Лекция.+Уравнение+плоскости. Лекция Уравнение плоскости в пространстве Общее уравнение плоскости
![]()
|
Лекция: Уравнение плоскости в пространстве Общее уравнение плоскости Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют уравнению Ax + By + Cz + D = 0, где А, В, С – координаты вектора ![]() Возможны следующие частные случаи: А = 0 – плоскость параллельна оси Ох В = 0 – плоскость параллельна оси Оу С = 0 – плоскость параллельна оси Оz D = 0 – плоскость проходит через начало координат А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору ![]() Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали ![]() Уравнение плоскости в отрезках Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D) ![]() ![]() ![]() Ч ![]() Уравнение плоскости в векторной форме (нормальное уравнение) Пусть ![]() ![]() ![]() В координатах это уравнение имеет вид: xcos + ycos + zcos - p = 0, где ![]() Из общего уравнения можно перейти к нормальному уравнению, если умножить обе части уравнения на множитель ![]() Уравнение плоскости, проходящей через три точки Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы ![]() ![]() Уравнение плоскости, проходящей через три точки: ![]() Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки ![]() ![]() ![]() Воспользуемся выше предложенной формулой: ![]() Получаем уравнение плоскости ![]() Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор |
1. ![]() | 5. ![]() | 9. ![]() |
2. ![]() | 6. ![]() | 10. ![]() |
3. ![]() | 7. ![]() | 11. ![]() |
4. ![]() | 8. ![]() | 12. ![]() |
Определите, какая из них:
- параллельна осям Ох, Оу, Оz,
- проходит через начало координат,
- параллельна плоскостям хОу, хОz, yOz,
- проходит через оси Ох, Оу, Oz
- совпадает с плоскостями хОу, xOz, yOz.
2. Проходит ли плоскость
![](1039501_html_f9d601f4c5438150.gif)
3. Может ли плоскость проходить через четыре заданные точки?
4. Определите нормаль к плоскостям
![](1039501_html_a24fa567fdd0be6d.gif)
![](1039501_html_e3bd81b149cd21aa.gif)
5. Найдите объём пирамиды, ограниченной плоскостью
![](1039501_html_c733bbc9161e2d98.gif)
6. Установите соответствие между плоскостью и ее уравнением:
![]() | общее уравнение |
![]() | нормальное уравнение |
![]() | уравнение в отрезках |
![]() | |
7. Найдите уравнение плоскости, проходящей через основание перпендикуляров, опущенных из точки М(2;2;2) на координатные плоскости.
8. Постройте плоскости
![](1039501_html_6e4d198aa8312449.gif)
![](1039501_html_993af1125c5e7fb8.gif)
9. Установите, как расположены между собой плоскости:
![]() ![]() | параллельны |
![]() ![]() | перпендикулярны |
![]() ![]() | пересекаются под углом |
10. Пересекаются ли плоскости
![](1039501_html_eed32cff1ba33fed.gif)
![](1039501_html_7890e2a836e5c3a7.gif)
![](1039501_html_d5f2e1a196c3e5cc.gif)
11. Составьте уравнение плоскости проходящей через линию пересечения плоскостей
![](1039501_html_917af690b069be5.gif)
![](1039501_html_dbaadf90b0c76b65.gif)