N i P P i P i i k i k i k A A A A P A P A P � � � 2 1 2 1 , (2) где i 1 , i 2 ,…, i N – номера результатов A i , отсортированные по убыванию P k (A i ). Из полученных отношений по аналогии с (1) для каждого показателя P k форми- руется матрица предпочтений вида � � � � � � � � � � � � � � � � � � � N P N P N P N N P P P N P P P A A A A A A A A A A A A A A A A A A k k k k k k k k k 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 � � � � � � (3) Анализ соответствия показателя предпочтениям потребителя. На основе сравнительного анализа матриц предпочтений (1) и (3), а также цепочки предпочте- ний (2) можно установить степень соответствия каждого показателя P k предпочтени- ям потребителя. В настоящей статье для этого предлагается три различных подхода: 1) сравнение матриц предпочтения, 2) формирование цепочки предпочтений потребителя и усредненное сравнение с цепочкой предпочтений по показателю; 3) сравнение цепочки предпочтений потребителя с цепочкой предпочтений по показателю с точки зрения выбора экстремальных результатов. Непосредственное сравнение матриц предпочтений. При непосредственном сравнении матриц предпочтений соответствие показателя P k предпочтениям потре- бителя характеризуется сходством матриц (1) и (3). Будем считать, что одинаковые отношения предпочтения (потребителя и по показателю P k ) в матрицах (1) и (3) по- ложительно сказываются на сходстве, отношения неразличимости на сходство не влияют, а противоположные отношения предпочтения в (1) и (3) уменьшают сходст- во: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � � �� � � �� � � � �� � � �� � � � �� � � �� � � � �� � � �� � � � � �� � � �� � � � �� � � �� � � � �� � � �� � � � �� � � �� � � � �� � � �� � � � � 1 1 1 , 1 , 0 , 1 1 2 N i N i j j i j P i j i j P i j i j P i j i j P i j i j P i k A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A N N R k k k k k � � � � � � � � (4) При использовании данного подхода � � 1 , 1 � � k R . Чем больше значение R k , тем лучше показатель P k отражает предпочтения потребителя: � � � � m k m k P P R R � � � (5) Показатели с отрицательными R k в среднем противоречат предпочтениям потре- бителя. 55 Формирование цепочки предпочтений потребителя и усредненное сравнение с цепочкой предпочтений по показателю. Формирование цепочки предпочтений потребителя по аналогии с (2) и ее сопоставление с (2) даст более точную оценку показателя с точки зрения соответствия предпочтениям потребителя, чем сравнение матриц. Формирование цепочки предпочтений потребителя на основе матрицы (1) связано со следующими двумя проблемами, обусловленными нечеткостью форму- лировок и интуитивным характером предпочтений: 1) нарушение условия транзитивности (условие транзитивности: если k j j i A A A A � � , , то k i A A � ). Данная проблема проявляется в формировании в мат- рице (1) закольцованных цепочек вида 1 2 1 A A A A n � � � � . В такой цепочке эле- мент A 1 , с одной стороны, является более предпочтительным, а с другой – менее предпочтительным, чем все остальные элементы. Эти же рассуждения справедливы и для любого другого элемента закольцованной цепочки; 2) нелогичные решения, когда потребитель предпочитает худший результат лучшему (по некоторым базовым критериям). Если первая проблема однозначно яв- ляется следствием ошибки потребителя, то вторая, кроме того, может быть вызвана несовершенством принятых базовых критериев. Если набор базовых критериев может быть сведен к некоторому единому обоб- щенному критерию, то появление первой проблемы неизбежно приводит к появле- нию второй. Например, потребитель сформировал закольцованную цепочку пред- почтений 1 3 2 1 A A A A � � � . Из этой цепочки можно сделать выводы, что 2 1 A A � и 1 2 A A � (так как 1 3 2 A A A � � ). С точки зрения базового критерия правильным мо- жет быть лишь одно из отношений: 2 1 A A � или 1 2 A A � Обратное не верно, то есть из нелогичности решений потребителя по отноше- нию к базовым критериям не всегда следует нарушение условия транзитивности. Например, потребитель сформировал цепочку предпочтений 3 2 1 A A A � � , а с точки зрения базовых критериев верны предпочтения 3 2 1 A A A � � . Нарушения условия транзитивности нет ни в той, ни в другой цепочке, но при этом с точки зрения базо- вых критериев решения потребителя нелогичны. При разрешении первой проблемы (восстановлении транзитивности) вторая мо- жет разрешиться автоматически в том случае, если базовые критерии хорошо отра- жают предпочтения потребителя. Для разрешения обеих проблем необходимо вмешательство потребителя. На первом этапе целесообразно указать ему на закольцованные цепочки, начиная с са- мых коротких (содержащих минимальное число элементов), предлагая изменить свой выбор в целях восстановления транзитивности. При этом потребитель может поменять отношение предпочтения на противоположное или ввести вместо него от- ношение неразличимости. После восстановления транзитивности результаты A i уже могут быть однозначно проранжированы. На втором этапе потребителю предлагается пересмотреть нелогичные (по базо- вым критериям) выборы. Сохранение первоначального выбора говорит о несоответ- ствии базовых критериев предпочтениям потребителя. Пусть после разрешения проблем потребителем на основании предпочтений по- требителя была сформирована цепочка предпочтений N j j j A A A � � � 2 1 (6) 56 С точки зрения потребителя 1 � n n j j A A � . Для оценки сходства цепочек (6) и (2) рассмотрим отношение между этими же двумя результатами в цепочке (2). Сходство цепочек предпочтений будет описываться формулой � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 , 1 , 0 , 1 1 1 N n j P j j P j j P j k n k n n k n n k n A A A A A A N R � � (7) Как и при использовании предыдущего подхода, � � 1 , 1 � � k R и большему значе- нию R k соответствует более точное описание предпочтений потребителя. Сравнение цепочки предпочтений потребителя с цепочкой предпочтений по показателю с точки зрения выбора экстремальных результатов. Формула (7) дает усредненное представление о степени соответствия показателя предпочтениям потребителя. С практической точки зрения часто наибольший интерес представляет выбор лучших результатов. Оценим соответствие показателя предпочтениям потребителя с помощью r k – количества совпадающих элементов в начале цепочек (2) и (6). Найдем r k из условия � � 1 1 , 1 , � � � � � � k k r r k n n j i r n j i (8) При вычислении по (8) получим � � N r k , 0 � . Нормировав r k , получим � � 1 , 0 � k R : N r R k k � (9) Если интерес представляет выбор наихудших результатов (например, для оцен- ки рисков), то вместо (8) условие для нахождения r k примет вид � � 1 1 , , � � � � � � k k r r k n n j i N r n j i (10) Данный подход наиболее эффективен для большого числа показателей. Выявление дублирующих показателей. По аналогии с (4), (7) и (8) можно ис- следовать показатель P k не только на соответствие предпочтениями потребителя, но и на взаимозависимость с другим показателем (например, P m ). При этом вместо мат- рицы отношений предпочтения (1) и цепочки (6) будут рассматриваться матрица ви- да (3) и цепочка предпочтений вида (2), построенные для показателя P m Для оптимизации системы из группы существенно взаимозависимых показате- лей достаточно оставить лишь один. Анализ стабильности предпочтений потребителя. При выборе тех или иных показателей существенную роль играет стабильность предпочтений потребителя. Так как эти предпочтения изначально не формализованы, в различных наборах ре- зультатов наиболее значимыми могут становиться различные показатели. Для выяв- ления наиболее значимых для потребителя показателей предлагается рассмотреть несколько наборов результатов и сопоставить цепочки предпочтения показате- лей [2]. Определим на множестве А подмножества A l , ( L l A A l 1 , � � ): 57 A A L l l � � � 1 (11) Пусть подмножество A l содержит n l результатов A i l ( l n i 1 � ). В общем случае один и тот же результат A i из множества А может принадлежать нескольким под- множествам. Обозначим через R k l значение R k , рассчитанное по формулам (4), (7), (8) или (10) на подмножестве A l . Сопоставляя значения R k l при различных l, можно выявить из- менения в предпочтениях потребителя и выбрать показатели, наиболее стабильно отражающие эти предпочтения. В качестве меры стабильности S k предпочтений по отношению к показателю P k может быть выбрана оценка дисперсии R k l (взятая с противоположным знаком): � � � � � � � � L l k l k k R R L S 1 2 * 1 1 , (12) где � � � L l l k k R L R 1 * 1 – выборочное среднее R k l Чем больше значение S k , тем меньше отношение потребителя к показателю P k зависит от выбора подмножества A l В зависимости от поставленных задач управления в качестве меры стабильности предпочтения S k можно выбрать и другие величины. Например, наименьшее (наи- худшее) значение R k l : l k l k R S min � (13) Таким образом, в разработанном методе ранжирования каждый из показателей характеризуется двумя величинами: 1) R k * – мерой соответствия показателя P k предпочтениям потребителя; 2) S k – мерой стабильности предпочтений потребителя относительно показателя P k Если R k * >R m * и S k >S m , то очевидно, что показатель P k отражает предпочтения по- требителя лучше, чем P m . Если же R k * >R m * , а S k , то для однозначного ранжирова- ния необходимо использование дополнительных условий. Выводы. Разработанный метод выбора показателей оптимальности системы управления позволяет: 1) производить выбор показателей оптимальности системы управления на основе анализа неформализованных предпочтений потребителя; 2) группировать и отсеивать дублирующиеся показатели; 3) анализировать и структурировать предпочтения потребителя; 4) классифицировать потребителей по их предпочтениям, формируя соответствующие наборы показателей. Полученный в результате применения метода упорядоченный и минимизиро- ванный набор показателей может быть использован при многокритериальной опти- мизации системы управления. 58 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Саркисов В.Г., Саркисов Г.А. Модели оценки риска инвестиционных портфелей // Актуальные за- дачи математического моделирования и информационных технологий: Мат-лы V Всероссийской научно-практической конференции, Соч. гос. ун-т. – Сочи, 2009, с. 46-48. 2. Саркисов В.Г., Саркисов Г.А. Метод оценки и выбора алгоритма принятия инвестиционных решений на основе его параметрической оптимизации // Вестник СамГТУ. Сер. Технические науки. – №2 (24). – 2009. – С. 39-46. 3. Железко Б., Синявская О. Скоринг ценных бумаг как способ оптимизации инвестиционных решений // Финансовый директор. – 2005. – №5-6. – С. 65-69; с. 67-71. 4. Орлов А.И. Статистический контроль по двум альтернативным признакам и метод проверки их независимости по совокупности малых выборок // Заводская лаборатория. – 2000. – Т. 66. – №.1. – С. 58-62. Статья поступила в редакцию 21 февраля 2011 г. UDC 007, 336.76 CONTROL SYSTEM OPTIMALITY INDICATORS CHOICE METHOD, FOCUSED ON CONSUMER’S PREFERENCES V.G. Sarkisov � Samara State Technical University 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100 The problem of choice of the indicators adequately characterizing result of work of a control system from the point of view of the consumer is considered. The chosen indicators are ranged on degree of conformity to preferences of the consumer. Stability of preferences is investigated. Keywords: optimization, criterion function, an indicator, criterion, preference, estimation, consumer. � Vilen G. Sarkisov – Candidate of Technical Sciences. |