Синтез тау. Удк 62. 533 Синтез наблюдателей полного порядка
 Скачать 0.78 Mb.
|
|
УДК 62.533 СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ ПОЛНОГО ПОРЯДКА Веретнов А.Г. Научный руководитель – канд. техн. наук, доцент Кибардин В.В. Сибирский федеральный университет Анализ и синтез систем управления во временной области требует знания мате- матической модели объекта управления, которая может быть представлена в терминах вход - переменная состояния - выход. Под переменными состояния х(t) обычно пони- мают совокупность физических переменных, значения которых, наряду с входными u(t) и выходными y(t) переменными определяют ее будущее состояние. На рис.1 изображена система, где - выходные переменные, а – входные переменные. Для этой системы переменные состояния имеют следующий смысл, если в момент времени известны начальные значения и входные сигналы для , то этой информации достаточно, чтобы определить будущие значения всех переменных состояния и выходных переменных. На практике не все переменные состояния могут быть измерены, так как нет соответствующих датчиков или их просто нельзя установить на объекте управления (например, датчик Холла для измерения характеристик магнитного поля электрической машины). В таких случаях те переменные, которые не могут быть измерены непосредственно, подлежат оценке на основании измеряемых переменных. Это можно выполнить с помощью специальных устройств, которые называются наблюдателями состояния (рис 2). Рис. 1. Рис. 2. Рассмотрим задачу синтеза наблюдателя состояний полного порядка с помощью пакета прикладных программ MATLAB+Simulink для электромеханического объекта, структурная схема которого представлена на рис. 3а, а переходная характеристика – на рис. 3б. Рис. 3. а - объект управления; б - переходная характеристика объекта управления Предположим, что задана непрерывная система с одним входом и одним выхо- дом, описываемая уравнениями: , Cx y Bu Ax x dt dx Необходимо получить оценку вектора состояния системы x, которую обозначим x . В процессе оценки известны входной сигнал u и матрицы системы А, В и С, тогда , х С у Bu x A dt x d Вектор состояния x в любой момент времени неизвестен, в частности, мы не знаем начальных условий х(0). Если начальные условия для систем различны, то х сходится к х только тогда, когда исходная система асимптотически устойчива. Для оценки переменных состояния можно использовать и вектор выходных пе- ременных у. Будем считать, что наблюдатель имеет ту же динамику, что и сама систе- ма. Тогда уравнение наблюдателя можно записать в виде х Gy Hu x F dt x d Матрицы F, H, G должны быть выбраны таким образом, чтобы x давал точную оценку x. Тогда в системе управления вектор x используется для формирования сигна- ла обратной связи x K u . При этом матричная передаточная функция от входа u к переменной состояния наблюдателя x ] ) ( [ ) ( ) ( / ) ( 1 1 B A sI GC H F sI s U s X должна быть равна матричной передаточной функции от u к переменной состояния x B A sI s U s X 1 ) ( ) ( / ) ( для всех t при нулевых начальных условиях. В этом случае матрицы наблюдателя со- стояния , ; B H GC A F уравнение наблюдателя , ) ( Gy Bu x GC A x dt d характеристическое уравнение наблюдателя , 0 ] [ GC A sI где неизвестна матрица G. Если матрицы F и H определены таким образом, то матричные передаточные функции будут равны независимо от матрицы G. Поэтому матрицу G выбирают, исходя из приемлемого вида переходной функции или необходимых частотных характеристик наблюдателя состояния. При работе с реальными системами необходимо учитывать, что на еѐ действуют помехи, а модель системы не является точной. Следовательно, в процессе оценки воз- никает ошибка, которая с течением времени не сводится к нулю. Управление системой осуществляется на основе вычисленных переменных (а не измеренных) и в качестве сигнала обратной связи используется оценка переменной состояния. Поэтому действие наблюдателя нуждается в проверке. Один из методов синтеза наблюдателя состоит в том, чтобы сделать его в 2 - 4 раза более быстродействующим, чем замкнутая система. Следовательно, можно вы- брать такое характеристическое уравнение наблюдателя, которое содержит информа- цию о желаемом быстродействии: 0 ) ( 0 1 1 1 a s a s a s s D n n n Тогда матрица должна удовлетворять уравнению: Данная задача схожа с синтезом системы путем размещения полюсов, поэтому для синтеза наблюдателей состояния может быть использована формула Аккермана, в итоге получим следующий результат: Это выражение позволяет вычислить матрицу G по заданному характеристиче- скому полиному наблюдателя и известным матрицам A и C. Процедура синтеза наблюдателя может быть выполнена с помощью таких про- грамм как, MATLAB, MathCAD. Пусть уравнения состояния объекта управления имеют вид: , Запишем желаемый характеристический полином: Найдем матрицу коэффициентов наблюдателя: Найдем коэффициенты: На рис. 4 представлены структурные схемы набора двух систем: системы с оп- тимальными жесткими обратными связями по переменным состояния и системы с на- блюдателем, а на рис. 5 – переходные функции. Синтез объекта путем размещения полюсов, похож на метод корневого годогра- фа, позволяющий разместить два доминирующих полюса в заданных точках. Однако современная теория позволяет реализовать заданное положение всех полюсов переда- точной функции замкнутой системы. При этом возникает необходимость измерения всех или почти всех переменных состояния. Синтез данного объекта управления путем размещения полюсов производится в следующем порядке. Найдем матрицу управляемости, При требуемом быстродействии и качестве переходного процесса, частота соб- ственных колебаний составляет 68,247 с -1 , исходя из этого, запишем желаемый харак- теристический полином, Для систем с одним входом и одним выходом матрицу коэффициентов обратной связи по состоянию К = [ k 1 k 2 … k n ], можно определить с помощью формулы Аккер- мана: Рис. 4. Модель ОУ с наблюдателем состояния и модель ОУ с оптимальными обратными связями Рис. 5. Переходные характеристики ОУ 1 – объект управления с наблюдателем состояния; 2 – объект управления замкнутый по собственным переменным состояния Таким образом, введение наблюдателя состояния в контур управления, отрица- тельно влияет на быстродействие системы, однако его применение оправдано в тех случаях, когда отсутствует возможность измерения координат управления. |