теория подобия. Теория, числа, уравнения подобия. Условия подобия процессов конвективного теплообмена
 Скачать 220.5 Kb.
|
|
Тепломассообмен 11 ● Теория подобия физических явлений ● Числа (критерии) подобия ● Уравнения подобия Условия подобия процессов конвективного теплообмена Если систему дифференциальных уравнений и граничные условия привести к безразмерному виду, то число влияющих факторов формально сократится, например число (критерий) Рейнольдса: соотношение сил инерции и вязкости. Для нахождения явного вида зависимостей (9) нужны опытные данные. Чтобы результаты опытов на модели можно было перенести на натуру, необходимо, по условию подобия процессов на модели и натуре, выдержать равенство чисел подобия: . Условия подобия физических явлений Если модель изготовлена в масштабе = 1/10, то для одной и той же жидкости на модели и натуре, для соблюдения условий подобия необходимо, чтобы отношение скоростей было = 10, что не всегда можно обеспечить. Поэтому иногда моделируют процессы на других жидкостях = 1/10. В теорию подобия внесли большой вклад Гухман А.А., Кирпичев М.В., Петухов В.С., Михеев М.А. и др. Приведем систему дифференциальных уравнений и условия однозначности к безразмерному виду одним из способов - методом масштабных преобразований. Получатся безразмерные величины: Безразмерное дифференциальное уравнение теплоотдачи Выразим размерные величины через безразмерные и масштабы отнесения, выбранные из условий однозначности, подставим их в дифференциальные уравнения и граничные условия. Тогда дифференциальное уравнение теплоотдачи примет вид: После сокращения на и переноса всех размерных величин в левую сторону получим: (1) где - число Нуссельта (соотношение конвективной теплоотдачи вне пограничного слоя и теплопроводности внутри. Приведение к безразмерному виду дифференциального уравнения энергии Дифференциальное уравнение энергии для стационарного режима имеет вид: (2) Выразим все размерные величины через безразмерные и масштабы отнесения: Тогда дифференциальное уравнение энергии: (3) Безразмерное дифференциальное уравнение энергии Умножим обе части уравнения (3) на После сокращений получим безразмерное дифференциальное уравнение энергии Фурье-Кирхгофа (теплопроводности в жидкости): . (4) Здесь число (критерий) Пекле. Приведение к безразмерному виду уравнения движения Дифференциальное уравнение движения Навье-Стокса в проекции на ось х для стационарного режима: (5) Умножим обе части уравнения на и вынесем из него только размерные величины: Числа подобия Рейнольдса, Грасгофа, Эйлера После сокращений имеем: (6) В левой части - число (критерий) Рейнольдса (соотношение сил инерции и вязкости). Умножим первый член правой части уравнения (6) на: где число (критерий) Грасгофа – соотношение подъемных и вязкостных сил. Второй член правой части равенства (6) умножим на: где число (критерий) Эйлера – соотношение сил давления и инерции. Безразмерное дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности) Тогда безразмерное дифференциальное уравнение движения Навье-Стокса в проекции на ось х для стационарного режима: (7) Проекции уравнения Навье-Стокса на оси y и z не дадут новых чисел подобия, поэтому их не рассматриваем. Дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности) или Так как , то безразмерное дифференциальное уравнение сплошности: или (8) Безразмерные система уравнений и граничные условия Безразмерная система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена: (9) Граничные условия I рода: (10) Определяемые и определяющие числа подобия Преобразуем число Пекле следующим образом: где число (критерий) Прандтля – соотношение полей скоростей и температур. Из безразмерной системы уравнений и граничных условий можно выявить три вида величин: ● независимые переменные - ● постоянные величины - ● зависимые переменные - Определяемые числа подобия Определяющие числа подобия Общий вид решений конвективной теплоотдачи в безразмерном виде Каждый определяемый критерий подобия является функцией определяющих: (11) В безразмерных зависимостях (11) шесть влияющих факторов, по сравнению с двенадцатью - в размерных уравнениях (9) для (см. Тепломассообмен 10). Виды подобий Подобными называются явления, которые имеют одинаковую физическую природу и описываются одинаковыми по форме и по содержанию уравнениями. Бывают следующие виды подобия: ● геометрическое – подобие геометрических фигур; ● тепловое – подобие тепловых потоков и температурных полей; ● кинематическое – подобие движений жидкостей; ● динамическое – подобие сил, вызывающих подобные движения. Основные понятия о теории подобия можно получить из трех теорем подобия. I теорема – в подобных явлениях одноименные числа подобия равны: II и III теоремы подобия физических явлений II теорема – решение дифференциального уравнения (системы уравнений) можно представить в виде функции от чисел подобия, полученных из этого уравнения: IIIтеорема – подобны те явления, условия однозначности которых подобны, а числа подобия, составленные из этих условий однозначности, равны. Условия однозначности подобны, если в сходственных точках в сходственные моменты времени отношение одноименных величин есть величины постоянные, называемые константами подобия. Одноименные величины – это величины, имеющие одинаковый физический смысл и размерности. Геометрическое подобие Для геометрического подобия необходимо равенство отношений сходственных сторон: - константа геометрического подобия. Константы подобия константа теплового константа кинема- подобия; тического подобия. Сходственные точки – это точки, отвечающие геометрическому подобию А1-А2; В1-В2; С1-С2. Сходственные моменты времени – имеющие одинаковое начало отсчета, для которых безразмерное время. Константы подобия нельзя выбирать произвольно, они связаны между собой: Так как то константы подобия связаны соотношением: |