Урок 11 уравнение плоскости плоскость от лат planum ровная поверхность. План урока
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
Урок № 11 УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПЛОСКОСТЬ - от лат. planum ровная поверхность. План урока: 1 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве. 2 Вывод формулы уравнения плоскости. 3 Решение задач о нахождении уравнения плоскости. 4 ДЗ. Уравнение прямой на плоскости Уравнение плоскости в пространстве Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. ax+by+c=0 X Y О ax+by+cz+d=0 X Y Z О Вектор нормали прямой – это вектор, который перпендикулярен данной прямой. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве. Частные случаи уравнения прямой X О Y y=0 x=0 X О Y y=b x=a Частные случаи уравнения плоскости X Y Z О x=0 y=0 z=0 X Y Z О x=a y=b z=c Частные случаи уравнения прямой Частные случаи уравнения плоскости ax+by=0 X Y О Если плоскость проходит через начало координат, то d=0 Если прямая проходит через начало координат, то с=0 X Y Z О ax+by+cz=0 X Y О Уравнение плоскости в отрезках Уравнение прямой в отрезках a b Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору нормальный вектор плоскости , где Уравнение плоскости Общее уравнение плоскости Если плоскость пересекает оси координат в точках А, В, С, то Уравнение плоскости в отрезках Частные случаи уравнения плоскости α=OXY: z=0, α=OXZ: y=0, α=OYZ: x=0. α OXY: z=c, α OXZ: y=b, α OYZ: x=a. 1 2 3 4 5 O(0;0;0), O α, то d=0 А1 А В1 В С1 С D1 D Y Z X 1) Запишите уравнения плоскостей по рисунку и координаты вектора нормали (ВСС1): (ВАА1): (ВСА): (АСВ1): 8 x=0 y=0 z=0 x+y+z=8 x+y+z-8=0 (DСС1): y=8 (DAA1): x=8 (D1C1B1): z=8 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1 2) Запишите уравнения плоскости по рисунку, укажите вектор нормали (SCD): О = по гипотенузе и катету Предложите как лучше выбрать систему координат? 3) Напишите уравнение плоскости (D1B1C), укажите вектор нормали, если представленная фигура куб 2 2 2 D1(2;0;2), B1(0;2;2), C(2;2;0) 2a+2c+d=0 2b+2c+d=0 2a+2b+d=0 2a-2b=0 2a+2b+d=0 4a+d=0 a=-1/4d 2a+2c+d=0 2(-1/4d)+2c+d=0 -1/2d+2c+d=0 2c=-1/2d c=-1/4d 2a+2b+d=0 2(-1/4d)+2b+d=0 -1/2d+2b+d=0 2b=-1/2d b=-1/4d -1/4dx-1/4dy-1/4dz+d=0 x+y+z-4=0 4) Напишите уравнение плоскости (АМC), укажите вектор нормали, если представленная фигура прямоугольный параллелепипед 2 5 4 Введем систему координат как показано на рисунке 10x+4y+5z=20 10x+4y+5z-20=0 Задача 5(6): Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты вектора нормали. Сложив 1 и 3 уравнение системы получим уравнение с 3-мя неизвестными a, b, d Получили уравнение, которое «созвучно» со 2 уравнением системы с 3-мя неизвестными a, b, d, умножим на 2 данное уравнение и сложим его со 2 уравнением (для того чтобы избавиться от переменной а) Цель – выразить каждую из трех переменных a, b, с через d (А(-1;3;-2), В(4;-2;0), С(3;-2;-1)) А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) Проверка правильности составленного уравнения плоскости (подставим координаты точек в данное уравнение плоскости) Запишем координаты вектора нормали к плоскости Составить уравнение плоскости: А(-1;3;-2), В(4;-2;0), С(3;-2;-1) 1) Работаем с первым уравнением системы, умножим на 4 и сложим со вторым (избавимся от переменной а) 2) Работаем с первым уравнением системы, умножим на 3 и сложим с третьим (избавимся от переменной а) 1) и 2) позволило получить два уравнения с тремя неизвестными (избавились от переменной а) 3) Работаем с полученными уравнениями (избавимся от переменной b), для этого первое уравнение умножим на (-7), а второе на 10 и сложим, получили уравнение с двумя неизвестными 3) 2) 1) 0) система содержит четыре неизвестных 4) Выразим с через d (1) (2) (3) (4) 5) Подставим (4) в (1) и выразим b через d (5) 6) Подставим (5) во второе уравнение исходной системы и выразим а через d (6) 7) Подставим (4);(5);(6) в общее уравнение плоскости Разделим обе части уравнения на d, и умножим на (-14) Проверка правильности составленного уравнения плоскости (подставим координаты точек в данное уравнение плоскости) А(-1;3;-2), В(4;-2;0), С(3;-2;-1) Уравнение плоскости проходящей через три точки А(-1;3;-2), В(4;-2;0), С(3;-2;-1) имеет вид: Домашнее задание с урока 11: Знать уравнение плоскости, вектор нормали к плоскости, выбрать произвольные три точки, заданные в системе координат в пространстве, составить уравнение плоскости (2 задачи), задача ниже 3) Напишите уравнение плоскостей, которые являются гранями прямоугольного параллелепипеда и (ВЕК). Укажите для каждой плоскости вектор нормали. Подумайте как легче ввести в этом случае систему координат (какую вершину выбрать началом координат, подскажет (ВЕК)). 6 3 4 |