теория по физике. печатать. Дифференциальными. Решением дифференциального уравнения (ДУ)

Название	Дифференциальными. Решением дифференциального уравнения (ДУ)
Анкор	теория по физике
Дата	26.10.2021
Размер	25.28 Kb.
Формат файла
Имя файла	печатать.docx
Тип	Решение #256805

К уравнениям, связывающим независимую переменную, искомую функцию и её производные- дифференциальными. Решением дифференциального уравнения (ДУ) называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Наибольший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения. Процесс отыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием, график решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: F x y y  , , 0   , (2.1) где x − независимая переменная; y  y(x) − искомая функция; y − её производная. Иногда уравнение можно разрешить относительно y : y   F(x , y). Условие, что функция y(x) должна быть равна определенному значению 0 y , при 0 x  x , называется начальным условием. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y x c   ,  , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: а) функция   x c,  есть решение дифференциального уравнения при любом конкретном значении постоянной c ; б) каково бы ни было допустимое начальное условие , можно найти такое значение постоянной 0 c c  , что функция y x c   , 0  удовлетворяет данному начальному условию. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция y x c   , 0  , полученная из общего решения y x c   ,  при конкретном значении постоянной 0 c c  . Теорема 2.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении y  f (x, y) функция f (x, y) и её частная производная f x y y   ,  непрерывны в некоторой области, содержащей точку ( , ) 0 0 x y , то в этой области существует единственное решение y x    этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию 0 0 y(x )  y .

Дифференциальные уравнения вида y   f(x ) ф(y)  или dy/dx  f(x) (y). называют уравнениями с разделяющимися переменными. Однородное дифференциальное уравнение это уравнение вида y  ф(y\x).подстановки y\x u. Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно имеет вид y+p(x)y qx, y(x)=u(x)v(x). уравнение вида y+p(x)y qxy^a называется уравнением Бернулли.

Общим решением д. у. второго порядка называется функция y  x ,c1,c2 , где c1 c2, – произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям: а) функция y  x ,c1 ,c2 есть решение дифференциального уравнения при любых значениях постоянных c1 c2, ; б) каковы бы ни были допустимые начальные условия y (x0 ) y0 , y x0 y0 , можно найти такие единственные значения постоянных c01 и c02 , что функция y(), удовлетворяет данным начальным условиям. Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется любая функция, полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных c1 c2 . Теорема 3.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении y f x ,y ,y  функция fx,y,y и её частные производные fy  и f y  непрерывны в некоторой области, содержащей точку (x0,y0,y’0), то в этой области существует единственное решение y x уравнения y  f (x, y, y), удовлетворяющее начальным условиям y(x0) y0, y’(x0)=y’0. метод понижения порядка. 1. Уравнение вида yf(x), Так как y(y)’ dy’\dx , dyfxdx . Интегрируя, получаем: y f(x)dx. Dy=(f1(x)+c1)dx,интегрируем, y=f2(x)+c1x+c2-общее решение ур. Если дано уравнение y^(n)=f(x) то, проинтегрировав его последовательно n раз, получим общее решение. 2. вида yx,y, Порядок уравнения понижается заменой y  p , где p  p(x) − новая неизвестная фунция. Тогда ydp\dxp  и д.y. принимает вид p  f (x, p) , т.е. получаем уp 1 порядка относительно неизвестной функции p(x). Проинтегрировав это уравнение, найдем его общее решение p x,c1 . Так как pyx , то для нахождения искомой функции y получим уравнение yx x,c1. Решив это уравнение первого порядка, получим общее решение исходного уравнения y(x,c1)dx+c2. 3. y fy,y,Для понижения порядка используется снова подстановка y  p , но p  p( y) . Найдем y, учитывая, что p  p( y(x)) − сложная функция:y’’=d(y’)\dx=dp(y)dy\dydx=dpp\dy. Pdp\dy f(y,p) . Интегрируя его, найдем общее решение p y,c1. Заменим p на y : y   y,c1 − уравнение с разделяющимися переменными. Проинтегрировав его, найдем общий интеграл уравнения :  dy\ф(y,c1)=x+c2.

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции y и её производных y , y, …, ( )n y , т.е. имеет вид y^(n)+a1(x)y^(n-1)+a2(x)y^(n-2)+…+an(x)y=f(x), Если f (x)  0 , то уравнение называется линейным однородным уравнением; если f (x)  0 , то уравнение называется неоднородным. ОЛДУ второго порядка: y+a1(x)y’+a2(x)y 0. Теорема 4.1. Если функции y1y1x и y2y2x являются частными решениями уравнения y+a1(x)y’+a2(x)  0 , то функция y=c1y1(x)+c2y2(x), где c1 c2, − произвольные постоянные, есть также решение этого уравнения. Теорема 4.2. Если функции y1(x),y2x линейно зависимы на интервале (a,b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю. Теорема 4.3. Если частные решения y1(x),y2x уравнения y +a1(x)y’+a2(x)y  0 линейно независимы на (a,b), то определитель Вронского ни в одной точке этого интервала не обращается в нуль. Совокупность двух линейно независимых на интервале (a,b) частных решений y1(x),y2(x) ОЛДУ второго порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Теорема 4.4 (о структуре общего решения ОЛДУ). Если два частных решения y1(x),y2(x) ОЛДУ y’’+a1(x)y’+a2(x)y 0 образуют на интервале (a,b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения будет функция y(x)=c1y1(x)+c2y2(x), где c1 c2, ─ произвольные постоянные. ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y’’+py’+qy 0 где p и q - постоянные действительные числа. Будем искать частное решение в виде ye^(kx) , где k  const ; тогда yke^(kx) , y’k^2e^(kx). Подставляя выражения для у, y , y в уравнение, получаем: e^(kx)(k^2+pk+q)=0. Если k будет удовлетворять уравнению , то функция e^(kx) будет решением уравнения. Уравнение называется характеристическим уравнением ДУ. Для его составления надо в уравнении заменить y, y , y соответственно на k2,k, 1. Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны:k1=\k2. Y=c1e^(k1x)+c2e^(k2x). Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и равные: k2k1k. Y=c1e^(kx)+c2xe^(kx). Случай 3. Корни характеристического уравнения комплексно сопряжённые: k1  i , k2   i. Y=c1e^(x)cosx+c2e^(x)sinx.

(НЛДУ) второго порядка y’’+a1(x)y’+a2(x)yf x , a1(x),a2(x)– непрерывные на интервале (a,b) функции. Уравнение y’’+a1(x)y’+a2(x)=0 ,левая часть которого совпадает с левой частью уравнения , называется соответствующим ему однородным уравнением. Теорема 4.5 (о структуре общего решения НЛДУ). Общее решение неоднородного уравнения y’’+a1(x)y’+a2(x)yf x) есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения y’’+a1(x)y’+a2(x)=0. Метод вариации произвольных постоянных. c1’(x)+c2’(x)y2(x)=0 и c1’(x)+c2’(x)y2(x)=f(x). Теорема 4.6 (о суперпозиции решений). Если правая часть уравнения y’’+a1(x)y’+a2(x)yf x) есть сумма двух функций:f(x)=f1(x)+f1(x), а y1 и y2 – частные решения уравнений y’’+a1(x)y’+a2(x)yf1 x)и y’’+a1(x)y’+a2(x)yf2 x) соответственно, то функция y%=y1%+y2% является частным решением данного уравнения.НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y’’+py’+qy=f(x). (Случай I f(x)=P(x)e^(ax), y%(x)=Q(x)e^(ax)x^r. Случай II f(x)=e^(ax)(P1cosBx+P2sinBx), y%=x^r e^(ax)(AcosBx+BsinBx).