|
|
интеграл. Урок 12 Класс Дата Предмет
Технологическая карта (план) Урок № 1-2
|
Класс
|
Дата
|
Предмет
|
Алгебра и начала анализа
|
Тема урока
|
Первообразная и неопределенный интеграл
«Незнающие пусть научатся, знающие - вспомнят еще раз». (Античный афоризм.)
|
Вид урока
|
Теоретическое занятие
|
Тип урока
|
Изучение нового материала.
|
Цели урока:
|
Обучающая: сформировать и закрепить понятие первообразной, находить первообразные функции разного уровня.
|
Развивающая: развивать мыслительную деятельность обучающихся, основанную на операциях анализа, сравнениях , обобщения, систематизации.
|
Воспитывающая: формировать мировоззренческие взгляды обучающихся, воспитывать от ответственности за полученный результат, чувство успеха.
|
Результаты
|
Знать:
|
- определение производной
- первообразная определяется неоднозначно.
|
Уметь:
|
- находить первообразные функции в простейших случаях
- проверять, является ли первообразная для функции на данном промежутке времени.
|
Междисциплинарные связи
|
Обеспечивающие
предметы:
|
физика
|
Обеспечиваемые
предметы:
|
физика
|
Средства обучения:
|
информационные, компьютерные, эпиграф, раздаточный материал.
|
Методы обучения:
|
словесный, словесно – наглядный, проблемный, эвристический.
|
Формы обучения:
|
индивидуальная, парная, групповая, обще-классная.
|
Основная и дополнительная
литература:
|
1. Мордкович А.Г., Семенов П.В., Алгебра анализа, профильный уровень, часть 1, часть 2 задачник.
2. Манвелов С. Г. «Основы творческой разработки урока».
3. «Алгебра и начала анализа» - учебник, Колмогоров А.Н., М. 1991 г., стр. 179-182.
4. «Математика» - учебное пособие, Дахневич Т.Ф., Клюева И.А., Волгоград 2002 г., стр. 82 – 85.
5. «Неопределенный интеграл» - задание для внеаудиторной работы, Маринина Н.С., 2006
|
содержание занятия
№
этапа
|
Этапы занятия, учебные вопросы,
формы и методы обучения
|
Временная
регламентация
этапа
|
1
|
Организационный этап:
|
2 минуты
|
|
- проверка готовности студентов к занятию;
- проверка посещаемости;
- сообщение темы и цели занятия.
|
|
2
|
Мотивационный момент (подготовка к изучению нового материалов):
|
5 минут
|
Тема сегодняшнего занятия «Неопределенный интеграл и его свойства». Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач.
Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла.
 Задача 1. Закон движения тела  , найти его мгновенную скорость в любой момент времени.
Задача 2. Зная скорость движущегося тела в каждый момент времени  , найти закон его движения.
Возможно ли решить задачу используя имеющиеся у нас средства ? (Создание проблемной ситуации ).
Предположения учащихся :
- Для решения этой задачи необходимо ввести операцию, обратную дифференцированию.
- Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции F (x) ее производную.
 .
- Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию F (x) производной которой является f (x) , т.е.  .
|
|
3
|
Объяснение нового материала
|
63 минуты
|
А) Взаимно-обратные операции в математике.
В математике существуют 2 взаимно-обратные операции в математике. Рассмотрим в сравнении.
ПРЯМАЯ.
|
ОБРАТНАЯ.
|
Сложение
Умножение
 - возведение в квадрат.
|
Вычитание
Деление
 - извлечение из квадратного корня.
|
 - синус угла.
…………………………..
|
 - арксинус угла.
………………………………
|
дифференцирование
вычисление производной
|
интегрирование
восстановление функции из производной
|
Б) Взаимно-обратные операции в физике.
Рассматриваются две взаимно-обратные задачи в разделе механике. Нахождение скорости по заданному уравнению движения материальной точки (нахождение производной функции) и нахождение уравнения траектория движения по известной формуле скорости.
***Производная – «производит» на свет новую функцию. Первообразная - первичный образ.
Из истории интегрального исчисления.
(История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским. С помощью этого метода Евдокс доказал:
1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.
2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.
Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:
1. Вывод формулы площади круга.
2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.
Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.)
Определение первообразной, её основное свойство, правила нахождения первообразных.
Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежутке X, называют первообразной для функции задан ной на том же промежутке, если для всех x  X выполняется равенство  .
Найти первообразные функций:
1) 
2) 
3) 
4) 
5)   , проверка:
 , проверка:
 , проверка:
Теорема (о неоднозначности первообразной): y = f(x) имеет бесконечно много первообразных вида y = F(x)+C, где C - произвольное число.
С геометрической точки зрения это означает, что графики любых двух первообразных для функции  получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Oy.
Свойство 1. Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.
Пример. 
Свойство 2. Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf.
Пример. 
Свойство 3. Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные ( ), то функция  - первообразная для f(kx+b).
Пример. 
Понятие неопределенного интеграла, его свойства. О происхождении терминов и обозначений.
Определение: Неопределенным интегралом от функции y = f(x) называется совокупность первообразных F(x)+C, т.е.  , где функциюf(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx – подынтегральным выражением, переменную x – переменной интегрирования, слагаемое C - постоянной интегрирования.
(Символ  введен Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы S. Само слово «интеграл» придумано Бернулли в 1690 г. Оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать.
Таблица простейших интегралов.
Заполнить таблицу:
-
Пример. Проверьте, что функция  является первообраз ной для функции .
Дано: F(x) = 3x4
Док-ть: f(x) = 12x3при x∈ (-∞;+∞)
Док-во: Найдем производную F(x): F'(x) = (3x4)' = 12x3 = f(x), F'(x) = f(x), значит, F(x) = 3x4первообразная для f(x) = 12x3.
Задания на формирование умения доказывать, что функция  является первообразной для функции на заданном промежутке – парная работа
1)  , 
2)  , 
3)  , 
|
|
4
|
Закрепление нового материала:
|
15 минут
|
На этапе закрепления изученного материала предлагается игра «Найди свою половинку». Всем присутствующим предлагается разбиться на восемь подгрупп. Каждой подгруппе раздается карточка, на которой написано либо «функция» либо «первообразная» и соответствующее задание.
Если на вашей карточке написано слово «функция», то вы должны используя таблицу простейших интегралов найти интеграл от этой функции.
Если написано «первообразная», то вы должны найти саму функцию, используя операцию дифференцирования.
Свою «половинку» найти на доске. После чего прикрепить магнитом свой ответ. После полного набора, убедимся, что все совпадения правильные. Каким образом? Перевернуть ответы обратной стороной, где образуется ключевое слово «Интеграл» - тема занятия ( см. Приложение).
|
|
6
|
Домашнее задание:
|
1 минута
|
§48 Первообразная, выучить наизусть определение первообразной, решить всем № 48.1(а) -48.17, решить по выбору 48.18.
|
|
Самостоятельная работа:
|
2 минуты
|
Изготовление справочного материала «Первообразная и интеграл».
|
|
7
|
Подведение итогов занятия:
|
2 минуты
|
Выставление оценок в журнал.
|
|
Учитель математики: О.И. Белицкая
Приложение
Функция
|
Функция
|
Функция
|
Функция
|
Функция
|
Функция
|
Функция
|
Функция
|
Первообразная
|
Первообразная
|
Первообразная
|
Первообразная
|
Первообразная
|
Первообразная
|
Первообразная
|
Первообразная
|
|
|
|
Скачать 0.73 Mb.
